HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 12558
Description: The cosine of 2pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi |- (cos` (2 x. pi)) = 1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 12548 . . . 4 |- pi e. RR
21recni 7085 . . 3 |- pi e. CC
3 cos2t 9445 . . 3 |- (pi e. CC -> (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos`
pi)^2)) - 1))
42, 3ax-mp 8 . 2 |- (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1)
5 cospi 12554 . . . . . . 7 |- (cos` pi) = -u1
65oveq1i 4939 . . . . . 6 |- ((cos` pi)^2) = (-u1^2)
7 ax-1cn 7053 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
8 sqneg 8678 . . . . . . 7 |- (1 e. CC -> (-u1^2) = (1^2))
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6 |- (-u1^2) = (1^2)
10 sq1 8709 . . . . . 6 |- (1^2) = 1
116, 9, 103eqtri 1977 . . . . 5 |- ((cos` pi)^2) = 1
1211oveq2i 4940 . . . 4 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = (2 x. 1)
13 2cn 7760 . . . . 5 |- 2 e. CC
1413mulid1i 7098 . . . 4 |- (2 x. 1) = 2
1512, 14eqtri 1973 . . 3 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = 2
1615oveq1i 4939 . 2 |- ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1) = (2 - 1)
17 df-2 7750 . . . 4 |- 2 = (1 + 1)
1817eqcomi 1957 . . 3 |- (1 + 1) = 2
1913, 7, 7, 18subaddrii 7259 . 2 |- (2 - 1) = 1
204, 16, 193eqtri 1977 1 |- (cos` (2 x. pi)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1449   e. wcel 1451  ` cfv 4016  (class class class)co 4931  CCcc 6996  1c1 6999   + caddc 7001   x. cmul 7003   - cmin 7221  -ucneg 7222  2c2 7741  ^cexp 8622  cosccos 9355  picpi 9357
This theorem is referenced by:  ef2pi 12559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1367  ax-6 1368  ax-7 1369  ax-gen 1370  ax-8 1453  ax-10 1454  ax-11 1455  ax-12 1456  ax-13 1457  ax-14 1458  ax-17 1465  ax-9 1480  ax-4 1486  ax-16 1664  ax-15 1827  ax-ext 1935  ax-rep 3459  ax-sep 3469  ax-nul 3478  ax-pow 3514  ax-pr 3538  ax-un 3808  ax-inf2 6071  ax-resscn 7052  ax-1cn 7053  ax-icn 7054  ax-addcl 7055  ax-addrcl 7056  ax-mulcl 7057  ax-mulrcl 7058  ax-mulcom 7059  ax-addass 7060  ax-mulass 7061  ax-distr 7062  ax-i2m1 7063  ax-1ne0 7064  ax-1rid 7065  ax-rnegex 7066  ax-rrecex 7067  ax-cnre 7068  ax-pre-lttri 7069  ax-pre-lttrn 7070  ax-pre-ltadd 7071  ax-pre-mulgt0 7072  ax-pre-sup 7073
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 378  df-an 379  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1345  df-ex 1372  df-sb 1626  df-eu 1853  df-mo 1854  df-clab 1941  df-cleq 1946  df-clel 1949  df-ne 2073  df-nel 2074  df-ral 2166  df-rex 2167  df-reu 2168  df-rab 2169  df-v 2360  df-sbc 2525  df-csb 2600  df-dif 2660  df-un 2662  df-in 2664  df-ss 2666  df-pss 2668  df-nul 2922  df-if 3023  df-pw 3081  df-sn 3096  df-pr 3097  df-tp 3099  df-op 3100  df-uni 3229  df-int 3263  df-iun 3301  df-br 3374  df-opab 3428  df-tr 3443  df-eprel 3621  df-id 3624  df-po 3629  df-so 3643  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3971  df-xp 4018  df-rel 4019  df-cnv 4020  df-co 4021  df-dm 4022  df-rn 4023  df-res 4024  df-ima 4025  df-fun 4026  df-fn 4027  df-f 4028  df-f1 4029  df-fo 4030  df-f1o 4031  df-fv 4032  df-iso 4033  df-ov 4933  df-oprab 4934  df-mpt 5068  df-mpt2 5069  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-iota 5270  df-rdg 5356  df-1o 5393  df-oadd 5397  df-er 5530  df-map 5618  df-en 5675  df-dom 5676  df-sdom 5677  df-fin 5678  df-riota 5818  df-sup 5992  df-card 6236  df-pnf 7111  df-mnf 7112  df-xr 7113  df-ltxr 7114  df-le 7115  df-sub 7240  df-neg 7242  df-div 7466  df-n 7704  df-2 7750  df-3 7751  df-4 7752  df-5 7753  df-6 7754  df-7 7755  df-8 7756  df-9 7757  df-n0 7874  df-z 7918  df-uz 8038  df-q 8120  df-rp 8245  df-ioo 8280  df-ioc 8281  df-ico 8282  df-icc 8283  df-fz 8389  df-fl 8481  df-seq 8571  df-exp 8623  df-fac 8756  df-bc 8781  df-hash 8802  df-shft 8835  df-cj 8857  df-re 8858  df-im 8859  df-sqr 8951  df-abs 8952  df-limsup 9105  df-clim 9119  df-sum 9196  df-ef 9358  df-sin 9360  df-cos 9361  df-pi 9363  df-top 10778  df-bases 10780  df-topgen 10781  df-cn 10998  df-cnp 10999  df-tx 11069  df-met 11209  df-bl 11210  df-opn 11211  df-cncf 11942
Copyright terms: Public domain