MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2pi Unicode version

Theorem cos2pi 18485
Description: The cosine of  2 pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 18475 . . . 4  |-  pi  e.  RR
21recni 8313 . . 3  |-  pi  e.  CC
3 cos2t 11695 . . 3  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )
5 cospi 18481 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
65oveq1i 5414 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 )
7 ax-1cn 8259 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 sqneg 10572 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
10 sq1 10605 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116, 9, 103eqtri 2124 . . . . 5  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  1
1211oveq2i 5415 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )
13 2cn 9241 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1413mulid1i 8303 . . . 4  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1512, 14eqtri 2120 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  2
1615oveq1i 5414 . 2  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
17 1p1e2 9265 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1813, 7, 7, 17subaddrii 8594 . 2  |-  ( 2  -  1 )  =  1
194, 16, 183eqtri 2124 1  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1531    e. wcel 1533   ` cfv 4312  (class class class)co 5404   CCcc 8200   1c1 8203    x. cmul 8207    - cmin 8496   -ucneg 8497   2c2 9220   ^cexp 10512   cosccos 11583   picpi 11585
This theorem is referenced by:  ef2pi  18486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1452  ax-6 1453  ax-7 1454  ax-gen 1455  ax-8 1535  ax-11 1536  ax-13 1537  ax-14 1538  ax-17 1540  ax-12o 1574  ax-10 1588  ax-9 1594  ax-4 1601  ax-16 1787  ax-ext 2082  ax-rep 3735  ax-sep 3745  ax-nul 3753  ax-pow 3789  ax-pr 3813  ax-un 4105  ax-inf2 6869  ax-cnex 8257  ax-resscn 8258  ax-1cn 8259  ax-icn 8260  ax-addcl 8261  ax-addrcl 8262  ax-mulcl 8263  ax-mulrcl 8264  ax-mulcom 8265  ax-addass 8266  ax-mulass 8267  ax-distr 8268  ax-i2m1 8269  ax-1ne0 8270  ax-1rid 8271  ax-rnegex 8272  ax-rrecex 8273  ax-cnre 8274  ax-pre-lttri 8275  ax-pre-lttrn 8276  ax-pre-ltadd 8277  ax-pre-mulgt0 8278  ax-pre-sup 8279  ax-addf 8280  ax-mulf 8281
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 901  df-3an 902  df-tru 1265  df-ex 1457  df-sb 1748  df-eu 1970  df-mo 1971  df-clab 2088  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-ne 2220  df-nel 2221  df-ral 2315  df-rex 2316  df-reu 2317  df-rab 2318  df-v 2514  df-sbc 2688  df-csb 2770  df-dif 2833  df-un 2835  df-in 2837  df-ss 2841  df-pss 2843  df-nul 3111  df-if 3221  df-pw 3282  df-sn 3300  df-pr 3301  df-tp 3302  df-op 3303  df-uni 3469  df-int 3503  df-iun 3546  df-iin 3547  df-br 3631  df-opab 3685  df-mpt 3686  df-tr 3718  df-eprel 3900  df-id 3904  df-po 3909  df-so 3910  df-fr 3947  df-se 3948  df-we 3949  df-ord 3990  df-on 3991  df-lim 3992  df-suc 3993  df-om 4268  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-fun 4322  df-fn 4323  df-f 4324  df-f1 4325  df-fo 4326  df-f1o 4327  df-fv 4328  df-iso 4329  df-ov 5407  df-oprab 5408  df-mpt2 5409  df-of 5614  df-1st 5658  df-2nd 5659  df-iota 5814  df-recs 5887  df-rdg 5922  df-1o 5978  df-2o 5979  df-oadd 5982  df-er 6159  df-map 6263  df-pm 6264  df-ixp 6306  df-en 6346  df-dom 6347  df-sdom 6348  df-fin 6349  df-riota 6512  df-fi 6691  df-sup 6720  df-oi 6752  df-card 7098  df-cda 7301  df-pnf 8333  df-mnf 8334  df-xr 8335  df-ltxr 8336  df-le 8337  df-sub 8498  df-neg 8499  df-div 8863  df-n 9172  df-2 9229  df-3 9230  df-4 9231  df-5 9232  df-6 9233  df-7 9234  df-8 9235  df-9 9236  df-10 9237  df-n0 9388  df-z 9447  df-dec 9547  df-uz 9653  df-q 9739  df-rp 9777  df-xneg 9874  df-xadd 9875  df-xmul 9876  df-ioo 10081  df-ioc 10082  df-ico 10083  df-icc 10084  df-fz 10199  df-fzo 10287  df-fl 10338  df-seq 10455  df-exp 10513  df-fac 10696  df-bc 10723  df-hash 10745  df-shft 10810  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-sqr 10968  df-abs 10969  df-limsup 11190  df-clim 11207  df-rlim 11208  df-sum 11404  df-ef 11586  df-sin 11588  df-cos 11589  df-pi 11591  df-struct 12308  df-ndx 12309  df-slot 12310  df-base 12311  df-sets 12312  df-ress 12313  df-plusg 12372  df-mulr 12373  df-starv 12374  df-sca 12375  df-vsca 12376  df-tset 12378  df-ple 12379  df-ds 12381  df-rest 12470  df-topn 12471  df-topgen 12487  df-pt 12488  df-prds 12491  df-xrs 12542  df-0g 12543  df-gsum 12544  df-qtop 12549  df-imas 12550  df-xps 12552  df-mre 12626  df-mrc 12627  df-acs 12628  df-mnd 12973  df-submnd 13025  df-mulg 13256  df-cntz 13557  df-cmn 13854  df-xmet 15135  df-met 15136  df-bl 15137  df-mopn 15138  df-cnfld 15140  df-top 15397  df-bases 15399  df-topon 15400  df-topsp 15401  df-cld 15517  df-ntr 15518  df-cls 15519  df-cn 15703  df-cnp 15704  df-lm 15705  df-tx 15999  df-hmeo 16188  df-xms 16627  df-ms 16628  df-tms 16629  df-cncf 17121  df-dv 17950
  Copyright terms: Public domain W3C validator