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Theorem copsexg 4145
Description: Substitution of class  A for ordered pair  <. x ,  y >.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
copsexg  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem copsexg
StepHypRef Expression
1 vex 2730 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 vex 2730 . . . 4  |-  y  e. 
_V
31, 2eqvinop 4144 . . 3  |-  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. z E. w
( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
)
4 19.8a 1758 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y
( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) )
5419.23bi 1783 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
65ex 425 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  ->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
7 vex 2730 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
8 vex 2730 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
97, 8opth 4138 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  <->  ( z  =  x  /\  w  =  y )
)
109anbi1i 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ( (
z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph ) )
11102exbii 1581 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x E. y (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph ) )
12 nfe1 1566 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )
13 nfa1 1719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y A. y  y  =  x
14 anass 633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  <->  ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) ) )
15 19.8a 1758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  =  y  /\  ph )  ->  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )
1615a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( w  =  y  /\  ph )  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
1716anim2d 550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
1814, 17syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
1913, 18eximd 1711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. y ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
20 biidd 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  <-> 
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
2120drex1 1859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  <->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2219, 21sylibd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2314exbii 1580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  <->  E. y ( z  =  x  /\  (
w  =  y  /\  ph ) ) )
24 19.40 1608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( E. y  z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
25 nfnae 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
26 dveeq2 1928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( z  =  x  ->  A. y 
z  =  x ) )
2725, 26nfd 1707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y 
z  =  x )
282719.9d 1763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y  z  =  x  ->  z  =  x ) )
2928anim1d 549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( ( E. y  z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
3024, 29syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
3123, 30syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
32 19.8a 1758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
3331, 32syl6 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
3422, 33pm2.61i 158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
3512, 34exlimi 1781 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) )
36 euequ1 2201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E! x  x  =  z
37 equcom 1824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  <->  z  =  x )
3837eubii 2123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! x  x  =  z  <-> 
E! x  z  =  x )
3936, 38mpbi 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E! x  z  =  x
40 eupick 2176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E! x  z  =  x  /\  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )  -> 
( z  =  x  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
4139, 40mpan 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( z  =  x  ->  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) )
4241com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
43 euequ1 2201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E! y  y  =  w
44 eqcom 2255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  <->  w  =  y )
4544eubii 2123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! y  y  =  w  <-> 
E! y  w  =  y )
4643, 45mpbi 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E! y  w  =  y
47 eupick 2176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E! y  w  =  y  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( w  =  y  ->  ph ) )
4846, 47mpan 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( w  =  y  /\  ph )  ->  ( w  =  y  ->  ph ) )
4948com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( E. y ( w  =  y  /\  ph )  ->  ph ) )
5042, 49sylan9 641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  ph ) )
5135, 50syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ph ) )
5211, 51syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  ph ) )
539, 52sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  ph ) )
546, 53impbid 185 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
55 eqeq1 2259 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  <->  <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.
) )
5655anbi1d 688 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
57562exbidv 2007 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
5857bibi2d 311 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ph  <->  E. x E. y ( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )  <->  ( ph  <->  E. x E. y (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
5955, 58imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )  <-> 
( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) ) )
6054, 59mpbiri 226 . . . . 5  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6160adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( ph 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6261exlimivv 2025 . . 3  |-  ( E. z E. w ( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( ph 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
633, 62sylbi 189 . 2  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6463pm2.43i 45 1  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619   E!weu 2114   <.cop 3547
This theorem is referenced by:  copsex2t  4146  copsex2g  4147  mosubopt  4157  opabid  4164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553
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