MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2pi Unicode version

Theorem cos2pi 19520
Description: The cosine of  2 pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 19510 . . . 4  |-  pi  e.  RR
21recni 8703 . . 3  |-  pi  e.  CC
3 cos2t 12266 . . 3  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
42, 3ax-mp 9 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )
5 cospi 19516 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
65oveq1i 5695 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 )
7 ax-1cn 8649 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 sqneg 10979 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
97, 8ax-mp 9 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
10 sq1 11012 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116, 9, 103eqtri 2265 . . . . 5  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  1
1211oveq2i 5696 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )
13 2cn 9636 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1413mulid1i 8693 . . . 4  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1512, 14eqtri 2261 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  2
1615oveq1i 5695 . 2  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
17 1p1e2 9660 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1813, 7, 7, 17subaddrii 8984 . 2  |-  ( 2  -  1 )  =  1
194, 16, 183eqtri 2265 1  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1608    e. wcel 1610   ` cfv 4571  (class class class)co 5685   CCcc 8589   1c1 8592    x. cmul 8596    - cmin 8886   -ucneg 8887   2c2 9615   ^cexp 10919   cosccos 12154   picpi 12156
This theorem is referenced by:  ef2pi  19521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-mp 9  ax-5 1522  ax-6 1523  ax-7 1524  ax-gen 1525  ax-8 1612  ax-11 1613  ax-13 1614  ax-14 1615  ax-17 1617  ax-12o 1653  ax-10 1667  ax-9 1673  ax-4 1681  ax-16 1915  ax-ext 2222  ax-rep 4007  ax-sep 4017  ax-nul 4025  ax-pow 4061  ax-pr 4087  ax-un 4382  ax-inf2 7200  ax-cnex 8647  ax-resscn 8648  ax-1cn 8649  ax-icn 8650  ax-addcl 8651  ax-addrcl 8652  ax-mulcl 8653  ax-mulrcl 8654  ax-mulcom 8655  ax-addass 8656  ax-mulass 8657  ax-distr 8658  ax-i2m1 8659  ax-1ne0 8660  ax-1rid 8661  ax-rnegex 8662  ax-rrecex 8663  ax-cnre 8664  ax-pre-lttri 8665  ax-pre-lttrn 8666  ax-pre-ltadd 8667  ax-pre-mulgt0 8668  ax-pre-sup 8669  ax-addf 8670  ax-mulf 8671
This theorem depends on definitions:  df-bi 176  df-or 358  df-an 359  df-3or 934  df-3an 935  df-tru 1309  df-ex 1527  df-nf 1529  df-sb 1872  df-eu 2106  df-mo 2107  df-clab 2228  df-cleq 2234  df-clel 2237  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2403  df-ral 2499  df-rex 2500  df-reu 2501  df-rab 2502  df-v 2714  df-sbc 2907  df-csb 2990  df-dif 3061  df-un 3063  df-in 3065  df-ss 3069  df-pss 3071  df-nul 3343  df-if 3451  df-pw 3512  df-sn 3530  df-pr 3531  df-tp 3532  df-op 3533  df-uni 3708  df-int 3741  df-iun 3785  df-iin 3786  df-br 3901  df-opab 3955  df-mpt 3956  df-tr 3990  df-eprel 4177  df-id 4181  df-po 4186  df-so 4187  df-fr 4224  df-se 4225  df-we 4226  df-ord 4267  df-on 4268  df-lim 4269  df-suc 4270  df-om 4527  df-xp 4573  df-rel 4574  df-cnv 4575  df-co 4576  df-dm 4577  df-rn 4578  df-res 4579  df-ima 4580  df-fun 4581  df-fn 4582  df-f 4583  df-f1 4584  df-fo 4585  df-f1o 4586  df-fv 4587  df-isom 4588  df-ov 5688  df-oprab 5689  df-mpt2 5690  df-of 5904  df-1st 5948  df-2nd 5949  df-iota 6117  df-riota 6164  df-recs 6248  df-rdg 6283  df-1o 6339  df-2o 6340  df-oadd 6343  df-er 6520  df-map 6634  df-pm 6635  df-ixp 6678  df-en 6724  df-dom 6725  df-sdom 6726  df-fin 6727  df-fi 7023  df-sup 7052  df-oi 7083  df-card 7430  df-cda 7652  df-pnf 8723  df-mnf 8724  df-xr 8725  df-ltxr 8726  df-le 8727  df-sub 8888  df-neg 8889  df-div 9256  df-n 9567  df-2 9624  df-3 9625  df-4 9626  df-5 9627  df-6 9628  df-7 9629  df-8 9630  df-9 9631  df-10 9632  df-n0 9784  df-z 9843  df-dec 9943  df-uz 10049  df-q 10135  df-rp 10173  df-xneg 10270  df-xadd 10271  df-xmul 10272  df-ioo 10477  df-ioc 10478  df-ico 10479  df-icc 10480  df-fz 10598  df-fzo 10686  df-fl 10740  df-seq 10862  df-exp 10920  df-fac 11103  df-bc 11130  df-hash 11152  df-shft 11375  df-cj 11397  df-re 11398  df-im 11399  df-sqr 11533  df-abs 11534  df-limsup 11756  df-clim 11773  df-rlim 11774  df-sum 11970  df-ef 12157  df-sin 12159  df-cos 12160  df-pi 12162  df-struct 12958  df-ndx 12959  df-slot 12960  df-base 12961  df-sets 12962  df-ress 12963  df-plusg 13029  df-mulr 13030  df-starv 13031  df-sca 13032  df-vsca 13033  df-tset 13035  df-ple 13036  df-ds 13038  df-hom 13040  df-cco 13041  df-rest 13135  df-topn 13136  df-topgen 13152  df-pt 13153  df-prds 13156  df-xrs 13211  df-0g 13212  df-gsum 13213  df-qtop 13218  df-imas 13219  df-xps 13221  df-mre 13295  df-mrc 13296  df-acs 13297  df-mnd 14048  df-submnd 14097  df-mulg 14173  df-cntz 14474  df-cmn 14772  df-xmet 16051  df-met 16052  df-bl 16053  df-mopn 16054  df-cnfld 16056  df-top 16314  df-bases 16316  df-topon 16317  df-topsp 16318  df-cld 16434  df-ntr 16435  df-cls 16436  df-nei 16513  df-lp 16546  df-perf 16547  df-cn 16635  df-cnp 16636  df-haus 16721  df-tx 16935  df-hmeo 17124  df-fbas 17198  df-fg 17199  df-fil 17219  df-fm 17311  df-flim 17312  df-flf 17313  df-xms 17563  df-ms 17564  df-tms 17565  df-cncf 18060  df-limc 18894  df-dv 18895
  Copyright terms: Public domain W3C validator