Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coftr Unicode version

Theorem coftr 7899
 Description: If there is a cofinal map from to and another from to , then there is also a cofinal map from to . Proposition 11.9 of [TakeutiZaring] p. 102. A limited form of transitivity for the "cof" relation. This is really a lemma for cfcof 7900. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
coftr.1
Assertion
Ref Expression
coftr
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,)   (,,,,,,)

Proof of Theorem coftr
StepHypRef Expression
1 fdm 5393 . . . . . . . 8
2 vex 2791 . . . . . . . . 9
32dmex 4941 . . . . . . . 8
41, 3syl6eqelr 2372 . . . . . . 7
5 coftr.1 . . . . . . . . 9
6 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13
76sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12
87rabbidv 2780 . . . . . . . . . . 11
98inteqd 3867 . . . . . . . . . 10
109cbvmptv 4111 . . . . . . . . 9
115, 10eqtri 2303 . . . . . . . 8
12 mptexg 5745 . . . . . . . 8
1311, 12syl5eqel 2367 . . . . . . 7
144, 13syl 15 . . . . . 6
1514ad2antrl 708 . . . . 5
16 ffn 5389 . . . . . . . . 9
17 smodm2 6372 . . . . . . . . 9
1816, 17sylan 457 . . . . . . . 8
19183adant3 975 . . . . . . 7
2019adantr 451 . . . . . 6
21 simpl3 960 . . . . . 6
22 simprl 732 . . . . . 6
23 simpl1 958 . . . . . . . 8
24 simpl2 959 . . . . . . . . 9
25 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10
26253ad2antl3 1119 . . . . . . . . 9
27 sseq1 3199 . . . . . . . . . . 11
2827rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10
2928rspccv 2881 . . . . . . . . 9
3024, 26, 29sylc 56 . . . . . . . 8
31 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . 14
32 ordsson 4581 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . 13
34 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . 14
37 rabn0 3474 . . . . . . . . . . . . . 14
3836, 37sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13
39 oninton 4591 . . . . . . . . . . . . 13
4033, 38, 39syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12
41 eloni 4402 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . 11
43 simpl 443 . . . . . . . . . . 11
4435intminss 3888 . . . . . . . . . . . 12
4544adantl 452 . . . . . . . . . . 11
46 simprl 732 . . . . . . . . . . 11
47 ordtr2 4436 . . . . . . . . . . . 12
4847imp 418 . . . . . . . . . . 11
4942, 43, 45, 46, 48syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10
5049exp32 588 . . . . . . . . 9
5150rexlimdv 2666 . . . . . . . 8
5223, 30, 51sylc 56 . . . . . . 7
5352, 11fmptd 5684 . . . . . 6
5420, 21, 22, 53syl3anc 1182 . . . . 5
55 simprr 733 . . . . . . . 8
56 simpl1 958 . . . . . . . 8
57 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10
58 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . 12
5958rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11
6059rspccv 2881 . . . . . . . . . 10
6157, 60syl5 28 . . . . . . . . 9
6261expdimp 426 . . . . . . . 8
6355, 56, 62syl2anc 642 . . . . . . 7
6456, 16syl 15 . . . . . . . 8
65 simpl2 959 . . . . . . . 8
66 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766, 52jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
6835elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
70 smoword 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7170biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7269, 71syl9r 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7372expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7473com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7574imp4b 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7668, 75syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7776ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
78 ssint 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7977, 78sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16
809, 5fvmptg 5600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8279, 81syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15
8367, 82syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14
8483ex 423 . . . . . . . . . . . . 13
8584com23 72 . . . . . . . . . . . 12
8685expdimp 426 . . . . . . . . . . 11
8786reximdvai 2653 . . . . . . . . . 10
8887ancoms 439 . . . . . . . . 9
8988expr 598 . . . . . . . 8
9020, 21, 22, 64, 65, 89syl32anc 1190 . . . . . . 7
9163, 90mpdd 36 . . . . . 6
9291ralrimiv 2625 . . . . 5
93 feq1 5375 . . . . . . . 8
94 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11
9594sseq2d 3206 . . . . . . . . . 10
9695rexbidv 2564 . . . . . . . . 9
9796ralbidv 2563 . . . . . . . 8
9893, 97anbi12d 691 . . . . . . 7
9998spcegv 2869 . . . . . 6
100993impib 1149 . . . . 5
10115, 54, 92, 100syl3anc 1182 . . . 4
102101ex 423 . . 3
103102exlimdv 1664 . 2
104103exlimiv 1666 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  c0 3455  cint 3862   cmpt 4077   word 4391  con0 4392   cdm 4689   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255   wsmo 6362 This theorem is referenced by:  cfcof  7900 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-smo 6363
 Copyright terms: Public domain W3C validator