HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 11840
Description: The cosine of 2pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi |- (cos` (2 x. pi)) = 1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 11830 . . . 4 |- pi e. RR
21recni 7047 . . 3 |- pi e. CC
3 cos2t 9398 . . 3 |- (pi e. CC -> (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos`
pi)^2)) - 1))
42, 3ax-mp 8 . 2 |- (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1)
5 cospi 11836 . . . . . . 7 |- (cos` pi) = -u1
65oveq1i 4932 . . . . . 6 |- ((cos` pi)^2) = (-u1^2)
7 ax-1cn 7015 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
8 sqneg 8623 . . . . . . 7 |- (1 e. CC -> (-u1^2) = (1^2))
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6 |- (-u1^2) = (1^2)
10 sq1 8654 . . . . . 6 |- (1^2) = 1
116, 9, 103eqtri 1984 . . . . 5 |- ((cos` pi)^2) = 1
1211oveq2i 4933 . . . 4 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = (2 x. 1)
13 2cn 7716 . . . . 5 |- 2 e. CC
1413mulid1i 7060 . . . 4 |- (2 x. 1) = 2
1512, 14eqtri 1980 . . 3 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = 2
1615oveq1i 4932 . 2 |- ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1) = (2 - 1)
17 df-2 7706 . . . 4 |- 2 = (1 + 1)
1817eqcomi 1964 . . 3 |- (1 + 1) = 2
1913, 7, 7, 18subaddrii 7220 . 2 |- (2 - 1) = 1
204, 16, 193eqtri 1984 1 |- (cos` (2 x. pi)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1457   e. wcel 1459  ` cfv 4012  (class class class)co 4924  CCcc 6958  1c1 6961   + caddc 6963   x. cmul 6965   - cmin 7182  -ucneg 7183  2c2 7697  ^cexp 8568  cosccos 9303  picpi 9305
This theorem is referenced by:  ef2pi 11841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1671  ax-15 1834  ax-ext 1942  ax-rep 3462  ax-sep 3472  ax-nul 3481  ax-pow 3517  ax-pr 3541  ax-un 3811  ax-inf2 6033  ax-resscn 7014  ax-1cn 7015  ax-icn 7016  ax-addcl 7017  ax-addrcl 7018  ax-mulcl 7019  ax-mulrcl 7020  ax-mulcom 7021  ax-addass 7022  ax-mulass 7023  ax-distr 7024  ax-i2m1 7025  ax-1ne0 7026  ax-1rid 7027  ax-rnegex 7028  ax-rrecex 7029  ax-cnre 7030  ax-pre-lttri 7031  ax-pre-lttrn 7032  ax-pre-ltadd 7033  ax-pre-mulgt0 7034  ax-pre-sup 7035  ax-mulopr 7037
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1633  df-eu 1860  df-mo 1861  df-clab 1948  df-cleq 1953  df-clel 1956  df-ne 2080  df-nel 2081  df-ral 2173  df-rex 2174  df-reu 2175  df-rab 2176  df-v 2367  df-sbc 2532  df-csb 2606  df-dif 2665  df-un 2667  df-in 2669  df-ss 2671  df-pss 2673  df-nul 2927  df-if 3028  df-pw 3084  df-sn 3099  df-pr 3100  df-tp 3102  df-op 3103  df-uni 3232  df-int 3266  df-iun 3304  df-br 3377  df-opab 3431  df-tr 3446  df-eprel 3624  df-id 3627  df-po 3632  df-so 3646  df-fr 3665  df-we 3681  df-ord 3697  df-on 3698  df-lim 3699  df-suc 3700  df-om 3967  df-xp 4014  df-rel 4015  df-cnv 4016  df-co 4017  df-dm 4018  df-rn 4019  df-res 4020  df-ima 4021  df-fun 4022  df-fn 4023  df-f 4024  df-f1 4025  df-fo 4026  df-f1o 4027  df-fv 4028  df-iso 4029  df-ov 4926  df-oprab 4927  df-mpt 5061  df-mpt2 5062  df-1st 5130  df-2nd 5131  df-iota 5234  df-rdg 5320  df-1o 5357  df-oadd 5361  df-er 5494  df-map 5582  df-en 5639  df-dom 5640  df-sdom 5641  df-fin 5642  df-riota 5782  df-sup 5955  df-card 6198  df-pnf 7073  df-mnf 7074  df-xr 7075  df-ltxr 7076  df-le 7077  df-sub 7201  df-neg 7203  df-div 7426  df-n 7660  df-2 7706  df-3 7707  df-4 7708  df-5 7709  df-6 7710  df-7 7711  df-8 7712  df-9 7713  df-n0 7830  df-z 7872  df-uz 7992  df-q 8073  df-rp 8194  df-ioo 8229  df-ioc 8230  df-icc 8232  df-fz 8336  df-fl 8428  df-seq 8518  df-exp 8569  df-fac 8701  df-bc 8726  df-hash 8747  df-shft 8779  df-cj 8805  df-re 8806  df-im 8807  df-sqr 8896  df-abs 8897  df-clim 9048  df-sum 9125  df-cncf 9274  df-ef 9306  df-sin 9308  df-cos 9309  df-pi 9311  df-top 10675  df-bases 10677  df-topgen 10678  df-cn 10891  df-cnp 10892  df-tx 10960  df-met 11097  df-bl 11098  df-opn 11099
Copyright terms: Public domain