Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coftr Unicode version

Theorem coftr 8142
 Description: If there is a cofinal map from to and another from to , then there is also a cofinal map from to . Proposition 11.9 of [TakeutiZaring] p. 102. A limited form of transitivity for the "cof" relation. This is really a lemma for cfcof 8143. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
coftr.1
Assertion
Ref Expression
coftr
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,)   (,,,,,,)

Proof of Theorem coftr
StepHypRef Expression
1 fdm 5586 . . . . . . . 8
2 vex 2951 . . . . . . . . 9
32dmex 5123 . . . . . . . 8
41, 3syl6eqelr 2524 . . . . . . 7
5 coftr.1 . . . . . . . . 9
6 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . 13
76sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . 12
87rabbidv 2940 . . . . . . . . . . 11
98inteqd 4047 . . . . . . . . . 10
109cbvmptv 4292 . . . . . . . . 9
115, 10eqtri 2455 . . . . . . . 8
12 mptexg 5956 . . . . . . . 8
1311, 12syl5eqel 2519 . . . . . . 7
144, 13syl 16 . . . . . 6
1514ad2antrl 709 . . . . 5
16 ffn 5582 . . . . . . . . 9
17 smodm2 6608 . . . . . . . . 9
1816, 17sylan 458 . . . . . . . 8
19183adant3 977 . . . . . . 7
2019adantr 452 . . . . . 6
21 simpl3 962 . . . . . 6
22 simprl 733 . . . . . 6
23 simpl1 960 . . . . . . . 8
24 simpl2 961 . . . . . . . . 9
25 ffvelrn 5859 . . . . . . . . . 10
26253ad2antl3 1121 . . . . . . . . 9
27 sseq1 3361 . . . . . . . . . . 11
2827rexbidv 2718 . . . . . . . . . 10
2928rspccv 3041 . . . . . . . . 9
3024, 26, 29sylc 58 . . . . . . . 8
31 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . 13
32 ordsson 4761 . . . . . . . . . . . . 13
3331, 32syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . 12
34 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . 14
3635rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . 13
37 rabn0 3639 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12
39 oninton 4771 . . . . . . . . . . . 12
4033, 38, 39syl2an 464 . . . . . . . . . . 11
41 eloni 4583 . . . . . . . . . . 11
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10
43 simpl 444 . . . . . . . . . 10
4435intminss 4068 . . . . . . . . . . 11
4544adantl 453 . . . . . . . . . 10
46 simprl 733 . . . . . . . . . 10
47 ordtr2 4617 . . . . . . . . . . 11
4847imp 419 . . . . . . . . . 10
4942, 43, 45, 46, 48syl22anc 1185 . . . . . . . . 9
5049rexlimdvaa 2823 . . . . . . . 8
5123, 30, 50sylc 58 . . . . . . 7
5251, 11fmptd 5884 . . . . . 6
5320, 21, 22, 52syl3anc 1184 . . . . 5
54 simprr 734 . . . . . . . 8
55 simpl1 960 . . . . . . . 8
56 ffvelrn 5859 . . . . . . . . . 10
57 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . 12
5857rexbidv 2718 . . . . . . . . . . 11
5958rspccv 3041 . . . . . . . . . 10
6056, 59syl5 30 . . . . . . . . 9
6160expdimp 427 . . . . . . . 8
6254, 55, 61syl2anc 643 . . . . . . 7
6355, 16syl 16 . . . . . . . 8
64 simpl2 961 . . . . . . . 8
65 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665, 51jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15
6735elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68 sstr2 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
69 smoword 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7069biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7168, 70syl9r 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7271expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7372com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7473imp4b 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7567, 74syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675ralrimiv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
77 ssint 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7876, 77sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16
799, 5fvmptg 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8079sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8178, 80syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15
8266, 81syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14
8382ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
8483com23 74 . . . . . . . . . . . 12
8584expdimp 427 . . . . . . . . . . 11
8685reximdvai 2808 . . . . . . . . . 10
8786ancoms 440 . . . . . . . . 9
8887expr 599 . . . . . . . 8
8920, 21, 22, 63, 64, 88syl32anc 1192 . . . . . . 7
9062, 89mpdd 38 . . . . . 6
9190ralrimiv 2780 . . . . 5
92 feq1 5567 . . . . . . . 8
93 fveq1 5718 . . . . . . . . . . 11
9493sseq2d 3368 . . . . . . . . . 10
9594rexbidv 2718 . . . . . . . . 9
9695ralbidv 2717 . . . . . . . 8
9792, 96anbi12d 692 . . . . . . 7
9897spcegv 3029 . . . . . 6
99983impib 1151 . . . . 5
10015, 53, 91, 99syl3anc 1184 . . . 4
101100ex 424 . . 3
102101exlimdv 1646 . 2
103102exlimiv 1644 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  cint 4042   cmpt 4258   word 4572  con0 4573   cdm 4869   wfn 5440  wf 5441  cfv 5445   wsmo 6598 This theorem is referenced by:  cfcof  8143 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-smo 6599
 Copyright terms: Public domain W3C validator