MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2pi Unicode version

Theorem cos2pi 19636
Description: The cosine of  2 pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 19626 . . . 4  |-  pi  e.  RR
21recni 8726 . . 3  |-  pi  e.  CC
3 cos2t 12294 . . 3  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
42, 3ax-mp 10 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )
5 cospi 19632 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
65oveq1i 5717 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 )
7 ax-1cn 8672 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 sqneg 11007 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
97, 8ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
10 sq1 11040 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116, 9, 103eqtri 2277 . . . . 5  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  1
1211oveq2i 5718 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )
13 2cn 9664 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1413mulid1i 8716 . . . 4  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1512, 14eqtri 2273 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  2
1615oveq1i 5717 . 2  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
17 1p1e2 9688 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1813, 7, 7, 17subaddrii 9007 . 2  |-  ( 2  -  1 )  =  1
194, 16, 183eqtri 2277 1  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4589  (class class class)co 5707   CCcc 8612   1c1 8615    x. cmul 8619    - cmin 8909   -ucneg 8910   2c2 9643   ^cexp 10947   cosccos 12182   picpi 12184
This theorem is referenced by:  ef2pi  19637
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4025  ax-sep 4035  ax-nul 4043  ax-pow 4079  ax-pr 4105  ax-un 4400  ax-inf2 7223  ax-cnex 8670  ax-resscn 8671  ax-1cn 8672  ax-icn 8673  ax-addcl 8674  ax-addrcl 8675  ax-mulcl 8676  ax-mulrcl 8677  ax-mulcom 8678  ax-addass 8679  ax-mulass 8680  ax-distr 8681  ax-i2m1 8682  ax-1ne0 8683  ax-1rid 8684  ax-rnegex 8685  ax-rrecex 8686  ax-cnre 8687  ax-pre-lttri 8688  ax-pre-lttrn 8689  ax-pre-ltadd 8690  ax-pre-mulgt0 8691  ax-pre-sup 8692  ax-addf 8693  ax-mulf 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2511  df-rex 2512  df-reu 2513  df-rab 2514  df-v 2727  df-sbc 2920  df-csb 3007  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3086  df-pss 3088  df-nul 3360  df-if 3468  df-pw 3529  df-sn 3547  df-pr 3548  df-tp 3549  df-op 3550  df-uni 3725  df-int 3758  df-iun 3802  df-iin 3803  df-br 3918  df-opab 3972  df-mpt 3973  df-tr 4008  df-eprel 4195  df-id 4199  df-po 4204  df-so 4205  df-fr 4242  df-se 4243  df-we 4244  df-ord 4285  df-on 4286  df-lim 4287  df-suc 4288  df-om 4545  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-fun 4599  df-fn 4600  df-f 4601  df-f1 4602  df-fo 4603  df-f1o 4604  df-fv 4605  df-isom 4606  df-ov 5710  df-oprab 5711  df-mpt2 5712  df-of 5927  df-1st 5971  df-2nd 5972  df-iota 6140  df-riota 6187  df-recs 6271  df-rdg 6306  df-1o 6362  df-2o 6363  df-oadd 6366  df-er 6543  df-map 6657  df-pm 6658  df-ixp 6701  df-en 6747  df-dom 6748  df-sdom 6749  df-fin 6750  df-fi 7046  df-sup 7075  df-oi 7106  df-card 7453  df-cda 7675  df-pnf 8746  df-mnf 8747  df-xr 8748  df-ltxr 8749  df-le 8750  df-sub 8911  df-neg 8912  df-div 9280  df-n 9595  df-2 9652  df-3 9653  df-4 9654  df-5 9655  df-6 9656  df-7 9657  df-8 9658  df-9 9659  df-10 9660  df-n0 9812  df-z 9871  df-dec 9971  df-uz 10077  df-q 10163  df-rp 10201  df-xneg 10298  df-xadd 10299  df-xmul 10300  df-ioo 10505  df-ioc 10506  df-ico 10507  df-icc 10508  df-fz 10626  df-fzo 10714  df-fl 10768  df-seq 10890  df-exp 10948  df-fac 11131  df-bc 11158  df-hash 11180  df-shft 11403  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-sqr 11561  df-abs 11562  df-limsup 11784  df-clim 11801  df-rlim 11802  df-sum 11998  df-ef 12185  df-sin 12187  df-cos 12188  df-pi 12190  df-struct 12986  df-ndx 12987  df-slot 12988  df-base 12989  df-sets 12990  df-ress 12991  df-plusg 13057  df-mulr 13058  df-starv 13059  df-sca 13060  df-vsca 13061  df-tset 13063  df-ple 13064  df-ds 13066  df-hom 13068  df-cco 13069  df-rest 13163  df-topn 13164  df-topgen 13180  df-pt 13181  df-prds 13184  df-xrs 13239  df-0g 13240  df-gsum 13241  df-qtop 13246  df-imas 13247  df-xps 13249  df-mre 13323  df-mrc 13324  df-acs 13325  df-mnd 14164  df-submnd 14213  df-mulg 14289  df-cntz 14590  df-cmn 14888  df-xmet 16167  df-met 16168  df-bl 16169  df-mopn 16170  df-cnfld 16172  df-top 16430  df-bases 16432  df-topon 16433  df-topsp 16434  df-cld 16550  df-ntr 16551  df-cls 16552  df-nei 16629  df-lp 16662  df-perf 16663  df-cn 16751  df-cnp 16752  df-haus 16837  df-tx 17051  df-hmeo 17240  df-fbas 17314  df-fg 17315  df-fil 17335  df-fm 17427  df-flim 17428  df-flf 17429  df-xms 17679  df-ms 17680  df-tms 17681  df-cncf 18176  df-limc 19010  df-dv 19011
  Copyright terms: Public domain W3C validator