Theorem cofunex2g 3577

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one.

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	|- ((A e. C /\ Fun `'B) -> (A o. B) e. V)

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofunexg 3576	. . . 4 |- ((Fun `'B /\ `'A e. V) -> (`'B o. `'A) e. V)
2		cnvexg 3515	. . . 4 |- (A e. C -> `'A e. V)
3	1, 2	sylan2 451	. . 3 |- ((Fun `'B /\ A e. C) -> (`'B o. `'A) e. V)
4		cnvexg 3515	. . . 4 |- ((`'B o. `'A) e. V -> `'(`'B o. `'A) e. V)
5		cnvco 3296	. . . . 5 |- `'(`'B o. `'A) = (`'`'A o. `'`'B)
6		cocnvcnv2 3502	. . . . 5 |- (`'`'A o. `'`'B) = (`'`'A o. B)
7		cocnvcnv1 3501	. . . . 5 |- (`'`'A o. B) = (A o. B)
8	5, 6, 7	3eqtrr 1498	. . . 4 |- (A o. B) = `'(`'B o. `'A)
9	4, 8	syl5eqel 1550	. . 3 |- ((`'B o. `'A) e. V -> (A o. B) e. V)
10	3, 9	syl 10	. 2 |- ((Fun `'B /\ A e. C) -> (A o. B) e. V)
11	10	ancoms 436	1 |- ((A e. C /\ Fun `'B) -> (A o. B) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 957  Vcvv 1808  `'ccnv 3165   o. ccom 3170  Fun wfun 3172

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188

Copyright terms: Public domain