MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem4 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem4 21634
Description: Lemma for constr3trl 21646 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( ( P `
 0 )  =  A  /\  ( P `
 1 )  =  B )  /\  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )

Proof of Theorem constr3lem4
StepHypRef Expression
1 0z 10293 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10311 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
31, 2pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
5 3simpa 954 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )
6 ax-1ne0 9059 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
76necomi 2686 . . . . 5  |-  0  =/=  1
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
9 fnprg 5505 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
104, 5, 8, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
11 2z 10312 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
12 3nn0 10239 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
1311, 12pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )
)
15 pm3.22 437 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
16153adant2 976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
17 2re 10069 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
18 2lt3 10143 . . . . . 6  |-  2  <  3
1917, 18ltneii 9186 . . . . 5  |-  2  =/=  3
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  =/=  3 )
21 fnprg 5505 . . . 4  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 } )
2214, 16, 20, 21syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 } )
23 2ne0 10083 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
2423necomi 2686 . . . . 5  |-  0  =/=  2
25 1ne2 10187 . . . . 5  |-  1  =/=  2
26 3ne0 10085 . . . . . 6  |-  3  =/=  0
2726necomi 2686 . . . . 5  |-  0  =/=  3
28 1re 9090 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
29 1lt3 10144 . . . . . 6  |-  1  <  3
3028, 29ltneii 9186 . . . . 5  |-  1  =/=  3
31 disjpr2 3870 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2
)  /\  ( 0  =/=  3  /\  1  =/=  3 ) )  -> 
( { 0 ,  1 }  i^i  {
2 ,  3 } )  =  (/) )
3224, 25, 27, 30, 31mp4an 655 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)
3332a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { 0 ,  1 }  i^i  {
2 ,  3 } )  =  (/) )
3410, 22, 333jca 1134 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) ) )
35 constr3cycl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
3635fveq1i 5729 . . . . 5  |-  ( P `
 0 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)
37 c0ex 9085 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
3837prid1 3912 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
3938jctr 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) )
40393anim3i 1141 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
4140adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
42 fvun1 5794 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  0  e.  { 0 ,  1 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 ) )
4341, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  0
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 ) )
4436, 43syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  0 ) )
45 fvpr1g 5937 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
461, 7, 45mp3an13 1270 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
47463ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
4847adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
4944, 48eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  0 )  =  A )
5035fveq1i 5729 . . . . 5  |-  ( P `
 1 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)
51 1ex 9086 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
5251prid2 3913 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
5352jctr 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) )
54533anim3i 1141 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
5554adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) ) )
56 fvun1 5794 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  1  e.  { 0 ,  1 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 ) )
5755, 56syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  1
)  =  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 ) )
5850, 57syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  1 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  1 ) )
59 fvpr2g 5938 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
6028, 7, 59mp3an13 1270 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
61603ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
6261adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
6358, 62eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  1 )  =  B )
6435fveq1i 5729 . . . . . 6  |-  ( P `
 2 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)
6511elexi 2965 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  _V
6665prid1 3912 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  { 2 ,  3 }
6766jctr 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) )
68673anim3i 1141 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
6968adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
70 fvun2 5795 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  2  e.  { 2 ,  3 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 ) )
7169, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  2
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 ) )
7264, 71syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  2 )  =  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } `  2 ) )
73 fvpr1g 5937 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V  /\  2  =/=  3 )  -> 
( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2
)  =  C )
7411, 19, 73mp3an13 1270 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  V  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 )  =  C )
75743ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2
)  =  C )
7675adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  2 )  =  C )
7772, 76eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  2 )  =  C )
7835fveq1i 5729 . . . . . 6  |-  ( P `
 3 )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)
7912elexi 2965 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  _V
8079prid2 3913 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  { 2 ,  3 }
8180jctr 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  ->  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) )
82813anim3i 1141 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
8382adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) ) )
84 fvun2 5795 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  { 0 ,  1 }  /\  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  { 2 ,  3 }  /\  ( ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/)  /\  3  e.  { 2 ,  3 } ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 ) )
8583, 84syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) `  3
)  =  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 ) )
8678, 85syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  3 )  =  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } `  3 ) )
87 fvpr2g 5938 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  A  e.  V  /\  2  =/=  3 )  -> 
( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3
)  =  A )
8812, 19, 87mp3an13 1270 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 )  =  A )
89883ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3
)  =  A )
9089adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } `  3 )  =  A )
9186, 90eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  ( P `  3 )  =  A )
9277, 91jca 519 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) )
9349, 63, 92jca31 521 . 2  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  Fn  {
0 ,  1 }  /\  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  Fn  {
2 ,  3 }  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 2 ,  3 } )  =  (/) )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  A  /\  ( P ` 
1 )  =  B )  /\  ( ( P `  2 )  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )
9434, 93mpancom 651 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( ( P `
 0 )  =  A  /\  ( P `
 1 )  =  B )  /\  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    u. cun 3318    i^i cin 3319   (/)c0 3628   {cpr 3815   {ctp 3816   <.cop 3817   `'ccnv 4877    Fn wfn 5449   ` cfv 5454   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991   2c2 10049   3c3 10050   NN0cn0 10221   ZZcz 10282
This theorem is referenced by:  constr3lem6  21636  constr3trllem5  21641  constr3cycllem1  21645  constr3cyclp  21649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283
  Copyright terms: Public domain W3C validator