HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 11874
Description: The cosine of 2pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi |- (cos` (2 x. pi)) = 1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 11864 . . . 4 |- pi e. RR
21recni 7053 . . 3 |- pi e. CC
3 cos2t 9421 . . 3 |- (pi e. CC -> (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos`
pi)^2)) - 1))
42, 3ax-mp 8 . 2 |- (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1)
5 cospi 11870 . . . . . . 7 |- (cos` pi) = -u1
65oveq1i 4937 . . . . . 6 |- ((cos` pi)^2) = (-u1^2)
7 ax-1cn 7021 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
8 sqneg 8638 . . . . . . 7 |- (1 e. CC -> (-u1^2) = (1^2))
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6 |- (-u1^2) = (1^2)
10 sq1 8669 . . . . . 6 |- (1^2) = 1
116, 9, 103eqtri 1984 . . . . 5 |- ((cos` pi)^2) = 1
1211oveq2i 4938 . . . 4 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = (2 x. 1)
13 2cn 7724 . . . . 5 |- 2 e. CC
1413mulid1i 7066 . . . 4 |- (2 x. 1) = 2
1512, 14eqtri 1980 . . 3 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = 2
1615oveq1i 4937 . 2 |- ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1) = (2 - 1)
17 df-2 7714 . . . 4 |- 2 = (1 + 1)
1817eqcomi 1964 . . 3 |- (1 + 1) = 2
1913, 7, 7, 18subaddrii 7226 . 2 |- (2 - 1) = 1
204, 16, 193eqtri 1984 1 |- (cos` (2 x. pi)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1457   e. wcel 1459  ` cfv 4014  (class class class)co 4929  CCcc 6964  1c1 6967   + caddc 6969   x. cmul 6971   - cmin 7188  -ucneg 7189  2c2 7705  ^cexp 8583  cosccos 9327  picpi 9329
This theorem is referenced by:  ef2pi 11875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1671  ax-15 1834  ax-ext 1942  ax-rep 3464  ax-sep 3474  ax-nul 3483  ax-pow 3519  ax-pr 3543  ax-un 3813  ax-inf2 6039  ax-resscn 7020  ax-1cn 7021  ax-icn 7022  ax-addcl 7023  ax-addrcl 7024  ax-mulcl 7025  ax-mulrcl 7026  ax-mulcom 7027  ax-addass 7028  ax-mulass 7029  ax-distr 7030  ax-i2m1 7031  ax-1ne0 7032  ax-1rid 7033  ax-rnegex 7034  ax-rrecex 7035  ax-cnre 7036  ax-pre-lttri 7037  ax-pre-lttrn 7038  ax-pre-ltadd 7039  ax-pre-mulgt0 7040  ax-pre-sup 7041  ax-mulopr 7043
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1633  df-eu 1860  df-mo 1861  df-clab 1948  df-cleq 1953  df-clel 1956  df-ne 2080  df-nel 2081  df-ral 2173  df-rex 2174  df-reu 2175  df-rab 2176  df-v 2367  df-sbc 2532  df-csb 2606  df-dif 2665  df-un 2667  df-in 2669  df-ss 2671  df-pss 2673  df-nul 2927  df-if 3028  df-pw 3086  df-sn 3101  df-pr 3102  df-tp 3104  df-op 3105  df-uni 3234  df-int 3268  df-iun 3306  df-br 3379  df-opab 3433  df-tr 3448  df-eprel 3626  df-id 3629  df-po 3634  df-so 3648  df-fr 3667  df-we 3683  df-ord 3699  df-on 3700  df-lim 3701  df-suc 3702  df-om 3969  df-xp 4016  df-rel 4017  df-cnv 4018  df-co 4019  df-dm 4020  df-rn 4021  df-res 4022  df-ima 4023  df-fun 4024  df-fn 4025  df-f 4026  df-f1 4027  df-fo 4028  df-f1o 4029  df-fv 4030  df-iso 4031  df-ov 4931  df-oprab 4932  df-mpt 5066  df-mpt2 5067  df-1st 5136  df-2nd 5137  df-iota 5240  df-rdg 5326  df-1o 5363  df-oadd 5367  df-er 5500  df-map 5588  df-en 5645  df-dom 5646  df-sdom 5647  df-fin 5648  df-riota 5788  df-sup 5961  df-card 6204  df-pnf 7079  df-mnf 7080  df-xr 7081  df-ltxr 7082  df-le 7083  df-sub 7207  df-neg 7209  df-div 7433  df-n 7668  df-2 7714  df-3 7715  df-4 7716  df-5 7717  df-6 7718  df-7 7719  df-8 7720  df-9 7721  df-n0 7838  df-z 7882  df-uz 8002  df-q 8084  df-rp 8207  df-ioo 8242  df-ioc 8243  df-ico 8244  df-icc 8245  df-fz 8350  df-fl 8442  df-seq 8532  df-exp 8584  df-fac 8716  df-bc 8741  df-hash 8762  df-shft 8794  df-cj 8820  df-re 8821  df-im 8822  df-sqr 8913  df-abs 8914  df-clim 9065  df-sum 9142  df-cncf 9298  df-ef 9330  df-sin 9332  df-cos 9333  df-pi 9335  df-top 10700  df-bases 10702  df-topgen 10703  df-cn 10920  df-cnp 10921  df-tx 10991  df-met 11129  df-bl 11130  df-opn 11131
Copyright terms: Public domain