HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 12395
Description: The cosine of 2pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi |- (cos` (2 x. pi)) = 1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 12385 . . . 4 |- pi e. RR
21recni 7086 . . 3 |- pi e. CC
3 cos2t 9429 . . 3 |- (pi e. CC -> (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos`
pi)^2)) - 1))
42, 3ax-mp 8 . 2 |- (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1)
5 cospi 12391 . . . . . . 7 |- (cos` pi) = -u1
65oveq1i 4943 . . . . . 6 |- ((cos` pi)^2) = (-u1^2)
7 ax-1cn 7054 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
8 sqneg 8675 . . . . . . 7 |- (1 e. CC -> (-u1^2) = (1^2))
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6 |- (-u1^2) = (1^2)
10 sq1 8706 . . . . . 6 |- (1^2) = 1
116, 9, 103eqtri 1985 . . . . 5 |- ((cos` pi)^2) = 1
1211oveq2i 4944 . . . 4 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = (2 x. 1)
13 2cn 7760 . . . . 5 |- 2 e. CC
1413mulid1i 7099 . . . 4 |- (2 x. 1) = 2
1512, 14eqtri 1981 . . 3 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = 2
1615oveq1i 4943 . 2 |- ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1) = (2 - 1)
17 df-2 7750 . . . 4 |- 2 = (1 + 1)
1817eqcomi 1965 . . 3 |- (1 + 1) = 2
1913, 7, 7, 18subaddrii 7259 . 2 |- (2 - 1) = 1
204, 16, 193eqtri 1985 1 |- (cos` (2 x. pi)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1457   e. wcel 1459  ` cfv 4020  (class class class)co 4935  CCcc 6997  1c1 7000   + caddc 7002   x. cmul 7004   - cmin 7221  -ucneg 7222  2c2 7741  ^cexp 8620  cosccos 9339  picpi 9341
This theorem is referenced by:  ef2pi 12396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1672  ax-15 1835  ax-ext 1943  ax-rep 3465  ax-sep 3475  ax-nul 3484  ax-pow 3520  ax-pr 3544  ax-un 3814  ax-inf2 6072  ax-resscn 7053  ax-1cn 7054  ax-icn 7055  ax-addcl 7056  ax-addrcl 7057  ax-mulcl 7058  ax-mulrcl 7059  ax-mulcom 7060  ax-addass 7061  ax-mulass 7062  ax-distr 7063  ax-i2m1 7064  ax-1ne0 7065  ax-1rid 7066  ax-rnegex 7067  ax-rrecex 7068  ax-cnre 7069  ax-pre-lttri 7070  ax-pre-lttrn 7071  ax-pre-ltadd 7072  ax-pre-mulgt0 7073  ax-pre-sup 7074  ax-mulopr 7076
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1634  df-eu 1861  df-mo 1862  df-clab 1949  df-cleq 1954  df-clel 1957  df-ne 2081  df-nel 2082  df-ral 2174  df-rex 2175  df-reu 2176  df-rab 2177  df-v 2368  df-sbc 2533  df-csb 2607  df-dif 2666  df-un 2668  df-in 2670  df-ss 2672  df-pss 2674  df-nul 2928  df-if 3029  df-pw 3087  df-sn 3102  df-pr 3103  df-tp 3105  df-op 3106  df-uni 3235  df-int 3269  df-iun 3307  df-br 3380  df-opab 3434  df-tr 3449  df-eprel 3627  df-id 3630  df-po 3635  df-so 3649  df-fr 3668  df-we 3684  df-ord 3700  df-on 3701  df-lim 3702  df-suc 3703  df-om 3975  df-xp 4022  df-rel 4023  df-cnv 4024  df-co 4025  df-dm 4026  df-rn 4027  df-res 4028  df-ima 4029  df-fun 4030  df-fn 4031  df-f 4032  df-f1 4033  df-fo 4034  df-f1o 4035  df-fv 4036  df-iso 4037  df-ov 4937  df-oprab 4938  df-mpt 5072  df-mpt2 5073  df-1st 5169  df-2nd 5170  df-iota 5273  df-rdg 5359  df-1o 5396  df-oadd 5400  df-er 5533  df-map 5621  df-en 5678  df-dom 5679  df-sdom 5680  df-fin 5681  df-riota 5821  df-sup 5994  df-card 6237  df-pnf 7112  df-mnf 7113  df-xr 7114  df-ltxr 7115  df-le 7116  df-sub 7240  df-neg 7242  df-div 7466  df-n 7704  df-2 7750  df-3 7751  df-4 7752  df-5 7753  df-6 7754  df-7 7755  df-8 7756  df-9 7757  df-n0 7874  df-z 7918  df-uz 8038  df-q 8120  df-rp 8243  df-ioo 8278  df-ioc 8279  df-ico 8280  df-icc 8281  df-fz 8387  df-fl 8479  df-seq 8569  df-exp 8621  df-fac 8753  df-bc 8778  df-hash 8799  df-shft 8831  df-cj 8857  df-re 8858  df-im 8859  df-sqr 8950  df-abs 8951  df-clim 9103  df-sum 9180  df-ef 9342  df-sin 9344  df-cos 9345  df-pi 9347  df-top 10716  df-bases 10718  df-topgen 10719  df-cn 10936  df-cnp 10937  df-tx 11007  df-met 11145  df-bl 11146  df-opn 11147  df-cncf 11877
Copyright terms: Public domain