Theorem cos01bndlem2 7679

Description: Lemma for cos01bnd 7682.

Hypothesis

Ref	Expression
sin01bndlem2.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((i x. A)^j) / (!` j)))}

Assertion

Ref	Expression
cos01bndlem2	|- (A e. (0(,]1) -> (abs` (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) < ((A^2) / 6))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F

Proof of Theorem cos01bndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5594	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
2		1re 5589	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		elioc2 6516	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR) -> (A e. (0(,]1) <-> (A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 701	. . . . . . . 8 |- (A e. (0(,]1) <-> (A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1))
5	4	biimpi 149	. . . . . . 7 |- (A e. (0(,]1) -> (A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1))
6	5	3simp1d 800	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> A e. RR)
7	6	recnd 5469	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> A e. CC)
8		axicn 5424	. . . . . 6 |- i e. CC
9		mulcl 5457	. . . . . 6 |- ((i e. CC /\ A e. CC) -> (i x. A) e. CC)
10	8, 9	mpan 699	. . . . 5 |- (A e. CC -> (i x. A) e. CC)
11	7, 10	syl 10	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> (i x. A) e. CC)
12		4nn 6148	. . . . 5 |- 4 e. NN
13		sin01bndlem2.1	. . . . . 6 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((i x. A)^j) / (!` j)))}
14	13	eftlcl 7584	. . . . 5 |- (((i x. A) e. CC /\ 4 e. NN) -> sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k) e. CC)
15	12, 14	mpan2 700	. . . 4 |- ((i x. A) e. CC -> sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k) e. CC)
16	11, 15	syl 10	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k) e. CC)
17		recl 6958	. . . 4 |- (sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k) e. CC -> (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) e. RR)
18	17	recnd 5469	. . 3 |- (sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k) e. CC -> (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) e. CC)
19		abscl 7035	. . 3 |- ((Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) e. CC -> (abs` (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) e. RR)
20	16, 18, 19	3syl 20	. 2 |- (A e. (0(,]1) -> (abs` (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) e. RR)
21	12	nnnn0i 6275	. . . 4 |- 4 e. NN0
22		reexpcl 6775	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 4 e. NN0) -> (A^4) e. RR)
23	21, 22	mpan2 700	. . 3 |- (A e. RR -> (A^4) e. RR)
24		df-5 6119	. . . . . 6 |- 5 = (4 + 1)
25	24	opreq1i 4029	. . . . 5 |- (5 / ((!` 4) x. 4)) = ((4 + 1) / ((!` 4) x. 4))
26		eftlubcl 7581	. . . . . 6 |- (4 e. NN -> ((4 + 1) / ((!` 4) x. 4)) e. RR)
27	12, 26	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((4 + 1) / ((!` 4) x. 4)) e. RR
28	25, 27	eqeltri 1587	. . . 4 |- (5 / ((!` 4) x. 4)) e. RR
29		remulcl 5458	. . . 4 |- (((A^4) e. RR /\ (5 / ((!` 4) x. 4)) e. RR) -> ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))) e. RR)
30	28, 29	mpan2 700	. . 3 |- ((A^4) e. RR -> ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))) e. RR)
31	6, 23, 30	3syl 20	. 2 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))) e. RR)
32		resqcl 6818	. . 3 |- (A e. RR -> (A^2) e. RR)
33		6re 6130	. . . 4 |- 6 e. RR
34		6pos 6140	. . . . 5 |- 0 < 6
35	33, 34	gt0ne0ii 5771	. . . 4 |- 6 =/= 0
36		redivcl 5940	. . . 4 |- (((A^2) e. RR /\ 6 e. RR /\ 6 =/= 0) -> ((A^2) / 6) e. RR)
37	33, 35, 36	mp3an23 914	. . 3 |- ((A^2) e. RR -> ((A^2) / 6) e. RR)
38	6, 32, 37	3syl 20	. 2 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^2) / 6) e. RR)
39		eqid 1518	. . . . . 6 |- Re = Re
40	39	orci 268	. . . . 5 |- (Re = Re \/ Re = Im)
41	13, 40	abspef01tlubi 7603	. . . 4 |- ((A e. (0(,]1) /\ 4 e. NN) -> (abs` (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) <_ ((A^4) x. ((4 + 1) / ((!` 4) x. 4))))
42	12, 41	mpan2 700	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> (abs` (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) <_ ((A^4) x. ((4 + 1) / ((!` 4) x. 4))))
43	25	opreq2i 4030	. . 3 |- ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))) = ((A^4) x. ((4 + 1) / ((!` 4) x. 4)))
44	42, 43	syl6breqr 2728	. 2 |- (A e. (0(,]1) -> (abs` (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) <_ ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))))
45	6, 23	syl 10	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> (A^4) e. RR)
46	33, 35	rereccli 5941	. . . . 5 |- (1 / 6) e. RR
47		remulcl 5458	. . . . 5 |- (((A^4) e. RR /\ (1 / 6) e. RR) -> ((A^4) x. (1 / 6)) e. RR)
48	46, 47	mpan2 700	. . . 4 |- ((A^4) e. RR -> ((A^4) x. (1 / 6)) e. RR)
49	45, 48	syl 10	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^4) x. (1 / 6)) e. RR)
50		sin01bndlem1 7676	. . . . . . 7 |- (5 / ((!` 4) x. 4)) < (1 / 6)
51		ltmul2OLD 5972	. . . . . . 7 |- ((((5 / ((!` 4) x. 4)) e. RR /\ (1 / 6) e. RR /\ (A^4) e. RR) /\ 0 < (A^4)) -> ((5 / ((!` 4) x. 4)) < (1 / 6) <-> ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))) < ((A^4) x. (1 / 6))))
52	50, 51	mpbii 191	. . . . . 6 |- ((((5 / ((!` 4) x. 4)) e. RR /\ (1 / 6) e. RR /\ (A^4) e. RR) /\ 0 < (A^4)) -> ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))) < ((A^4) x. (1 / 6)))
53	52	ex 371	. . . . 5 |- (((5 / ((!` 4) x. 4)) e. RR /\ (1 / 6) e. RR /\ (A^4) e. RR) -> (0 < (A^4) -> ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))) < ((A^4) x. (1 / 6))))
54	28, 46, 53	mp3an12 912	. . . 4 |- ((A^4) e. RR -> (0 < (A^4) -> ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))) < ((A^4) x. (1 / 6))))
55		expgt0 6783	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 4 e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^4))
56	21, 55	mp3an2 910	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^4))
57	5	3simp2d 801	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> 0 < A)
58	56, 6, 57	sylanc 473	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> 0 < (A^4))
59	54, 45, 58	sylc 68	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))) < ((A^4) x. (1 / 6)))
60		2nn0 6283	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
61		2pos 6135	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
62		2re 6125	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
63	1, 62, 62	ltadd1i 5745	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 < 2 <-> (0 + 2) < (2 + 2))
64	61, 63	mpbi 187	. . . . . . . . . . 11 |- (0 + 2) < (2 + 2)
65		2cn 6126	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
66	65	addid2i 5485	. . . . . . . . . . 11 |- (0 + 2) = 2
67		2p2e4 6147	. . . . . . . . . . 11 |- (2 + 2) = 4
68	64, 66, 67	3brtr3i 2715	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 4
69		expword2i 6802	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ 2 e. NN0 /\ 4 e. NN0) /\ (0 < A /\ A <_ 1 /\ 2 < 4)) -> (A^4) <_ (A^2))
70	69	expcom 372	. . . . . . . . . 10 |- ((0 < A /\ A <_ 1 /\ 2 < 4) -> ((A e. RR /\ 2 e. NN0 /\ 4 e. NN0) -> (A^4) <_ (A^2)))
71	68, 70	mp3an3 911	. . . . . . . . 9 |- ((0 < A /\ A <_ 1) -> ((A e. RR /\ 2 e. NN0 /\ 4 e. NN0) -> (A^4) <_ (A^2)))
72	71	com12 11	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 2 e. NN0 /\ 4 e. NN0) -> ((0 < A /\ A <_ 1) -> (A^4) <_ (A^2)))
73	60, 21, 72	mp3an23 914	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((0 < A /\ A <_ 1) -> (A^4) <_ (A^2)))
74	73	3impib 837	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (A^4) <_ (A^2))
75	4, 74	sylbi 197	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> (A^4) <_ (A^2))
76	23, 32	jca 286	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A^4) e. RR /\ (A^2) e. RR))
77	6, 76	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^4) e. RR /\ (A^2) e. RR))
78	33, 34	recgt0ii 5954	. . . . . . . 8 |- 0 < (1 / 6)
79		lemul1OLD 5974	. . . . . . . 8 |- ((((A^4) e. RR /\ (A^2) e. RR /\ (1 / 6) e. RR) /\ 0 < (1 / 6)) -> ((A^4) <_ (A^2) <-> ((A^4) x. (1 / 6)) <_ ((A^2) x. (1 / 6))))
80	78, 79	mpan2 700	. . . . . . 7 |- (((A^4) e. RR /\ (A^2) e. RR /\ (1 / 6) e. RR) -> ((A^4) <_ (A^2) <-> ((A^4) x. (1 / 6)) <_ ((A^2) x. (1 / 6))))
81	46, 80	mp3an3 911	. . . . . 6 |- (((A^4) e. RR /\ (A^2) e. RR) -> ((A^4) <_ (A^2) <-> ((A^4) x. (1 / 6)) <_ ((A^2) x. (1 / 6))))
82	77, 81	syl 10	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^4) <_ (A^2) <-> ((A^4) x. (1 / 6)) <_ ((A^2) x. (1 / 6))))
83	75, 82	mpbid 193	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^4) x. (1 / 6)) <_ ((A^2) x. (1 / 6)))
84	32	recnd 5469	. . . . 5 |- (A e. RR -> (A^2) e. CC)
85	33	recni 5468	. . . . . 6 |- 6 e. CC
86		divrec 5885	. . . . . 6 |- (((A^2) e. CC /\ 6 e. CC /\ 6 =/= 0) -> ((A^2) / 6) = ((A^2) x. (1 / 6)))
87	85, 35, 86	mp3an23 914	. . . . 5 |- ((A^2) e. CC -> ((A^2) / 6) = ((A^2) x. (1 / 6)))
88	6, 84, 87	3syl 20	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^2) / 6) = ((A^2) x. (1 / 6)))
89	83, 88	breqtrrd 2714	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^4) x. (1 / 6)) <_ ((A^2) / 6))
90	31, 49, 38, 59, 89	ltletrd 5682	. 2 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^4) x. (5 / ((!` 4) x. 4))) < ((A^2) / 6))
91	20, 31, 38, 44, 90	lelttrd 5681	1 |- (A e. (0(,]1) -> (abs` (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) < ((A^2) / 6))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628   class class class wbr 2692  {copab 2740  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389  ici 5390   + caddc 5391   x. cmul 5393   / cdiv 5448   <_ cle 5449  NNcn 5450  NN0cn0 5451   < clt 5640  2c2 6107  4c4 6109  5c5 6110  6c6 6111  (,]cioc 6484  ZZ>=cuz 6544  ^cexp 6763  Recre 6948  Imcim 6949  abscabs 6951  !cfa 7134  sum_csu 7182

This theorem is referenced by:  cos01bndlem3 7680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-3 6117  df-4 6118  df-5 6119  df-6 6120  df-7 6121  df-8 6122  df-n0 6268  df-z 6304  df-fl 6422  df-ioc 6488  df-uz 6545  df-fz 6596  df-seq1 6673  df-shft 6706  df-seqz 6728  df-seq0 6729  df-exp 6764  df-sqr 6871  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954  df-abs 6955  df-fac 7135  df-clim 7178  df-sum 7183  df-ef 7503

Copyright terms: Public domain