HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 17536
Description: The cosine of  2 pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 17526 . . . 4  |-  pi  e.  RR
21recni 8238 . . 3  |-  pi  e.  CC
3 cos2t 11051 . . 3  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )
5 cospi 17532 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
65oveq1i 5363 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 )
7 ax-1cn 8204 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 sqneg 10148 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
10 sq1 10180 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116, 9, 103eqtri 2085 . . . . 5  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  1
1211oveq2i 5364 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )
13 2cn 8930 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1413mulid1i 8252 . . . 4  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1512, 14eqtri 2081 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  2
1615oveq1i 5363 . 2  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
17 1p1e2 8951 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1813, 7, 7, 17subaddrii 8421 . 2  |-  ( 2  -  1 )  =  1
194, 16, 183eqtri 2085 1  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1517    e. wcel 1519   ` cfv 4264  (class class class)co 5353   CCcc 8145   1c1 8148    x. cmul 8152    - cmin 8383   -ucneg 8384   2c2 8911   ^cexp 10089   cosccos 10947   picpi 10949
This theorem is referenced by:  ef2pi  17537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1439  ax-6 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-8 1521  ax-11 1522  ax-13 1523  ax-14 1524  ax-17 1526  ax-12o 1559  ax-10 1573  ax-9 1579  ax-4 1586  ax-16 1772  ax-ext 2043  ax-rep 3687  ax-sep 3697  ax-nul 3705  ax-pow 3741  ax-pr 3765  ax-un 4057  ax-inf2 6815  ax-cnex 8202  ax-resscn 8203  ax-1cn 8204  ax-icn 8205  ax-addcl 8206  ax-addrcl 8207  ax-mulcl 8208  ax-mulrcl 8209  ax-mulcom 8210  ax-addass 8211  ax-mulass 8212  ax-distr 8213  ax-i2m1 8214  ax-1ne0 8215  ax-1rid 8216  ax-rnegex 8217  ax-rrecex 8218  ax-cnre 8219  ax-pre-lttri 8220  ax-pre-lttrn 8221  ax-pre-ltadd 8222  ax-pre-mulgt0 8223  ax-pre-sup 8224  ax-addf 8225  ax-mulf 8226
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 894  df-3an 895  df-tru 1256  df-ex 1444  df-sb 1733  df-eu 1955  df-mo 1956  df-clab 2049  df-cleq 2054  df-clel 2057  df-ne 2181  df-nel 2182  df-ral 2275  df-rex 2276  df-reu 2277  df-rab 2278  df-v 2474  df-sbc 2648  df-csb 2730  df-dif 2793  df-un 2795  df-in 2797  df-ss 2801  df-pss 2803  df-nul 3070  df-if 3178  df-pw 3239  df-sn 3257  df-pr 3258  df-tp 3259  df-op 3260  df-uni 3421  df-int 3455  df-iun 3498  df-iin 3499  df-br 3583  df-opab 3637  df-mpt 3638  df-tr 3670  df-eprel 3852  df-id 3856  df-po 3861  df-so 3862  df-fr 3899  df-se 3900  df-we 3901  df-ord 3942  df-on 3943  df-lim 3944  df-suc 3945  df-om 4220  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-fun 4274  df-fn 4275  df-f 4276  df-f1 4277  df-fo 4278  df-f1o 4279  df-fv 4280  df-iso 4281  df-ov 5356  df-oprab 5357  df-mpt2 5358  df-of 5563  df-1st 5607  df-2nd 5608  df-iota 5762  df-recs 5835  df-rdg 5870  df-1o 5926  df-2o 5927  df-oadd 5930  df-er 6107  df-map 6211  df-pm 6212  df-ixp 6254  df-en 6294  df-dom 6295  df-sdom 6296  df-fin 6297  df-riota 6460  df-fi 6637  df-sup 6666  df-oi 6698  df-card 7044  df-cda 7247  df-pnf 8265  df-mnf 8266  df-xr 8267  df-ltxr 8268  df-le 8269  df-sub 8402  df-neg 8403  df-div 8631  df-n 8873  df-2 8920  df-3 8921  df-4 8922  df-5 8923  df-6 8924  df-7 8925  df-8 8926  df-9 8927  df-10 8928  df-n0 9066  df-z 9118  df-dec 9209  df-uz 9315  df-q 9400  df-rp 9437  df-xneg 9471  df-xadd 9472  df-xmul 9473  df-ioo 9675  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-icc 9678  df-fz 9793  df-fl 9931  df-seq 10035  df-exp 10090  df-fac 10228  df-bc 10254  df-hash 10276  df-shft 10341  df-cj 10363  df-re 10364  df-im 10365  df-sqr 10461  df-abs 10462  df-limsup 10625  df-clim 10641  df-rlim 10642  df-sum 10777  df-ef 10950  df-sin 10952  df-cos 10953  df-pi 10955  df-struct 11632  df-ndx 11633  df-slot 11634  df-base 11635  df-sets 11636  df-ress 11637  df-plusg 11695  df-mulr 11696  df-starv 11697  df-sca 11698  df-vsca 11699  df-tset 11701  df-ple 11702  df-ds 11704  df-rest 11793  df-topn 11794  df-topgen 11810  df-pt 11811  df-prds 11814  df-xrs 11865  df-0g 11866  df-gsum 11867  df-qtop 11872  df-imas 11873  df-xps 11875  df-mnd 12231  df-mulg 12509  df-cmn 12950  df-xmet 14139  df-met 14140  df-bl 14141  df-mopn 14142  df-cnfld 14144  df-top 14470  df-bases 14472  df-topon 14473  df-topsp 14474  df-cld 14590  df-ntr 14591  df-cls 14592  df-cn 14776  df-cnp 14777  df-lm 14778  df-tx 15072  df-hmeo 15261  df-xms 15700  df-ms 15701  df-tms 15702  df-cncf 16194  df-dv 17022
Copyright terms: Public domain