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Theorem copsexg 4251
Description: Substitution of class  A for ordered pair  <. x ,  y >.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
copsexg  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem copsexg
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2792 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 vex 2792 . . . 4  |-  y  e. 
_V
31, 2eqvinop 4250 . . 3  |-  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. z E. w
( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
)
4 19.8a 1720 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y
( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) )
5419.23bi 1804 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
65ex 423 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  ->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
7 vex 2792 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
8 vex 2792 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
97, 8opth 4244 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  <->  ( z  =  x  /\  w  =  y )
)
109anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ( (
z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph ) )
11102exbii 1570 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x E. y (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph ) )
12 nfe1 1707 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )
13 nfa1 1758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y A. y  y  =  x
14 anass 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  <->  ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) ) )
15 19.8a 1720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  =  y  /\  ph )  ->  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )
1615a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( w  =  y  /\  ph )  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
1716anim2d 548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
1814, 17syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
1913, 18eximd 1752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. y ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
20 biidd 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  <-> 
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
2120drex1 1910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  <->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2219, 21sylibd 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2314exbii 1569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  <->  E. y ( z  =  x  /\  (
w  =  y  /\  ph ) ) )
24 19.40 1596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( E. y  z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
25 nfnae 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
26 dveeq2 1882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( z  =  x  ->  A. y 
z  =  x ) )
2725, 26nfd 1748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y 
z  =  x )
282719.9d 1786 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y  z  =  x  ->  z  =  x ) )
2928anim1d 547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( ( E. y  z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
3024, 29syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
3123, 30syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
32 19.8a 1720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
3331, 32syl6 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
3422, 33pm2.61i 156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
3512, 34exlimi 1803 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) )
36 euequ1 2232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E! x  x  =  z
37 equcom 1648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  <->  z  =  x )
3837eubii 2153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! x  x  =  z  <-> 
E! x  z  =  x )
3936, 38mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E! x  z  =  x
40 eupick 2207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E! x  z  =  x  /\  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )  -> 
( z  =  x  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
4139, 40mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( z  =  x  ->  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) )
4241com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
43 euequ1 2232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E! y  y  =  w
44 eqcom 2286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  <->  w  =  y )
4544eubii 2153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! y  y  =  w  <-> 
E! y  w  =  y )
4643, 45mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E! y  w  =  y
47 eupick 2207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E! y  w  =  y  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( w  =  y  ->  ph ) )
4846, 47mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( w  =  y  /\  ph )  ->  ( w  =  y  ->  ph ) )
4948com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( E. y ( w  =  y  /\  ph )  ->  ph ) )
5042, 49sylan9 638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  ph ) )
5135, 50syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ph ) )
5211, 51syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  ph ) )
539, 52sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  ph ) )
546, 53impbid 183 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
55 eqeq1 2290 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  <->  <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.
) )
5655anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
57562exbidv 1614 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
5857bibi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ph  <->  E. x E. y ( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )  <->  ( ph  <->  E. x E. y (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
5955, 58imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )  <-> 
( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) ) )
6054, 59mpbiri 224 . . . . 5  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6160adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( ph 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6261exlimivv 1668 . . 3  |-  ( E. z E. w ( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( ph 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
633, 62sylbi 187 . 2  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6463pm2.43i 43 1  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623   E!weu 2144   <.cop 3644
This theorem is referenced by:  copsex2t  4252  copsex2g  4253  mosubopt  4263  opabid  4270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-rab 2553  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650
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