HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 12648
Description: The cosine of 2pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi |- (cos` (2 x. pi)) = 1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 12638 . . . 4 |- pi e. RR
21recni 7071 . . 3 |- pi e. CC
3 cos2t 9488 . . 3 |- (pi e. CC -> (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos`
pi)^2)) - 1))
42, 3ax-mp 8 . 2 |- (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1)
5 cospi 12644 . . . . . . 7 |- (cos` pi) = -u1
65oveq1i 4922 . . . . . 6 |- ((cos` pi)^2) = (-u1^2)
7 ax-1cn 7039 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
8 sqneg 8669 . . . . . . 7 |- (1 e. CC -> (-u1^2) = (1^2))
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6 |- (-u1^2) = (1^2)
10 sq1 8700 . . . . . 6 |- (1^2) = 1
116, 9, 103eqtri 1956 . . . . 5 |- ((cos` pi)^2) = 1
1211oveq2i 4923 . . . 4 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = (2 x. 1)
13 2cn 7747 . . . . 5 |- 2 e. CC
1413mulid1i 7084 . . . 4 |- (2 x. 1) = 2
1512, 14eqtri 1952 . . 3 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = 2
1615oveq1i 4922 . 2 |- ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1) = (2 - 1)
17 1p1e2 7768 . . 3 |- (1 + 1) = 2
1813, 7, 7, 17subaddrii 7245 . 2 |- (2 - 1) = 1
194, 16, 183eqtri 1956 1 |- (cos` (2 x. pi)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1428   e. wcel 1430  ` cfv 3999  (class class class)co 4914  CCcc 6982  1c1 6985   x. cmul 6989   - cmin 7207  -ucneg 7208  2c2 7728  ^cexp 8613  cosccos 9397  picpi 9399
This theorem is referenced by:  ef2pi 12649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1345  ax-6 1346  ax-7 1347  ax-gen 1348  ax-8 1432  ax-10 1433  ax-11 1434  ax-12 1435  ax-13 1436  ax-14 1437  ax-17 1444  ax-9 1459  ax-4 1465  ax-16 1643  ax-15 1806  ax-ext 1914  ax-rep 3440  ax-sep 3450  ax-nul 3459  ax-pow 3495  ax-pr 3519  ax-un 3791  ax-inf2 6055  ax-resscn 7038  ax-1cn 7039  ax-icn 7040  ax-addcl 7041  ax-addrcl 7042  ax-mulcl 7043  ax-mulrcl 7044  ax-mulcom 7045  ax-addass 7046  ax-mulass 7047  ax-distr 7048  ax-i2m1 7049  ax-1ne0 7050  ax-1rid 7051  ax-rnegex 7052  ax-rrecex 7053  ax-cnre 7054  ax-pre-lttri 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-sup 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 916  df-3an 917  df-tru 1323  df-ex 1350  df-sb 1605  df-eu 1832  df-mo 1833  df-clab 1920  df-cleq 1925  df-clel 1928  df-ne 2052  df-nel 2053  df-ral 2145  df-rex 2146  df-reu 2147  df-rab 2148  df-v 2339  df-sbc 2504  df-csb 2579  df-dif 2639  df-un 2641  df-in 2643  df-ss 2645  df-pss 2647  df-nul 2901  df-if 3002  df-pw 3060  df-sn 3077  df-pr 3078  df-tp 3079  df-op 3080  df-uni 3210  df-int 3244  df-iun 3282  df-br 3355  df-opab 3409  df-tr 3424  df-eprel 3604  df-id 3607  df-po 3612  df-so 3626  df-fr 3645  df-we 3661  df-ord 3677  df-on 3678  df-lim 3679  df-suc 3680  df-om 3954  df-xp 4001  df-rel 4002  df-cnv 4003  df-co 4004  df-dm 4005  df-rn 4006  df-res 4007  df-ima 4008  df-fun 4009  df-fn 4010  df-f 4011  df-f1 4012  df-fo 4013  df-f1o 4014  df-fv 4015  df-iso 4016  df-ov 4916  df-oprab 4917  df-mpt 5051  df-mpt2 5052  df-1st 5150  df-2nd 5151  df-iota 5254  df-rdg 5340  df-1o 5377  df-oadd 5381  df-er 5514  df-map 5602  df-pm 5603  df-en 5659  df-dom 5660  df-sdom 5661  df-fin 5662  df-riota 5802  df-sup 5976  df-card 6220  df-pnf 7097  df-mnf 7098  df-xr 7099  df-ltxr 7100  df-le 7101  df-sub 7226  df-neg 7228  df-div 7452  df-n 7691  df-2 7737  df-3 7738  df-4 7739  df-5 7740  df-6 7741  df-7 7742  df-8 7743  df-9 7744  df-n0 7861  df-z 7905  df-uz 8025  df-q 8107  df-rp 8232  df-ioo 8267  df-ioc 8268  df-ico 8269  df-icc 8270  df-fz 8377  df-fl 8470  df-seq 8562  df-exp 8614  df-fac 8747  df-bc 8772  df-hash 8793  df-shft 8826  df-cj 8848  df-re 8849  df-im 8850  df-sqr 8942  df-abs 8943  df-limsup 9095  df-clim 9111  df-rlim 9112  df-sum 9237  df-ef 9400  df-sin 9402  df-cos 9403  df-pi 9405  df-top 10856  df-bases 10858  df-topgen 10859  df-cn 11077  df-cnp 11078  df-tx 11149  df-met 11294  df-bl 11295  df-opn 11296  df-cncf 12027
Copyright terms: Public domain