Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliplem Structured version   Unicode version

Theorem coinfliplem 24738
Description: Division in the extended real numbers can be used for the coin-flip example. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h  |-  H  e. 
_V
coinflip.t  |-  T  e. 
_V
coinflip.th  |-  H  =/= 
T
coinflip.2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
coinflip.3  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
Assertion
Ref Expression
coinfliplem  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )

Proof of Theorem coinfliplem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . 2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
2 coinflip.h . . 3  |-  H  e. 
_V
3 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  ~P { H ,  T } )
4 fvres 5747 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  =  ( # `  x
) )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( ( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  =  ( # `  x
) )
6 prfi 7383 . . . . . . . 8  |-  { H ,  T }  e.  Fin
73elpwid 3810 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  C_  { H ,  T } )
8 ssfi 7331 . . . . . . . 8  |-  ( ( { H ,  T }  e.  Fin  /\  x  C_ 
{ H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
96, 7, 8sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
10 hashcl 11641 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  NN0 )
1211nn0red 10277 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  RR )
135, 12eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( ( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  e.  RR )
14 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
15 2re 10071 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  2  e.  RR )
17 2ne0 10085 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  2  =/=  0 )
19 rexdiv 24174 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
y /𝑒  2 )  =  ( y  /  2 ) )
2014, 16, 18, 19syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  ( y /𝑒  2 )  =  ( y  /  2 ) )
21 hashresfn 24158 . . . . 5  |-  ( #  |` 
~P { H ,  T } )  Fn  ~P { H ,  T }
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  ( #  |`  ~P { H ,  T } )  Fn  ~P { H ,  T }
)
23 pwfi 7404 . . . . . 6  |-  ( { H ,  T }  e.  Fin  <->  ~P { H ,  T }  e.  Fin )
246, 23mpbi 201 . . . . 5  |-  ~P { H ,  T }  e.  Fin
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  ~P { H ,  T }  e.  Fin )
2615a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  2  e.  RR )
2713, 20, 22, 25, 26ofcfeqd2 24486 . . 3  |-  ( H  e.  _V  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )  =  ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 ) )
282, 27ax-mp 8 . 2  |-  ( (
#  |`  ~P { H ,  T } )𝑓/𝑐 /𝑒  2 )  =  ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 )
291, 28eqtr4i 2461 1  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {cpr 3817   <.cop 3819    |` cres 4882    Fn wfn 5451   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    / cdiv 9679   2c2 10051   NN0cn0 10223   #chash 11620   /𝑒 cxdiv 24165  ∘𝑓/𝑐cofc 24480
This theorem is referenced by:  coinflipprob  24739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-xneg 10712  df-xmul 10714  df-hash 11621  df-xdiv 24166  df-ofc 24481
  Copyright terms: Public domain W3C validator