Theorem colinearperm1 24062

Description: Permutation law for colinearity. Part of theorem 4.11 of [Schwabhauser] p. 36. (Contributed by Scott Fenton, 5-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearperm1	|- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Colinear <. B , C >. <-> A Colinear <. C , B >. ) )

Proof of Theorem colinearperm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwncom 24014	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Btwn <. B , C >. <-> A Btwn <. C , B >. ) )
2		3anrot 944	. . . . 5 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) <-> ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) ) )
3		btwncom 24014	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. C , A >. <-> B Btwn <. A , C >. ) )
4	2, 3	sylan2b 463	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. C , A >. <-> B Btwn <. A , C >. ) )
5		3anrot 944	. . . . 5 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) <-> ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) )
6		btwncom 24014	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. A , B >. <-> C Btwn <. B , A >. ) )
7	5, 6	sylan2br 464	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. A , B >. <-> C Btwn <. B , A >. ) )
8	1, 4, 7	3orbi123d 1256	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( A Btwn <. B , C >. \/ B Btwn <. C , A >. \/ C Btwn <. A , B >. ) <-> ( A Btwn <. C , B >. \/ B Btwn <. A , C >. \/ C Btwn <. B , A >. ) ) )
9		3orcomb 949	. . 3 |- ( ( A Btwn <. C , B >. \/ B Btwn <. A , C >. \/ C Btwn <. B , A >. ) <-> ( A Btwn <. C , B >. \/ C Btwn <. B , A >. \/ B Btwn <. A , C >. ) )
10	8, 9	syl6bb 254	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( A Btwn <. B , C >. \/ B Btwn <. C , A >. \/ C Btwn <. A , B >. ) <-> ( A Btwn <. C , B >. \/ C Btwn <. B , A >. \/ B Btwn <. A , C >. ) ) )
11		brcolinear 24059	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Colinear <. B , C >. <-> ( A Btwn <. B , C >. \/ B Btwn <. C , A >. \/ C Btwn <. A , B >. ) ) )
12		3ancomb 948	. . 3 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) <-> ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) )
13		brcolinear 24059	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Colinear <. C , B >. <-> ( A Btwn <. C , B >. \/ C Btwn <. B , A >. \/ B Btwn <. A , C >. ) ) )
14	12, 13	sylan2b 463	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Colinear <. C , B >. <-> ( A Btwn <. C , B >. \/ C Btwn <. B , A >. \/ B Btwn <. A , C >. ) ) )
15	10, 11, 14	3bitr4d 278	1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Colinear <. B , C >. <-> A Colinear <. C , B >. ) )

Syntax hints:   -> wi 6   <-> wb 178   /\ wa 360   \/ w3o 938   /\ w3a 939   e. wcel 1621   <.cop 3618   class class class wbr 3998   ` cfv 5195   NNcn 9715   EEcee 23893   Btwn cbtwn 23894   Colinear ccolin 24037

This theorem is referenced by:  colinearperm2  24064  colinearperm5  24066  btwncolinear2  24070  linecom  24150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4106  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4161  ax-pr 4187  ax-un 4485  ax-inf2 7311  ax-cnex 8762  ax-resscn 8763  ax-1cn 8764  ax-icn 8765  ax-addcl 8766  ax-addrcl 8767  ax-mulcl 8768  ax-mulrcl 8769  ax-mulcom 8770  ax-addass 8771  ax-mulass 8772  ax-distr 8773  ax-i2m1 8774  ax-1ne0 8775  ax-1rid 8776  ax-rnegex 8777  ax-rrecex 8778  ax-cnre 8779  ax-pre-lttri 8780  ax-pre-lttrn 8781  ax-pre-ltadd 8782  ax-pre-mulgt0 8783  ax-pre-sup 8784

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3541  df-pw 3602  df-sn 3621  df-pr 3622  df-tp 3623  df-op 3624  df-uni 3803  df-int 3838  df-iun 3882  df-br 3999  df-opab 4053  df-mpt 4054  df-tr 4089  df-eprel 4278  df-id 4282  df-po 4287  df-so 4288  df-fr 4325  df-se 4326  df-we 4327  df-ord 4368  df-on 4369  df-lim 4370  df-suc 4371  df-om 4630  df-xp 4668  df-rel 4669  df-cnv 4670  df-co 4671  df-dm 4672  df-rn 4673  df-res 4674  df-ima 4675  df-fun 5197  df-fn 5198  df-f 5199  df-f1 5200  df-fo 5201  df-f1o 5202  df-fv 5203  df-isom 5204  df-ov 5796  df-oprab 5797  df-mpt2 5798  df-1st 6057  df-2nd 6058  df-iota 6226  df-riota 6273  df-recs 6357  df-rdg 6392  df-1o 6448  df-oadd 6452  df-er 6629  df-map 6743  df-en 6833  df-dom 6834  df-sdom 6835  df-fin 6836  df-sup 7163  df-oi 7194  df-card 7541  df-pnf 8838  df-mnf 8839  df-xr 8840  df-ltxr 8841  df-le 8842  df-sub 9008  df-neg 9009  df-div 9393  df-nn 9716  df-2 9773  df-3 9774  df-n0 9935  df-z 9994  df-uz 10200  df-rp 10324  df-ico 10630  df-icc 10631  df-fz 10751  df-fzo 10839  df-seq 11015  df-exp 11073  df-hash 11306  df-cj 11551  df-re 11552  df-im 11553  df-sqr 11687  df-abs 11688  df-clim 11929  df-sum 12126  df-ee 23896  df-btwn 23897  df-cgr 23898  df-colinear 24041