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Theorem cofsmo 8133
Description: Any cofinal map implies the existence of a strictly monotone cofinal map with a domain no larger than the original. Proposition 11.7 of [TakeutiZaring] p. 101. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cofsmo.1  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  ( f `  w
)  e.  ( f `
 y ) }
cofsmo.2  |-  K  = 
|^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `
 x ) }
cofsmo.3  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  C
)
Assertion
Ref Expression
cofsmo  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
v, w, x, z, A    y, f, B, v, w, x, z   
v, C    v, K, w, y    g, O, v, x, z
Allowed substitution hints:    A( y)    B( g)    C( x, y, z, w, f, g)    K( x, z, f, g)    O( y, w, f)

Proof of Theorem cofsmo
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cofsmo.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  ( f `  w
)  e.  ( f `
 y ) }
2 ssrab2 3415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
) }  C_  B
31, 2eqsstri 3365 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  C_  B
4 ssexg 4336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  C_  B  /\  B  e.  On )  ->  C  e.  _V )
53, 4mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  C  e.  _V )
6 onss 4757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
73, 6syl5ss 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  On  ->  C  C_  On )
8 epweon 4750 . . . . . . . . . . . 12  |-  _E  We  On
9 wess 4556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C 
C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  C ) )
107, 8, 9ee10 1385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  _E  We  C )
11 cofsmo.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  C
)
1211oiiso 7490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  _V  /\  _E  We  C )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C
) )
135, 10, 12syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )
1413ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )
15 isof1o 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C
)  ->  O : dom  O -1-1-onto-> C )
16 f1ofo 5667 . . . . . . . . 9  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> C  ->  O : dom  O -onto-> C
)
1714, 15, 163syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O
-onto-> C )
18 fof 5639 . . . . . . . . 9  |-  ( O : dom  O -onto-> C  ->  O : dom  O --> C )
19 fss 5585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O : dom  O --> C  /\  C  C_  B
)  ->  O : dom  O --> B )
2018, 3, 19sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( O : dom  O -onto-> C  ->  O : dom  O --> B )
2117, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O --> B )
2211oion 7489 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  _V  ->  dom  O  e.  On )
235, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  dom  O  e.  On )
2423ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  e.  On )
25 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  B  e.  On )
26 eloni 4578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
O  e.  On  ->  Ord 
dom  O )
27 smoiso2 6617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  dom  O  /\  C  C_  On )  -> 
( ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O
)  <->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) ) )
2826, 7, 27syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O )  <->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
O ,  C ) ) )
2928biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )  ->  ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O ) )
3029simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )  ->  Smo  O )
3124, 25, 14, 30syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Smo  O )
32 eloni 4578 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3332ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Ord  B )
34 smorndom 6616 . . . . . . 7  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  Smo  O  /\  Ord  B )  ->  dom  O 
C_  B )
3521, 31, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  C_  B
)
36 onsssuc 4655 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( dom  O  C_  B  <->  dom  O  e.  suc  B ) )
3724, 25, 36syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( dom  O  C_  B  <->  dom  O  e.  suc  B ) )
3835, 37mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  e.  suc  B )
3938adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  dom  O  e.  suc  B )
40 vex 2946 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
4111oiexg 7488 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  _V  ->  O  e.  _V )
425, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  O  e.  _V )
4342ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  O  e.  _V )
44 coexg 5398 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  _V  /\  O  e.  _V )  ->  ( f  o.  O
)  e.  _V )
4540, 43, 44sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
f  o.  O )  e.  _V )
46 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  f : B --> A )
4721adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  O : dom  O --> B )
48 fco 5586 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B --> A  /\  O : dom  O --> B )  ->  ( f  o.  O ) : dom  O --> A )
4946, 47, 48syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
f  o.  O ) : dom  O --> A )
50 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  f : B --> A )
5150, 21, 48syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( f  o.  O ) : dom  O --> A )
52 ordsson 4756 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
5352ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  A  C_  On )
5424, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Ord  dom  O )
5517, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O --> C )
56 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
)  ->  s  e.  dom  O )
57 ffvelrn 5854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O : dom  O --> C  /\  s  e.  dom  O )  ->  ( O `  s )  e.  C
)
5855, 56, 57syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  ( O `  s )  e.  C )
59 ffn 5577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O : dom  O --> C  ->  O  Fn  dom  O )
6017, 18, 593syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O  Fn  dom  O )
6160, 31jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( O  Fn  dom  O  /\  Smo  O
) )
62 smoel2 6611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O  Fn  dom  O  /\  Smo  O )  /\  ( s  e. 
dom  O  /\  t  e.  s ) )  -> 
( O `  t
)  e.  ( O `
 s ) )
6361, 62sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  ( O `  t )  e.  ( O `  s
) )
64 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  (
f `  z )  =  ( f `  ( O `  s ) ) )
6564eleq2d 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 z )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
6665raleqbi1dv 2899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  ( A. x  e.  z 
( f `  x
)  e.  ( f `
 z )  <->  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
67 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
f `  w )  =  ( f `  x ) )
6867eleq1d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  (
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  y ) ) )
6968cbvralv 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
)  <->  A. x  e.  y  ( f `  x
)  e.  ( f `
 y ) )
70 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
f `  y )  =  ( f `  z ) )
7170eleq2d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7271raleqbi1dv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y 
( f `  x
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7369, 72syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( A. w  e.  y 
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7473cbvrabv 2942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
) }  =  {
z  e.  B  |  A. x  e.  z 
( f `  x
)  e.  ( f `
 z ) }
751, 74eqtri 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  { z  e.  B  |  A. x  e.  z  ( f `  x
)  e.  ( f `
 z ) }
7666, 75elrab2 3081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( O `  s )  e.  C  <->  ( ( O `  s )  e.  B  /\  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
7776simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O `  s )  e.  C  ->  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) )
78 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( O `  t )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  ( O `  t ) ) )
7978eleq1d 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( O `  t )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 ( O `  s ) )  <->  ( f `  ( O `  t
) )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
8079rspccv 3036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( O `  s ) ( f `
 x )  e.  ( f `  ( O `  s )
)  ->  ( ( O `  t )  e.  ( O `  s
)  ->  ( f `  ( O `  t
) )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
8177, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O `  s )  e.  C  ->  (
( O `  t
)  e.  ( O `
 s )  -> 
( f `  ( O `  t )
)  e.  ( f `
 ( O `  s ) ) ) )
8258, 63, 81sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
f `  ( O `  t ) )  e.  ( f `  ( O `  s )
) )
8321adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  O : dom  O --> B )
84 ordtr1 4611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
dom  O  ->  ( ( t  e.  s  /\  s  e.  dom  O )  ->  t  e.  dom  O ) )
8584ancomsd 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
dom  O  ->  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
)  ->  t  e.  dom  O ) )
8624, 26, 853syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s )  ->  t  e.  dom  O
) )
8786imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  t  e.  dom  O )
88 fvco3 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  t  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 t )  =  ( f `  ( O `  t )
) )
8983, 87, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  t )  =  ( f `  ( O `  t ) ) )
90 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  s  e.  dom  O )
91 fvco3 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  s  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 s )  =  ( f `  ( O `  s )
) )
9283, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  s )  =  ( f `  ( O `  s ) ) )
9382, 89, 923eltr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  t )  e.  ( ( f  o.  O ) `  s
) )
9493ralrimivva 2785 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) )
95 issmo2 6597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  o.  O ) : dom  O --> A  -> 
( ( A  C_  On  /\  Ord  dom  O  /\  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) )  ->  Smo  ( f  o.  O ) ) )
9695imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  o.  O
) : dom  O --> A  /\  ( A  C_  On  /\  Ord  dom  O  /\  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) ) )  ->  Smo  ( f  o.  O ) )
9751, 53, 54, 94, 96syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Smo  ( f  o.  O ) )
9897adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  Smo  ( f  o.  O
) )
9917adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  O : dom  O -onto-> C )
100 rabn0 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )
101 ssrab2 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  B
102101, 6syl5ss 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  On  ->  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  On )
103 cofsmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  K  = 
|^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `
 x ) }
104 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
f `  x )  =  ( f `  w ) )
105104sseq2d 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
z  C_  ( f `  x )  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
106105cbvrabv 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { x  e.  B  |  z  C_  ( f `  x
) }  =  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }
107106inteqi 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  |^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `  x
) }  =  |^| { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }
108103, 107eqtri 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  = 
|^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) }
109 onint 4761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) }  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
110108, 109syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =/=  (/) )  ->  K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
111102, 110sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  On  /\  { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }  =/=  (/) )  ->  K  e.  { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } )
112100, 111sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  ->  K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
113 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  K  ->  (
f `  w )  =  ( f `  K ) )
114113sseq2d 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  K  ->  (
z  C_  ( f `  w )  <->  z  C_  ( f `  K
) ) )
115114elrab 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K
) ) )
116112, 115sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  -> 
( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )
117116ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) ) ) )
118117adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) ) ) )
119 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  K  e.  B )
120 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  w  e.  K )
121108eleq2i 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  K  <->  w  e.  |^|
{ w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )
122 simp21 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  f : B
--> A )
123 simp1l 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  Ord  A )
124123, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  A  C_  On )
125 fss 5585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : B --> A  /\  A  C_  On )  -> 
f : B --> On )
126122, 124, 125syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  f : B
--> On )
127 simp22 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  K  e.  B )
128126, 127ffvelrnd 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  K )  e.  On )
129 simp1r 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  B  e.  On )
130 ontr1 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( B  e.  On  ->  (
( w  e.  K  /\  K  e.  B
)  ->  w  e.  B ) )
1311303impib 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  ->  w  e.  B )
132129, 120, 127, 131syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  w  e.  B )
133126, 132ffvelrnd 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  w )  e.  On )
134 ontri1 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( f `  K
)  e.  On  /\  ( f `  w
)  e.  On )  ->  ( ( f `
 K )  C_  ( f `  w
)  <->  -.  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
135128, 133, 134syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( (
f `  K )  C_  ( f `  w
)  <->  -.  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
136 simp23 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  z  C_  ( f `  K
) )
137 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  B  e.  On )
138137, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  On )
139 sstr 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  C_  ( f `  K )  /\  (
f `  K )  C_  ( f `  w
) )  ->  z  C_  ( f `  w
) )
140131, 139anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( w  e.  B  /\  z  C_  ( f `  w
) ) )
141 rabid 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( w  e.  B  /\  z  C_  ( f `  w
) ) )
142140, 141sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  w  e.  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } )
143 onnmin 4769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  w  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
144138, 142, 143syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  -.  w  e.  |^|
{ w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )
145144expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  ->  ( ( f `
 K )  C_  ( f `  w
)  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
146129, 120, 127, 136, 145syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( (
f `  K )  C_  ( f `  w
)  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
147135, 146sylbird 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( -.  ( f `  w
)  e.  ( f `
 K )  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
148147con4d 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  (
f `  w )  e.  ( f `  K
) ) )
149121, 148syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( w  e.  K  ->  ( f `
 w )  e.  ( f `  K
) ) )
150120, 149mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) )
1511503expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  ( w  e.  K  ->  ( f `
 w )  e.  ( f `  K
) ) )
152151ralrimiv 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) )
153 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  K  ->  (
f `  y )  =  ( f `  K ) )
154153eleq2d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  K  ->  (
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
155154raleqbi1dv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  K  ->  ( A. w  e.  y 
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
156155, 1elrab2 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  C  <->  ( K  e.  B  /\  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
157119, 152, 156sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  K  e.  C )
158157expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) )  -> 
( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  K  e.  C
) )
1591583expib 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : B --> A  -> 
( ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K
) )  ->  (
( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  K  e.  C ) ) )
160159com13 76 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  ->  ( f : B --> A  ->  K  e.  C ) ) )
161118, 160syld 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  (
f : B --> A  ->  K  e.  C )
) )
162161com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
f : B --> A  -> 
( E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )  ->  K  e.  C ) ) )
163162imp31 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  K  e.  C )
164 foelrn 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O : dom  O -onto-> C  /\  K  e.  C
)  ->  E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `  v
) )
16599, 163, 164syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `  v
) )
166 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  B  e.  On )
167 eleq1 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  =  ( O `  v )  ->  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( O `  v )  e.  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } ) )
168167biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } ) )
169 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( O `  v )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  ( O `  v ) ) )
170169sseq2d 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( O `  v )  ->  (
z  C_  ( f `  x )  <->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
17167sseq2d 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
z  C_  ( f `  w )  <->  z  C_  ( f `  x
) ) )
172171cbvrabv 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =  {
x  e.  B  | 
z  C_  ( f `  x ) }
173170, 172elrab2 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( ( O `  v )  e.  B  /\  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
174173simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) )
175168, 174syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
176112, 175syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  -> 
( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  (
f `  ( O `  v ) ) ) )
177166, 176sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
178177adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( K  =  ( O `  v
)  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
17921ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  O : dom  O --> B )
180 fvco3 5786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 v )  =  ( f `  ( O `  v )
) )
181179, 180sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( ( f  o.  O ) `  v )  =  ( f `  ( O `
 v ) ) )
182181sseq2d 3363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
)  <->  z  C_  (
f `  ( O `  v ) ) ) )
183178, 182sylibrd 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( K  =  ( O `  v
)  ->  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
184183reximdva 2805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `
 v )  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( (
f  o.  O ) `
 v ) ) )
185165, 184mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )
186185ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
)  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
187186ralimdv 2772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
)  ->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
188187impr 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )
18949, 98, 1883jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
( f  o.  O
) : dom  O --> A  /\  Smo  ( f  o.  O )  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( ( f  o.  O ) `  v ) ) )
190 feq1 5562 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
g : dom  O --> A 
<->  ( f  o.  O
) : dom  O --> A ) )
191 smoeq 6598 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( Smo  g  <->  Smo  ( f  o.  O ) ) )
192 fveq1 5713 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
g `  v )  =  ( ( f  o.  O ) `  v ) )
193192sseq2d 3363 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
z  C_  ( g `  v )  <->  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
194193rexbidv 2713 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v )  <->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
195194ralbidv 2712 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v )  <->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
196190, 191, 1953anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) )  <->  ( (
f  o.  O ) : dom  O --> A  /\  Smo  ( f  o.  O
)  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) ) )
197196spcegv 3024 . . . . 5  |-  ( ( f  o.  O )  e.  _V  ->  (
( ( f  o.  O ) : dom  O --> A  /\  Smo  (
f  o.  O )  /\  A. z  e.  A  E. v  e. 
dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )  ->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
19845, 189, 197sylc 58 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) )
199 feq2 5563 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( g : x --> A  <->  g : dom  O --> A ) )
200 rexeq 2892 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )  <->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) )
201200ralbidv 2712 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )  <->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( g `  v ) ) )
202199, 2013anbi13d 1256 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )
)  <->  ( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v
) ) ) )
203202exbidv 1636 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( E. g ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v
) )  <->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
204203rspcev 3039 . . . 4  |-  ( ( dom  O  e.  suc  B  /\  E. g ( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( g `  v ) ) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v
) ) )
20539, 198, 204syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) )
206205ex 424 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
)  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
207206exlimdv 1646 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   A.wral 2692   E.wrex 2693   {crab 2696   _Vcvv 2943    C_ wss 3307   (/)c0 3615   |^|cint 4037    _E cep 4479    We wwe 4527   Ord word 4567   Oncon0 4568   suc csuc 4570   dom cdm 4864    o. ccom 4868    Fn wfn 5435   -->wf 5436   -onto->wfo 5438   -1-1-onto->wf1o 5439   ` cfv 5440    Isom wiso 5441   Smo wsmo 6593  OrdIsocoi 7462
This theorem is referenced by:  cfcof  8138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-riota 6535  df-smo 6594  df-recs 6619  df-oi 7463
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