Theorem colinearperm1 24095

Description: Permutation law for colinearity. Part of theorem 4.11 of [Schwabhauser] p. 36. (Contributed by Scott Fenton, 5-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearperm1	|- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Colinear <. B , C >. <-> A Colinear <. C , B >. ) )

Proof of Theorem colinearperm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwncom 24047	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Btwn <. B , C >. <-> A Btwn <. C , B >. ) )
2		3anrot 939	. . . . 5 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) <-> ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) ) )
3		btwncom 24047	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. C , A >. <-> B Btwn <. A , C >. ) )
4	2, 3	sylan2b 461	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. C , A >. <-> B Btwn <. A , C >. ) )
5		3anrot 939	. . . . 5 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) <-> ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) )
6		btwncom 24047	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. A , B >. <-> C Btwn <. B , A >. ) )
7	5, 6	sylan2br 462	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. A , B >. <-> C Btwn <. B , A >. ) )
8	1, 4, 7	3orbi123d 1251	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( A Btwn <. B , C >. \/ B Btwn <. C , A >. \/ C Btwn <. A , B >. ) <-> ( A Btwn <. C , B >. \/ B Btwn <. A , C >. \/ C Btwn <. B , A >. ) ) )
9		3orcomb 944	. . 3 |- ( ( A Btwn <. C , B >. \/ B Btwn <. A , C >. \/ C Btwn <. B , A >. ) <-> ( A Btwn <. C , B >. \/ C Btwn <. B , A >. \/ B Btwn <. A , C >. ) )
10	8, 9	syl6bb 252	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( A Btwn <. B , C >. \/ B Btwn <. C , A >. \/ C Btwn <. A , B >. ) <-> ( A Btwn <. C , B >. \/ C Btwn <. B , A >. \/ B Btwn <. A , C >. ) ) )
11		brcolinear 24092	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Colinear <. B , C >. <-> ( A Btwn <. B , C >. \/ B Btwn <. C , A >. \/ C Btwn <. A , B >. ) ) )
12		3ancomb 943	. . 3 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) <-> ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) )
13		brcolinear 24092	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Colinear <. C , B >. <-> ( A Btwn <. C , B >. \/ C Btwn <. B , A >. \/ B Btwn <. A , C >. ) ) )
14	12, 13	sylan2b 461	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Colinear <. C , B >. <-> ( A Btwn <. C , B >. \/ C Btwn <. B , A >. \/ B Btwn <. A , C >. ) ) )
15	10, 11, 14	3bitr4d 276	1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) -> ( A Colinear <. B , C >. <-> A Colinear <. C , B >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   \/ w3o 933   /\ w3a 934   e. wcel 1685   <.cop 3644   class class class wbr 4024   ` cfv 5221   NNcn 9742   EEcee 23926   Btwn cbtwn 23927   Colinear ccolin 24070

This theorem is referenced by:  colinearperm2  24097  colinearperm5  24099  btwncolinear2  24103  linecom  24183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-sum 12155  df-ee 23929  df-btwn 23930  df-cgr 23931  df-colinear 24074