Theorem cores 3499

Description: Restricted first member of a class composition.

Assertion

Ref	Expression
cores	|- (ran B (_ C -> ((A |` C) o. B) = (A o. B))

Proof of Theorem cores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 319	. . . . . . . 8 |- ((xBz /\ z e. C) -> xBz)
2	1	anim1i 334	. . . . . . 7 |- (((xBz /\ z e. C) /\ zAy) -> (xBz /\ zAy))
3		ssel 2063	. . . . . . . . . 10 |- (ran B (_ C -> (z e. ran B -> z e. C))
4		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
5		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
6	4, 5	brelrn 3344	. . . . . . . . . 10 |- (xBz -> z e. ran B)
7	3, 6	syl5 21	. . . . . . . . 9 |- (ran B (_ C -> (xBz -> z e. C))
8	7	ancld 298	. . . . . . . 8 |- (ran B (_ C -> (xBz -> (xBz /\ z e. C)))
9	8	anim1d 560	. . . . . . 7 |- (ran B (_ C -> ((xBz /\ zAy) -> ((xBz /\ z e. C) /\ zAy)))
10	2, 9	impbid2 518	. . . . . 6 |- (ran B (_ C -> (((xBz /\ z e. C) /\ zAy) <-> (xBz /\ zAy)))
11		visset 1813	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
12	11	brres 3373	. . . . . . . . 9 |- (z(A |` C)y <-> (zAy /\ z e. C))
13		ancom 435	. . . . . . . . 9 |- ((zAy /\ z e. C) <-> (z e. C /\ zAy))
14	12, 13	bitr 173	. . . . . . . 8 |- (z(A |` C)y <-> (z e. C /\ zAy))
15	14	anbi2i 480	. . . . . . 7 |- ((xBz /\ z(A |` C)y) <-> (xBz /\ (z e. C /\ zAy)))
16		anass 439	. . . . . . 7 |- (((xBz /\ z e. C) /\ zAy) <-> (xBz /\ (z e. C /\ zAy)))
17	15, 16	bitr4 176	. . . . . 6 |- ((xBz /\ z(A |` C)y) <-> ((xBz /\ z e. C) /\ zAy))
18	10, 17	syl5bb 532	. . . . 5 |- (ran B (_ C -> ((xBz /\ z(A |` C)y) <-> (xBz /\ zAy)))
19	18	exbidv 1279	. . . 4 |- (ran B (_ C -> (E.z(xBz /\ z(A |` C)y) <-> E.z(xBz /\ zAy)))
20	4, 11	opelco 3288	. . . 4 |- (<.x, y>. e. ((A |` C) o. B) <-> E.z(xBz /\ z(A |` C)y))
21	4, 11	opelco 3288	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (A o. B) <-> E.z(xBz /\ zAy))
22	19, 20, 21	3bitr4g 555	. . 3 |- (ran B (_ C -> (<.x, y>. e. ((A |` C) o. B) <-> <.x, y>. e. (A o. B)))
23	22	19.21aivv 1287	. 2 |- (ran B (_ C -> A.xA.y(<.x, y>. e. ((A |` C) o. B) <-> <.x, y>. e. (A o. B)))
24		relco 3484	. . 3 |- Rel ((A |` C) o. B)
25		relco 3484	. . 3 |- Rel (A o. B)
26		eqrel 3250	. . 3 |- ((Rel ((A |` C) o. B) /\ Rel (A o. B)) -> (((A |` C) o. B) = (A o. B) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. ((A |` C) o. B) <-> <.x, y>. e. (A o. B))))
27	24, 25, 26	mp2an 697	. 2 |- (((A |` C) o. B) = (A o. B) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. ((A |` C) o. B) <-> <.x, y>. e. (A o. B)))
28	23, 27	sylibr 200	1 |- (ran B (_ C -> ((A |` C) o. B) = (A o. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   (_ wss 2047  <.cop 2411   class class class wbr 2619  ran crn 3171   |` cres 3172   o. ccom 3174  Rel wrel 3175

This theorem is referenced by:  cocnvcnv1 3505  cores2 3507  ruclem17 7526  hhssims 9145

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190

Copyright terms: Public domain