HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 17872
Description: The cosine of  2 pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 17862 . . . 4  |-  pi  e.  RR
21recni 8244 . . 3  |-  pi  e.  CC
3 cos2t 11110 . . 3  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )
5 cospi 17868 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
65oveq1i 5366 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 )
7 ax-1cn 8210 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 sqneg 10171 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
10 sq1 10204 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116, 9, 103eqtri 2086 . . . . 5  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  1
1211oveq2i 5367 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )
13 2cn 8940 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1413mulid1i 8258 . . . 4  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1512, 14eqtri 2082 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  2
1615oveq1i 5366 . 2  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
17 1p1e2 8961 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1813, 7, 7, 17subaddrii 8427 . 2  |-  ( 2  -  1 )  =  1
194, 16, 183eqtri 2086 1  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1518    e. wcel 1520   ` cfv 4266  (class class class)co 5356   CCcc 8151   1c1 8154    x. cmul 8158    - cmin 8389   -ucneg 8390   2c2 8921   ^cexp 10111   cosccos 11006   picpi 11008
This theorem is referenced by:  ef2pi  17873
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1440  ax-6 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-8 1522  ax-11 1523  ax-13 1524  ax-14 1525  ax-17 1527  ax-12o 1560  ax-10 1574  ax-9 1580  ax-4 1587  ax-16 1773  ax-ext 2044  ax-rep 3689  ax-sep 3699  ax-nul 3707  ax-pow 3743  ax-pr 3767  ax-un 4059  ax-inf2 6821  ax-cnex 8208  ax-resscn 8209  ax-1cn 8210  ax-icn 8211  ax-addcl 8212  ax-addrcl 8213  ax-mulcl 8214  ax-mulrcl 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-1ne0 8221  ax-1rid 8222  ax-rnegex 8223  ax-rrecex 8224  ax-cnre 8225  ax-pre-lttri 8226  ax-pre-lttrn 8227  ax-pre-ltadd 8228  ax-pre-mulgt0 8229  ax-pre-sup 8230  ax-addf 8231  ax-mulf 8232
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1257  df-ex 1445  df-sb 1734  df-eu 1956  df-mo 1957  df-clab 2050  df-cleq 2055  df-clel 2058  df-ne 2182  df-nel 2183  df-ral 2276  df-rex 2277  df-reu 2278  df-rab 2279  df-v 2475  df-sbc 2649  df-csb 2731  df-dif 2794  df-un 2796  df-in 2798  df-ss 2802  df-pss 2804  df-nul 3071  df-if 3180  df-pw 3241  df-sn 3259  df-pr 3260  df-tp 3261  df-op 3262  df-uni 3423  df-int 3457  df-iun 3500  df-iin 3501  df-br 3585  df-opab 3639  df-mpt 3640  df-tr 3672  df-eprel 3854  df-id 3858  df-po 3863  df-so 3864  df-fr 3901  df-se 3902  df-we 3903  df-ord 3944  df-on 3945  df-lim 3946  df-suc 3947  df-om 4222  df-xp 4268  df-rel 4269  df-cnv 4270  df-co 4271  df-dm 4272  df-rn 4273  df-res 4274  df-ima 4275  df-fun 4276  df-fn 4277  df-f 4278  df-f1 4279  df-fo 4280  df-f1o 4281  df-fv 4282  df-iso 4283  df-ov 5359  df-oprab 5360  df-mpt2 5361  df-of 5566  df-1st 5610  df-2nd 5611  df-iota 5766  df-recs 5839  df-rdg 5874  df-1o 5930  df-2o 5931  df-oadd 5934  df-er 6111  df-map 6215  df-pm 6216  df-ixp 6258  df-en 6298  df-dom 6299  df-sdom 6300  df-fin 6301  df-riota 6464  df-fi 6643  df-sup 6672  df-oi 6704  df-card 7050  df-cda 7253  df-pnf 8271  df-mnf 8272  df-xr 8273  df-ltxr 8274  df-le 8275  df-sub 8408  df-neg 8409  df-div 8640  df-n 8883  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-5 8933  df-6 8934  df-7 8935  df-8 8936  df-9 8937  df-10 8938  df-n0 9076  df-z 9128  df-dec 9220  df-uz 9326  df-q 9411  df-rp 9448  df-xneg 9482  df-xadd 9483  df-xmul 9484  df-ioo 9686  df-ioc 9687  df-ico 9688  df-icc 9689  df-fz 9804  df-fzo 9892  df-fl 9943  df-seq 10054  df-exp 10112  df-fac 10252  df-bc 10279  df-hash 10301  df-shft 10366  df-cj 10388  df-re 10389  df-im 10390  df-sqr 10486  df-abs 10487  df-limsup 10655  df-clim 10671  df-rlim 10672  df-sum 10830  df-ef 11009  df-sin 11011  df-cos 11012  df-pi 11014  df-struct 11720  df-ndx 11721  df-slot 11722  df-base 11723  df-sets 11724  df-ress 11725  df-plusg 11783  df-mulr 11784  df-starv 11785  df-sca 11786  df-vsca 11787  df-tset 11789  df-ple 11790  df-ds 11792  df-rest 11881  df-topn 11882  df-topgen 11898  df-pt 11899  df-prds 11902  df-xrs 11953  df-0g 11954  df-gsum 11955  df-qtop 11960  df-imas 11961  df-xps 11963  df-mre 12037  df-mrc 12038  df-acs 12039  df-mnd 12384  df-submnd 12436  df-mulg 12667  df-cntz 12968  df-cmn 13263  df-xmet 14543  df-met 14544  df-bl 14545  df-mopn 14546  df-cnfld 14548  df-top 14805  df-bases 14807  df-topon 14808  df-topsp 14809  df-cld 14925  df-ntr 14926  df-cls 14927  df-cn 15111  df-cnp 15112  df-lm 15113  df-tx 15407  df-hmeo 15596  df-xms 16035  df-ms 16036  df-tms 16037  df-cncf 16529  df-dv 17357
Copyright terms: Public domain