Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprimeprodsq Structured version   Unicode version

Theorem coprimeprodsq 13183
 Description: If three numbers are coprime, and the square of one is the product of the other two, then there is a formula for the other two in terms of and square. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
coprimeprodsq

Proof of Theorem coprimeprodsq
StepHypRef Expression
1 nn0z 10304 . . . . . . . 8
2 nn0z 10304 . . . . . . . 8
3 gcdcl 13017 . . . . . . . 8
41, 2, 3syl2an 464 . . . . . . 7
543adant2 976 . . . . . 6
653ad2ant1 978 . . . . 5
76nn0cnd 10276 . . . 4
87sqvald 11520 . . 3
9 simp13 989 . . . . . . . . 9
109nn0cnd 10276 . . . . . . . 8
11 nn0cn 10231 . . . . . . . . . 10
12113ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
13123ad2ant1 978 . . . . . . . 8
1410, 13mulcomd 9109 . . . . . . 7
15 simpl3 962 . . . . . . . . . . 11
1615nn0cnd 10276 . . . . . . . . . 10
1716sqvald 11520 . . . . . . . . 9
1817eqeq1d 2444 . . . . . . . 8
1918biimp3a 1283 . . . . . . 7
2014, 19oveq12d 6099 . . . . . 6
21 simp11 987 . . . . . . . 8
2221nn0zd 10373 . . . . . . 7
239nn0zd 10373 . . . . . . 7
24 mulgcd 13046 . . . . . . 7
259, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . 6
26 simp12 988 . . . . . . 7
27 mulgcd 13046 . . . . . . 7
2821, 23, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . 6
2920, 25, 283eqtr3d 2476 . . . . 5
3029oveq2d 6097 . . . 4
31 mulgcdr 13048 . . . . 5
3222, 23, 6, 31syl3anc 1184 . . . 4
336nn0zd 10373 . . . . 5
34 gcdcl 13017 . . . . . . . . . 10
352, 34sylan 458 . . . . . . . . 9
3635ancoms 440 . . . . . . . 8
37363adant1 975 . . . . . . 7
38373ad2ant1 978 . . . . . 6
3938nn0zd 10373 . . . . 5
40 mulgcd 13046 . . . . 5
4121, 33, 39, 40syl3anc 1184 . . . 4
4230, 32, 413eqtr3d 2476 . . 3
4323ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . 14
44 gcdid 13031 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4645oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12
47 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13
48 gcdabs1 13034 . . . . . . . . . . . . 13
4943, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
5046, 49eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11
51 gcdass 13045 . . . . . . . . . . . 12
5243, 43, 47, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
53 gcdcom 13020 . . . . . . . . . . . 12
5443, 47, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
5550, 52, 543eqtr3d 2476 . . . . . . . . . 10
5655oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
5713ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10
5837nn0zd 10373 . . . . . . . . . 10
59 gcdass 13045 . . . . . . . . . 10
6057, 43, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
61 gcdass 13045 . . . . . . . . . 10
6257, 47, 43, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
6356, 60, 623eqtr4d 2478 . . . . . . . 8
6463eqeq1d 2444 . . . . . . 7
6564biimpar 472 . . . . . 6
6665oveq2d 6097 . . . . 5
67663adant3 977 . . . 4
6813mulid1d 9105 . . . 4
6967, 68eqtrd 2468 . . 3
708, 42, 693eqtrrd 2473 . 2
71703expia 1155 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  c1 8991   cmul 8995  c2 10049  cn0 10221  cz 10282  cexp 11382  cabs 12039   cgcd 13006 This theorem is referenced by:  coprimeprodsq2  13184  pythagtriplem6  13195 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007
 Copyright terms: Public domain W3C validator