MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3trllem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr3trllem1 21637
Description: Lemma for constr3trl 21646. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3trllem1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  e. Word  dom  E )

Proof of Theorem constr3trllem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9085 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2 1ex 9086 . . . . 5  |-  1  e.  _V
3 2z 10312 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
43elexi 2965 . . . . 5  |-  2  e.  _V
5 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
6 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
7 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
8 ax-1ne0 9059 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
98necomi 2686 . . . . 5  |-  0  =/=  1
10 2ne0 10083 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1110necomi 2686 . . . . 5  |-  0  =/=  2
12 1ne2 10187 . . . . 5  |-  1  =/=  2
131, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12ftp 5917 . . . 4  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }
14 constr3cycl.f . . . . . 6  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )
16 fzo0to3tp 11185 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( 0..^ 3 )  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1815, 17feq12d 5582 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( F :
( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) } ) )
1913, 18mpbiri 225 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F : ( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B }
) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) } )
20 usgraf 21375 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  =  2 } )
21 f1f1orn 5685 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
22 f1ocnvdm 6018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E )
23223ad2antr1 1122 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E )
24 f1ocnvdm 6018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E )
25243ad2antr2 1123 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E )
26 f1ocnvdm 6018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E )
27263ad2antr3 1124 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E )
2823, 25, 273jca 1134 . . . . . . 7  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( `' E `  { A ,  B }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A }
)  e.  dom  E
) )
2928ex 424 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E ) ) )
3020, 21, 293syl 19 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( `' E `  { A ,  B } )  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e.  dom  E ) ) )
3130imp 419 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E ) )
325, 6, 7tpss 3964 . . . 4  |-  ( ( ( `' E `  { A ,  B }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A }
)  e.  dom  E
)  <->  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  C_  dom  E )
3331, 32sylib 189 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) } 
C_  dom  E )
3419, 33jca 519 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( F :
( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  /\  {
( `' E `  { A ,  B }
) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  C_  dom  E ) )
35 fss 5599 . 2  |-  ( ( F : ( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) }  /\  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) } 
C_  dom  E )  ->  F : ( 0..^ 3 ) --> dom  E
)
36 iswrdi 11731 . 2  |-  ( F : ( 0..^ 3 ) --> dom  E  ->  F  e. Word  dom  E )
3734, 35, 363syl 19 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  e. Word  dom  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    \ cdif 3317    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   {cpr 3815   {ctp 3816   <.cop 3817   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991   2c2 10049   3c3 10050   ZZcz 10282  ..^cfzo 11135   #chash 11618  Word cword 11717   USGrph cusg 21365
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  21638  constr3trl  21646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-word 11723  df-usgra 21367
  Copyright terms: Public domain W3C validator