MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3trllem1 Unicode version

Theorem constr3trllem1 21590
Description: Lemma for constr3trl 21599. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3trllem1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  e. Word  dom  E )

Proof of Theorem constr3trllem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9041 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2 1ex 9042 . . . . 5  |-  1  e.  _V
3 2z 10268 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
43elexi 2925 . . . . 5  |-  2  e.  _V
5 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
6 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
7 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
8 ax-1ne0 9015 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
98necomi 2649 . . . . 5  |-  0  =/=  1
10 2ne0 10039 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1110necomi 2649 . . . . 5  |-  0  =/=  2
12 1ne2 10143 . . . . 5  |-  1  =/=  2
131, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12ftp 5876 . . . 4  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }
14 constr3cycl.f . . . . . 6  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )
16 fzo0to3tp 11140 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( 0..^ 3 )  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1815, 17feq12d 5541 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( F :
( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) } ) )
1913, 18mpbiri 225 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F : ( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B }
) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) } )
20 usgraf 21328 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  =  2 } )
21 f1f1orn 5644 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
22 f1ocnvdm 5977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E )
23223ad2antr1 1122 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E )
24 f1ocnvdm 5977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E )
25243ad2antr2 1123 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E )
26 f1ocnvdm 5977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E )
27263ad2antr3 1124 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E )
2823, 25, 273jca 1134 . . . . . . 7  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( `' E `  { A ,  B }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A }
)  e.  dom  E
) )
2928ex 424 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E ) ) )
3020, 21, 293syl 19 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( `' E `  { A ,  B } )  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e.  dom  E ) ) )
3130imp 419 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E ) )
325, 6, 7tpss 3924 . . . 4  |-  ( ( ( `' E `  { A ,  B }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A }
)  e.  dom  E
)  <->  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  C_  dom  E )
3331, 32sylib 189 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) } 
C_  dom  E )
3419, 33jca 519 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( F :
( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  /\  {
( `' E `  { A ,  B }
) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  C_  dom  E ) )
35 fss 5558 . 2  |-  ( ( F : ( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) }  /\  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) } 
C_  dom  E )  ->  F : ( 0..^ 3 ) --> dom  E
)
36 iswrdi 11686 . 2  |-  ( F : ( 0..^ 3 ) --> dom  E  ->  F  e. Word  dom  E )
3734, 35, 363syl 19 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  e. Word  dom  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775   {ctp 3776   <.cop 3777   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   2c2 10005   3c3 10006   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090   #chash 11573  Word cword 11672   USGrph cusg 21318
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  21591  constr3trl  21599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-word 11678  df-usgra 21320
  Copyright terms: Public domain W3C validator