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Theorem cofsmo 7895
Description: Any cofinal map implies the existence of a strictly monotone cofinal map with a domain no larger than the original. Proposition 11.7 of [TakeutiZaring] p. 101. (Contributed by by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cofsmo.1  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  ( f `  w
)  e.  ( f `
 y ) }
cofsmo.2  |-  K  = 
|^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `
 x ) }
cofsmo.3  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  C
)
Assertion
Ref Expression
cofsmo  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
v, w, x, z, A    y, f, B, v, w, x, z   
v, C    v, K, w, y    g, O, v, x, z
Allowed substitution hints:    A( y)    B( g)    C( x, y, z, w, f, g)    K( x, z, f, g)    O( y, w, f)

Proof of Theorem cofsmo
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cofsmo.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  ( f `  w
)  e.  ( f `
 y ) }
2 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
) }  C_  B
31, 2eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  C_  B
4 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  C_  B  /\  B  e.  On )  ->  C  e.  _V )
53, 4mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  C  e.  _V )
6 onss 4582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
73, 6syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  On  ->  C  C_  On )
8 epweon 4575 . . . . . . . . . . . 12  |-  _E  We  On
9 wess 4380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C 
C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  C ) )
107, 8, 9ee10 1366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  _E  We  C )
11 cofsmo.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  C
)
1211oiiso 7252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  _V  /\  _E  We  C )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C
) )
135, 10, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )
1413ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )
15 isof1o 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C
)  ->  O : dom  O -1-1-onto-> C )
16 f1ofo 5479 . . . . . . . . 9  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> C  ->  O : dom  O -onto-> C
)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O
-onto-> C )
18 fof 5451 . . . . . . . . 9  |-  ( O : dom  O -onto-> C  ->  O : dom  O --> C )
19 fss 5397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O : dom  O --> C  /\  C  C_  B
)  ->  O : dom  O --> B )
2018, 3, 19sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( O : dom  O -onto-> C  ->  O : dom  O --> B )
2117, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O --> B )
2211oion 7251 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  _V  ->  dom  O  e.  On )
235, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  dom  O  e.  On )
2423ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  e.  On )
25 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  B  e.  On )
26 eloni 4402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
O  e.  On  ->  Ord 
dom  O )
27 smoiso2 6386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  dom  O  /\  C  C_  On )  -> 
( ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O
)  <->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) ) )
2826, 7, 27syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O )  <->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
O ,  C ) ) )
2928biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )  ->  ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O ) )
3029simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )  ->  Smo  O )
3124, 25, 14, 30syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Smo  O )
32 eloni 4402 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3332ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Ord  B )
34 smorndom 6385 . . . . . . 7  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  Smo  O  /\  Ord  B )  ->  dom  O 
C_  B )
3521, 31, 33, 34syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  C_  B
)
36 onsssuc 4480 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( dom  O  C_  B  <->  dom  O  e.  suc  B ) )
3724, 25, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( dom  O  C_  B  <->  dom  O  e.  suc  B ) )
3835, 37mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  e.  suc  B )
3938adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  dom  O  e.  suc  B )
40 vex 2791 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
4111oiexg 7250 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  _V  ->  O  e.  _V )
425, 41syl 15 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  O  e.  _V )
4342ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  O  e.  _V )
44 coexg 5215 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  _V  /\  O  e.  _V )  ->  ( f  o.  O
)  e.  _V )
4540, 43, 44sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
f  o.  O )  e.  _V )
46 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  f : B --> A )
4721adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  O : dom  O --> B )
48 fco 5398 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B --> A  /\  O : dom  O --> B )  ->  ( f  o.  O ) : dom  O --> A )
4946, 47, 48syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
f  o.  O ) : dom  O --> A )
50 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  f : B --> A )
5150, 21, 48syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( f  o.  O ) : dom  O --> A )
52 ordsson 4581 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
5352ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  A  C_  On )
5424, 26syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Ord  dom  O )
5517, 18syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O --> C )
56 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
)  ->  s  e.  dom  O )
57 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O : dom  O --> C  /\  s  e.  dom  O )  ->  ( O `  s )  e.  C
)
5855, 56, 57syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  ( O `  s )  e.  C )
59 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O : dom  O --> C  ->  O  Fn  dom  O )
6017, 18, 593syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O  Fn  dom  O )
6160, 31jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( O  Fn  dom  O  /\  Smo  O
) )
62 smoel2 6380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O  Fn  dom  O  /\  Smo  O )  /\  ( s  e. 
dom  O  /\  t  e.  s ) )  -> 
( O `  t
)  e.  ( O `
 s ) )
6361, 62sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  ( O `  t )  e.  ( O `  s
) )
64 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  (
f `  z )  =  ( f `  ( O `  s ) ) )
6564eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 z )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
6665raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  ( A. x  e.  z 
( f `  x
)  e.  ( f `
 z )  <->  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
67 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
f `  w )  =  ( f `  x ) )
6867eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  (
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  y ) ) )
6968cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
)  <->  A. x  e.  y  ( f `  x
)  e.  ( f `
 y ) )
70 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
f `  y )  =  ( f `  z ) )
7170eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7271raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y 
( f `  x
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7369, 72syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( A. w  e.  y 
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7473cbvrabv 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
) }  =  {
z  e.  B  |  A. x  e.  z 
( f `  x
)  e.  ( f `
 z ) }
751, 74eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  { z  e.  B  |  A. x  e.  z  ( f `  x
)  e.  ( f `
 z ) }
7666, 75elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( O `  s )  e.  C  <->  ( ( O `  s )  e.  B  /\  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
7776simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O `  s )  e.  C  ->  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) )
78 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( O `  t )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  ( O `  t ) ) )
7978eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( O `  t )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 ( O `  s ) )  <->  ( f `  ( O `  t
) )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
8079rspccv 2881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( O `  s ) ( f `
 x )  e.  ( f `  ( O `  s )
)  ->  ( ( O `  t )  e.  ( O `  s
)  ->  ( f `  ( O `  t
) )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
8177, 80syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O `  s )  e.  C  ->  (
( O `  t
)  e.  ( O `
 s )  -> 
( f `  ( O `  t )
)  e.  ( f `
 ( O `  s ) ) ) )
8258, 63, 81sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
f `  ( O `  t ) )  e.  ( f `  ( O `  s )
) )
8321adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  O : dom  O --> B )
84 ordtr1 4435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
dom  O  ->  ( ( t  e.  s  /\  s  e.  dom  O )  ->  t  e.  dom  O ) )
8584ancomsd 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
dom  O  ->  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
)  ->  t  e.  dom  O ) )
8624, 26, 853syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s )  ->  t  e.  dom  O
) )
8786imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  t  e.  dom  O )
88 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  t  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 t )  =  ( f `  ( O `  t )
) )
8983, 87, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  t )  =  ( f `  ( O `  t ) ) )
90 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  s  e.  dom  O )
91 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  s  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 s )  =  ( f `  ( O `  s )
) )
9283, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  s )  =  ( f `  ( O `  s ) ) )
9389, 92eleq12d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s )  <->  ( f `  ( O `  t
) )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
9482, 93mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  t )  e.  ( ( f  o.  O ) `  s
) )
9594ralrimivva 2635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) )
96 issmo2 6366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  o.  O ) : dom  O --> A  -> 
( ( A  C_  On  /\  Ord  dom  O  /\  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) )  ->  Smo  ( f  o.  O ) ) )
9796imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  o.  O
) : dom  O --> A  /\  ( A  C_  On  /\  Ord  dom  O  /\  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) ) )  ->  Smo  ( f  o.  O ) )
9851, 53, 54, 95, 97syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Smo  ( f  o.  O ) )
9998adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  Smo  ( f  o.  O
) )
10017adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  O : dom  O -onto-> C )
101 rabn0 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )
102 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  B
103102, 6syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  On  ->  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  On )
104 cofsmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  K  = 
|^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `
 x ) }
105 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
f `  x )  =  ( f `  w ) )
106105sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
z  C_  ( f `  x )  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
107106cbvrabv 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { x  e.  B  |  z  C_  ( f `  x
) }  =  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }
108107inteqi 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  |^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `  x
) }  =  |^| { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }
109104, 108eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  = 
|^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) }
110 onint 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) }  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
111109, 110syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =/=  (/) )  ->  K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
112103, 111sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  On  /\  { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }  =/=  (/) )  ->  K  e.  { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } )
113101, 112sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  ->  K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
114 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  K  ->  (
f `  w )  =  ( f `  K ) )
115114sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  K  ->  (
z  C_  ( f `  w )  <->  z  C_  ( f `  K
) ) )
116115elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K
) ) )
117113, 116sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  -> 
( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )
118117ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) ) ) )
119118adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) ) ) )
120 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  K  e.  B )
121 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  w  e.  K )
122109eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  K  <->  w  e.  |^|
{ w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )
123 simp21 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  f : B
--> A )
124 simp1l 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  Ord  A )
125124, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  A  C_  On )
126 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : B --> A  /\  A  C_  On )  -> 
f : B --> On )
127123, 125, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  f : B
--> On )
128 simp22 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  K  e.  B )
129 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f : B --> On  /\  K  e.  B )  ->  ( f `  K
)  e.  On )
130127, 128, 129syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  K )  e.  On )
131 simp1r 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  B  e.  On )
132 ontr1 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( B  e.  On  ->  (
( w  e.  K  /\  K  e.  B
)  ->  w  e.  B ) )
1331323impib 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  ->  w  e.  B )
134131, 121, 128, 133syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  w  e.  B )
135 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f : B --> On  /\  w  e.  B )  ->  ( f `  w
)  e.  On )
136127, 134, 135syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  w )  e.  On )
137 ontri1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( f `  K
)  e.  On  /\  ( f `  w
)  e.  On )  ->  ( ( f `
 K )  C_  ( f `  w
)  <->  -.  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
138130, 136, 137syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( (
f `  K )  C_  ( f `  w
)  <->  -.  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
139 simp23 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  z  C_  ( f `  K
) )
140 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  B  e.  On )
141140, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  On )
142 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  C_  ( f `  K )  /\  (
f `  K )  C_  ( f `  w
) )  ->  z  C_  ( f `  w
) )
143133, 142anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( w  e.  B  /\  z  C_  ( f `  w
) ) )
144 rabid 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( w  e.  B  /\  z  C_  ( f `  w
) ) )
145143, 144sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  w  e.  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } )
146 onnmin 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  w  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
147141, 145, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  -.  w  e.  |^|
{ w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )
148147expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  ->  ( ( f `
 K )  C_  ( f `  w
)  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
149131, 121, 128, 139, 148syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( (
f `  K )  C_  ( f `  w
)  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
150138, 149sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( -.  ( f `  w
)  e.  ( f `
 K )  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
151150con4d 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  (
f `  w )  e.  ( f `  K
) ) )
152122, 151syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( w  e.  K  ->  ( f `
 w )  e.  ( f `  K
) ) )
153121, 152mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) )
1541533expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  ( w  e.  K  ->  ( f `
 w )  e.  ( f `  K
) ) )
155154ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) )
156 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  K  ->  (
f `  y )  =  ( f `  K ) )
157156eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  K  ->  (
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
158157raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  K  ->  ( A. w  e.  y 
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
159158, 1elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  C  <->  ( K  e.  B  /\  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
160120, 155, 159sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  K  e.  C )
161160expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) )  -> 
( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  K  e.  C
) )
1621613expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : B --> A  -> 
( ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K
) )  ->  (
( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  K  e.  C ) ) )
163162com13 74 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  ->  ( f : B --> A  ->  K  e.  C ) ) )
164119, 163syld 40 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  (
f : B --> A  ->  K  e.  C )
) )
165164com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
f : B --> A  -> 
( E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )  ->  K  e.  C ) ) )
166165imp31 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  K  e.  C )
167 foelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O : dom  O -onto-> C  /\  K  e.  C
)  ->  E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `  v
) )
168100, 166, 167syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `  v
) )
169 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  B  e.  On )
170 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  =  ( O `  v )  ->  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( O `  v )  e.  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } ) )
171170biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } ) )
172 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( O `  v )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  ( O `  v ) ) )
173172sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( O `  v )  ->  (
z  C_  ( f `  x )  <->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
17467sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
z  C_  ( f `  w )  <->  z  C_  ( f `  x
) ) )
175174cbvrabv 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =  {
x  e.  B  | 
z  C_  ( f `  x ) }
176173, 175elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( ( O `  v )  e.  B  /\  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
177176simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) )
178171, 177syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
179113, 178syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  -> 
( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  (
f `  ( O `  v ) ) ) )
180169, 179sylancom 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
181180adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( K  =  ( O `  v
)  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
18221ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  O : dom  O --> B )
183 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 v )  =  ( f `  ( O `  v )
) )
184182, 183sylancom 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( ( f  o.  O ) `  v )  =  ( f `  ( O `
 v ) ) )
185184sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
)  <->  z  C_  (
f `  ( O `  v ) ) ) )
186181, 185sylibrd 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( K  =  ( O `  v
)  ->  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
187186reximdva 2655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `
 v )  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( (
f  o.  O ) `
 v ) ) )
188168, 187mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )
189188ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
)  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
190189ralimdv 2622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
)  ->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
191190impr 602 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )
19249, 99, 1913jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
( f  o.  O
) : dom  O --> A  /\  Smo  ( f  o.  O )  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( ( f  o.  O ) `  v ) ) )
193 feq1 5375 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
g : dom  O --> A 
<->  ( f  o.  O
) : dom  O --> A ) )
194 smoeq 6367 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( Smo  g  <->  Smo  ( f  o.  O ) ) )
195 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
g `  v )  =  ( ( f  o.  O ) `  v ) )
196195sseq2d 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
z  C_  ( g `  v )  <->  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
197196rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v )  <->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
198197ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v )  <->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
199193, 194, 1983anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) )  <->  ( (
f  o.  O ) : dom  O --> A  /\  Smo  ( f  o.  O
)  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) ) )
200199spcegv 2869 . . . . 5  |-  ( ( f  o.  O )  e.  _V  ->  (
( ( f  o.  O ) : dom  O --> A  /\  Smo  (
f  o.  O )  /\  A. z  e.  A  E. v  e. 
dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )  ->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
20145, 192, 200sylc 56 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) )
202 feq2 5376 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( g : x --> A  <->  g : dom  O --> A ) )
203 rexeq 2737 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )  <->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) )
204203ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )  <->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( g `  v ) ) )
205202, 2043anbi13d 1254 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )
)  <->  ( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v
) ) ) )
206205exbidv 1612 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( E. g ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v
) )  <->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
207206rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( dom  O  e.  suc  B  /\  E. g ( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( g `  v ) ) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v
) ) )
20839, 201, 207syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) )
209208ex 423 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
)  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
210209exlimdv 1664 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   |^|cint 3862    _E cep 4303    We wwe 4351   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   dom cdm 4689    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256   Smo wsmo 6362  OrdIsocoi 7224
This theorem is referenced by:  cfcof  7900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-smo 6363  df-recs 6388  df-oi 7225
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