Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  constr3lem4 Unicode version

Theorem constr3lem4 27771
Description: Lemma for constr3trl 27783 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( ( P `
 0 )  =  A  /\  ( P `
 1 )  =  B )  /\  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )

Proof of Theorem constr3lem4
StepHypRef Expression
1 0z 10127 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10145 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
31, 2pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
43a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
5 3simpa 952 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )
6 ax-1ne0 8896 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
76necomi 2603 . . . . 5  |-  0  =/=  1
87a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
9 fnprg 5387 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
104, 5, 8, 9syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
11 2z 10146 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
12 3nn0 10075 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
1311, 12pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )
1413a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )
)
15 pm3.22 436 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
16153adant2 974 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
17 2re 9905 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
18 2lt3 9979 . . . . . 6  |-  2  <  3
1917, 18ltneii 9021 . . . . 5  |-  2  =/=  3
2019a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  =/=  3 )
21 fnprg 5387 . . . 4  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 } )
2214, 16, 20, 21syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 } )
23 2ne0 9919 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
2423necomi 2603 . . . . 5  |-  0  =/=  2
25 1ne2 10023 . . . . 5  |-  1  =/=  2
26 3ne0 9921 . . . . . 6  |-  3  =/=  0
2726necomi 2603 . . . . 5  |-  0  =/=  3
28 1re 8927 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
29 1lt3 9980 . . . . . 6  |-  1  <  3
3028, 29ltneii 9021 . . . . 5  |-  1  =/=  3
31 disjpr2 27412 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2
)  /\  ( 0  =/=  3  /\  1  =/=  3 ) )  -> 
( { 0 ,  1 }  i^i  {
2 ,  3 } )  =  (/) )
3224, 25, 27, 30, 31mp4an 654 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)
3332a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { 0 ,  1 }  i^i  {
2 ,  3 } )  =  (/) )
3410, 22, 333jca 1132 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) ) )
35 constr3cycl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
3635fveq1i 5609 . . . . 5  |-  ( P `
 0 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)
37 c0ex 8922 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
3837prid1 3810 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
3938jctr 526 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) )
40393anim3i 1139 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
4140adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
42 fvun1 5673 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 ) )
4341, 42syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 ) )
4436, 43syl5eq 2402 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  0 ) )
451a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  0  e.  ZZ )
46 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
477a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  0  =/=  1 )
4845, 46, 473jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  e.  ZZ  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 ) )
49 fvpr1g 27418 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
5048, 49syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
51503ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
5251adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
5344, 52eqtrd 2390 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  0 )  =  A )
5435fveq1i 5609 . . . . 5  |-  ( P `
 1 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)
55 1ex 8923 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
5655prid2 3811 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
5756jctr 526 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) )
58573anim3i 1139 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
5958adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
60 fvun1 5673 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 ) )
6159, 60syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 ) )
6254, 61syl5eq 2402 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  1 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  1 ) )
6328a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  1  e.  RR )
64 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  V )
657a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  0  =/=  1 )
6663, 64, 653jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  V  ->  (
1  e.  RR  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 ) )
67 fvpr2g 27419 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
6866, 67syl 15 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
69683ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
7069adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
7162, 70eqtrd 2390 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  1 )  =  B )
7235fveq1i 5609 . . . . . 6  |-  ( P `
 2 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)
7311elexi 2873 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  _V
7473prid1 3810 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  { 2 ,  3 }
7574jctr 526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) )
76753anim3i 1139 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
7776adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
78 fvun2 5674 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 ) )
7977, 78syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 ) )
8072, 79syl5eq 2402 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  2 )  =  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } `  2 ) )
8111a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  V  ->  2  e.  ZZ )
82 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  V  ->  C  e.  V )
8319a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  V  ->  2  =/=  3 )
8481, 82, 833jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  V  ->  (
2  e.  ZZ  /\  C  e.  V  /\  2  =/=  3 ) )
85 fvpr1g 27418 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V  /\  2  =/=  3 )  -> 
( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2
)  =  C )
8684, 85syl 15 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  V  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 )  =  C )
87863ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2
)  =  C )
8887adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 )  =  C )
8980, 88eqtrd 2390 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  2 )  =  C )
9035fveq1i 5609 . . . . . 6  |-  ( P `
 3 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)
9112elexi 2873 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  _V
9291prid2 3811 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  { 2 ,  3 }
9392jctr 526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) )
94933anim3i 1139 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
9594adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
96 fvun2 5674 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 ) )
9795, 96syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 ) )
9890, 97syl5eq 2402 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  3 )  =  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } `  3 ) )
9912a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  3  e.  NN0 )
10019a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  2  =/=  3 )
10199, 46, 1003jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
3  e.  NN0  /\  A  e.  V  /\  2  =/=  3 ) )
102 fvpr2g 27419 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  A  e.  V  /\  2  =/=  3 )  -> 
( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3
)  =  A )
103101, 102syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 )  =  A )
1041033ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3
)  =  A )
105104adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 )  =  A )
10698, 105eqtrd 2390 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  3 )  =  A )
10789, 106jca 518 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) )
10853, 71, 107jca31 520 . 2  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  A  /\  ( P ` 
1 )  =  B )  /\  ( ( P `  2 )  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )
10934, 108mpancom 650 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( ( P `
 0 )  =  A  /\  ( P `
 1 )  =  B )  /\  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521    u. cun 3226    i^i cin 3227   (/)c0 3531   {cpr 3717   {ctp 3718   <.cop 3719   `'ccnv 4770    Fn wfn 5332   ` cfv 5337   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828   2c2 9885   3c3 9886   NN0cn0 10057   ZZcz 10116
This theorem is referenced by:  constr3lem6  27773  constr3trllem5  27778  constr3cycllem1  27782  constr3cyclp  27786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117
  Copyright terms: Public domain W3C validator