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Theorem coftr 8142
Description: If there is a cofinal map from  B to  A and another from  C to  A, then there is also a cofinal map from  C to  B. Proposition 11.9 of [TakeutiZaring] p. 102. A limited form of transitivity for the "cof" relation. This is really a lemma for cfcof 8143. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
coftr.1  |-  H  =  ( t  e.  C  |-> 
|^| { n  e.  B  |  ( g `  t )  C_  (
f `  n ) } )
Assertion
Ref Expression
coftr  |-  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( E. g ( g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) )  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) ) )
Distinct variable groups:    A, f,
g, s, w, x   
z, A, f, g, s, w    B, f, g, h, s, w    B, n, t, f, g, w    x, B, y, f, g, s, w    C, f, g, h, s, w    t, C    z, C    h, H, s, w   
y, n
Allowed substitution hints:    A( y, t, h, n)    B( z)    C( x, y, n)    H( x, y, z, t, f, g, n)

Proof of Theorem coftr
StepHypRef Expression
1 fdm 5586 . . . . . . . 8  |-  ( g : C --> A  ->  dom  g  =  C
)
2 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
32dmex 5123 . . . . . . . 8  |-  dom  g  e.  _V
41, 3syl6eqelr 2524 . . . . . . 7  |-  ( g : C --> A  ->  C  e.  _V )
5 coftr.1 . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( t  e.  C  |-> 
|^| { n  e.  B  |  ( g `  t )  C_  (
f `  n ) } )
6 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  (
g `  t )  =  ( g `  w ) )
76sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  w  ->  (
( g `  t
)  C_  ( f `  n )  <->  ( g `  w )  C_  (
f `  n )
) )
87rabbidv 2940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  w  ->  { n  e.  B  |  (
g `  t )  C_  ( f `  n
) }  =  {
n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) } )
98inteqd 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  w  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  t )  C_  ( f `  n
) }  =  |^| { n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) } )
109cbvmptv 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  C  |->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  t )  C_  ( f `  n
) } )  =  ( w  e.  C  |-> 
|^| { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } )
115, 10eqtri 2455 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( w  e.  C  |-> 
|^| { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } )
12 mptexg 5956 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  _V  ->  (
w  e.  C  |->  |^|
{ n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } )  e.  _V )
1311, 12syl5eqel 2519 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  _V  ->  H  e.  _V )
144, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( g : C --> A  ->  H  e.  _V )
1514ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  H  e.  _V )
16 ffn 5582 . . . . . . . . 9  |-  ( f : B --> A  -> 
f  Fn  B )
17 smodm2 6608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  ->  Ord  B )
1816, 17sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  Ord  B )
19183adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  Ord  B )
2019adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  Ord  B )
21 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y ) )
22 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
g : C --> A )
23 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  Ord  B )
24 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)
25 ffvelrn 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : C --> A  /\  w  e.  C )  ->  ( g `  w
)  e.  A )
26253ad2antl3 1121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  (
g `  w )  e.  A )
27 sseq1 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( g `  w )  ->  (
x  C_  ( f `  y )  <->  ( g `  w )  C_  (
f `  y )
) )
2827rexbidv 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( g `  w )  ->  ( E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y )  <->  E. y  e.  B  ( g `  w )  C_  (
f `  y )
) )
2928rspccv 3041 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  ->  ( (
g `  w )  e.  A  ->  E. y  e.  B  ( g `  w )  C_  (
f `  y )
) )
3024, 26, 29sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  E. y  e.  B  ( g `  w )  C_  (
f `  y )
)
31 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  C_  B
32 ordsson 4761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
B  ->  B  C_  On )
3331, 32syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
B  ->  { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  C_  On )
34 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  (
f `  n )  =  ( f `  y ) )
3534sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
( g `  w
)  C_  ( f `  n )  <->  ( g `  w )  C_  (
f `  y )
) )
3635rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) )  ->  E. n  e.  B  ( g `  w
)  C_  ( f `  n ) )
37 rabn0 3639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  B  ( g `  w ) 
C_  ( f `  n ) )
3836, 37sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) )  ->  { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  =/=  (/) )
39 oninton 4771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  C_  On  /\  {
n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  e.  On )
4033, 38, 39syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  e.  On )
41 eloni 4583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| { n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) }  e.  On  ->  Ord  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) } )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  Ord  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) } )
43 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  Ord  B )
4435intminss 4068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) )  ->  |^| { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  C_  y )
4544adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  C_  y
)
46 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  y  e.  B
)
47 ordtr2 4617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  /\  Ord  B )  ->  ( ( |^| { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  C_  y  /\  y  e.  B )  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
) )
4847imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Ord  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  /\  Ord  B )  /\  ( |^| { n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) }  C_  y  /\  y  e.  B
) )  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
)
4942, 43, 45, 46, 48syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
)
5049rexlimdvaa 2823 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  ( E. y  e.  B  (
g `  w )  C_  ( f `  y
)  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
) )
5123, 30, 50sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
)
5251, 11fmptd 5884 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  ->  H : C --> B )
5320, 21, 22, 52syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  H : C --> B )
54 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w ) )
55 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
f : B --> A )
56 ffvelrn 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B --> A  /\  s  e.  B )  ->  ( f `  s
)  e.  A )
57 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f `  s )  ->  (
z  C_  ( g `  w )  <->  ( f `  s )  C_  (
g `  w )
) )
5857rexbidv 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f `  s )  ->  ( E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w )  <->  E. w  e.  C  ( f `  s )  C_  (
g `  w )
) )
5958rspccv 3041 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
)  ->  ( (
f `  s )  e.  A  ->  E. w  e.  C  ( f `  s )  C_  (
g `  w )
) )
6056, 59syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
)  ->  ( (
f : B --> A  /\  s  e.  B )  ->  E. w  e.  C  ( f `  s
)  C_  ( g `  w ) ) )
6160expdimp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w )  /\  f : B --> A )  -> 
( s  e.  B  ->  E. w  e.  C  ( f `  s
)  C_  ( g `  w ) ) )
6254, 55, 61syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
( s  e.  B  ->  E. w  e.  C  ( f `  s
)  C_  ( g `  w ) ) )
6355, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
f  Fn  B )
64 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  Smo  f )
65 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  w  e.  C )
6665, 51jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  (
w  e.  C  /\  |^|
{ n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  e.  B )
)
6735elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  <->  ( y  e.  B  /\  (
g `  w )  C_  ( f `  y
) ) )
68 sstr2 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f `  s ) 
C_  ( g `  w )  ->  (
( g `  w
)  C_  ( f `  y )  ->  (
f `  s )  C_  ( f `  y
) ) )
69 smoword 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  ( s  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
s  C_  y  <->  ( f `  s )  C_  (
f `  y )
) )
7069biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  ( s  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  s
)  C_  ( f `  y )  ->  s  C_  y ) )
7168, 70syl9r 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  ( s  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  s
)  C_  ( g `  w )  ->  (
( g `  w
)  C_  ( f `  y )  ->  s  C_  y ) ) )
7271expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  s  e.  B )  ->  ( y  e.  B  ->  ( ( f `  s )  C_  (
g `  w )  ->  ( ( g `  w )  C_  (
f `  y )  ->  s  C_  y )
) ) )
7372com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  s  e.  B )  ->  ( ( f `  s )  C_  (
g `  w )  ->  ( y  e.  B  ->  ( ( g `  w )  C_  (
f `  y )  ->  s  C_  y )
) ) )
7473imp4b 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  (
( y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) )  -> 
s  C_  y )
)
7567, 74syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  (
y  e.  { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  ->  s  C_  y ) )
7675ralrimiv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  A. y  e.  { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } s  C_  y
)
77 ssint 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  <->  A. y  e.  { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } s  C_  y
)
7876, 77sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  s  C_ 
|^| { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } )
799, 5fvmptg 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  C  /\  |^|
{ n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  e.  B )  ->  ( H `  w
)  =  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) } )
8079sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  C  /\  |^|
{ n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  e.  B )  ->  ( s  C_  ( H `  w )  <->  s 
C_  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) } ) )
8178, 80syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  (
( w  e.  C  /\  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
)  ->  s  C_  ( H `  w ) ) )
8266, 81syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  (
( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y )  /\  g : C --> A )  /\  w  e.  C )  ->  s  C_  ( H `  w ) ) )
8382ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  s  e.  B )  ->  ( ( f `  s )  C_  (
g `  w )  ->  ( ( ( Ord 
B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )  /\  g : C --> A )  /\  w  e.  C
)  ->  s  C_  ( H `  w ) ) ) )
8483com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  s  e.  B )  ->  ( ( ( Ord 
B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )  /\  g : C --> A )  /\  w  e.  C
)  ->  ( (
f `  s )  C_  ( g `  w
)  ->  s  C_  ( H `  w ) ) ) )
8584expdimp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )  /\  g : C --> A ) )  ->  ( w  e.  C  ->  ( ( f `  s ) 
C_  ( g `  w )  ->  s  C_  ( H `  w
) ) ) )
8685reximdvai 2808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )  /\  g : C --> A ) )  ->  ( E. w  e.  C  (
f `  s )  C_  ( g `  w
)  ->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) )
8786ancoms 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  (
( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  s  e.  B )
)  ->  ( E. w  e.  C  (
f `  s )  C_  ( g `  w
)  ->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) )
8887expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  (
f  Fn  B  /\  Smo  f ) )  -> 
( s  e.  B  ->  ( E. w  e.  C  ( f `  s )  C_  (
g `  w )  ->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) ) )
8920, 21, 22, 63, 64, 88syl32anc 1192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
( s  e.  B  ->  ( E. w  e.  C  ( f `  s )  C_  (
g `  w )  ->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) ) )
9062, 89mpdd 38 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
( s  e.  B  ->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) )
9190ralrimiv 2780 . . . . 5  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) )
92 feq1 5567 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
h : C --> B  <->  H : C
--> B ) )
93 fveq1 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  w )  =  ( H `  w ) )
9493sseq2d 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  H  ->  (
s  C_  ( h `  w )  <->  s  C_  ( H `  w ) ) )
9594rexbidv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  ( E. w  e.  C  s  C_  ( h `  w )  <->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) )
9695ralbidv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  ( A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( h `  w )  <->  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) )
9792, 96anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
)  <->  ( H : C
--> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) ) )
9897spcegv 3029 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  (
( H : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w )
)  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) ) )
99983impib 1151 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  H : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w
) )  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) )
10015, 53, 91, 99syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  E. h ( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( h `  w
) ) )
101100ex 424 . . 3  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) )  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) ) )
102101exlimdv 1646 . 2  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( E. g ( g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) )  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) ) )
103102exlimiv 1644 1  |-  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( E. g ( g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) )  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   |^|cint 4042    e. cmpt 4258   Ord word 4572   Oncon0 4573   dom cdm 4869    Fn wfn 5440   -->wf 5441   ` cfv 5445   Smo wsmo 6598
This theorem is referenced by:  cfcof  8143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-smo 6599
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