HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 18430
Description: The cosine of  2 pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 18420 . . . 4  |-  pi  e.  RR
21recni 8267 . . 3  |-  pi  e.  CC
3 cos2t 11641 . . 3  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )
5 cospi 18426 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
65oveq1i 5370 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 )
7 ax-1cn 8215 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 sqneg 10519 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
10 sq1 10552 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116, 9, 103eqtri 2088 . . . . 5  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  1
1211oveq2i 5371 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )
13 2cn 9192 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1413mulid1i 8257 . . . 4  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1512, 14eqtri 2084 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  2
1615oveq1i 5370 . 2  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
17 1p1e2 9213 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1813, 7, 7, 17subaddrii 8548 . 2  |-  ( 2  -  1 )  =  1
194, 16, 183eqtri 2088 1  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1520    e. wcel 1522   ` cfv 4268  (class class class)co 5360   CCcc 8156   1c1 8159    x. cmul 8163    - cmin 8450   -ucneg 8451   2c2 9173   ^cexp 10459   cosccos 11529   picpi 11531
This theorem is referenced by:  ef2pi  18431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1442  ax-6 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-8 1524  ax-11 1525  ax-13 1526  ax-14 1527  ax-17 1529  ax-12o 1562  ax-10 1576  ax-9 1582  ax-4 1589  ax-16 1775  ax-ext 2046  ax-rep 3691  ax-sep 3701  ax-nul 3709  ax-pow 3745  ax-pr 3769  ax-un 4061  ax-inf2 6825  ax-cnex 8213  ax-resscn 8214  ax-1cn 8215  ax-icn 8216  ax-addcl 8217  ax-addrcl 8218  ax-mulcl 8219  ax-mulrcl 8220  ax-mulcom 8221  ax-addass 8222  ax-mulass 8223  ax-distr 8224  ax-i2m1 8225  ax-1ne0 8226  ax-1rid 8227  ax-rnegex 8228  ax-rrecex 8229  ax-cnre 8230  ax-pre-lttri 8231  ax-pre-lttrn 8232  ax-pre-ltadd 8233  ax-pre-mulgt0 8234  ax-pre-sup 8235  ax-addf 8236  ax-mulf 8237
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1259  df-ex 1447  df-sb 1736  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2052  df-cleq 2057  df-clel 2060  df-ne 2184  df-nel 2185  df-ral 2278  df-rex 2279  df-reu 2280  df-rab 2281  df-v 2477  df-sbc 2651  df-csb 2733  df-dif 2796  df-un 2798  df-in 2800  df-ss 2804  df-pss 2806  df-nul 3073  df-if 3182  df-pw 3243  df-sn 3261  df-pr 3262  df-tp 3263  df-op 3264  df-uni 3425  df-int 3459  df-iun 3502  df-iin 3503  df-br 3587  df-opab 3641  df-mpt 3642  df-tr 3674  df-eprel 3856  df-id 3860  df-po 3865  df-so 3866  df-fr 3903  df-se 3904  df-we 3905  df-ord 3946  df-on 3947  df-lim 3948  df-suc 3949  df-om 4224  df-xp 4270  df-rel 4271  df-cnv 4272  df-co 4273  df-dm 4274  df-rn 4275  df-res 4276  df-ima 4277  df-fun 4278  df-fn 4279  df-f 4280  df-f1 4281  df-fo 4282  df-f1o 4283  df-fv 4284  df-iso 4285  df-ov 5363  df-oprab 5364  df-mpt2 5365  df-of 5570  df-1st 5614  df-2nd 5615  df-iota 5770  df-recs 5843  df-rdg 5878  df-1o 5934  df-2o 5935  df-oadd 5938  df-er 6115  df-map 6219  df-pm 6220  df-ixp 6262  df-en 6302  df-dom 6303  df-sdom 6304  df-fin 6305  df-riota 6468  df-fi 6647  df-sup 6676  df-oi 6708  df-card 7054  df-cda 7257  df-pnf 8287  df-mnf 8288  df-xr 8289  df-ltxr 8290  df-le 8291  df-sub 8452  df-neg 8453  df-div 8816  df-n 9125  df-2 9182  df-3 9183  df-4 9184  df-5 9185  df-6 9186  df-7 9187  df-8 9188  df-9 9189  df-10 9190  df-n0 9335  df-z 9394  df-dec 9494  df-uz 9600  df-q 9686  df-rp 9724  df-xneg 9821  df-xadd 9822  df-xmul 9823  df-ioo 10028  df-ioc 10029  df-ico 10030  df-icc 10031  df-fz 10146  df-fzo 10234  df-fl 10285  df-seq 10402  df-exp 10460  df-fac 10643  df-bc 10670  df-hash 10692  df-shft 10757  df-cj 10779  df-re 10780  df-im 10781  df-sqr 10915  df-abs 10916  df-limsup 11136  df-clim 11153  df-rlim 11154  df-sum 11350  df-ef 11532  df-sin 11534  df-cos 11535  df-pi 11537  df-struct 12254  df-ndx 12255  df-slot 12256  df-base 12257  df-sets 12258  df-ress 12259  df-plusg 12317  df-mulr 12318  df-starv 12319  df-sca 12320  df-vsca 12321  df-tset 12323  df-ple 12324  df-ds 12326  df-rest 12415  df-topn 12416  df-topgen 12432  df-pt 12433  df-prds 12436  df-xrs 12487  df-0g 12488  df-gsum 12489  df-qtop 12494  df-imas 12495  df-xps 12497  df-mre 12571  df-mrc 12572  df-acs 12573  df-mnd 12918  df-submnd 12970  df-mulg 13201  df-cntz 13502  df-cmn 13799  df-xmet 15080  df-met 15081  df-bl 15082  df-mopn 15083  df-cnfld 15085  df-top 15342  df-bases 15344  df-topon 15345  df-topsp 15346  df-cld 15462  df-ntr 15463  df-cls 15464  df-cn 15648  df-cnp 15649  df-lm 15650  df-tx 15944  df-hmeo 16133  df-xms 16572  df-ms 16573  df-tms 16574  df-cncf 17066  df-dv 17895
Copyright terms: Public domain