HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 12659
Description: The cosine of 2pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi |- (cos` (2 x. pi)) = 1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 12649 . . . 4 |- pi e. RR
21recni 7079 . . 3 |- pi e. CC
3 cos2t 9496 . . 3 |- (pi e. CC -> (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos`
pi)^2)) - 1))
42, 3ax-mp 8 . 2 |- (cos` (2 x. pi)) = ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1)
5 cospi 12655 . . . . . . 7 |- (cos` pi) = -u1
65oveq1i 4930 . . . . . 6 |- ((cos` pi)^2) = (-u1^2)
7 ax-1cn 7047 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
8 sqneg 8677 . . . . . . 7 |- (1 e. CC -> (-u1^2) = (1^2))
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6 |- (-u1^2) = (1^2)
10 sq1 8708 . . . . . 6 |- (1^2) = 1
116, 9, 103eqtri 1962 . . . . 5 |- ((cos` pi)^2) = 1
1211oveq2i 4931 . . . 4 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = (2 x. 1)
13 2cn 7755 . . . . 5 |- 2 e. CC
1413mulid1i 7092 . . . 4 |- (2 x. 1) = 2
1512, 14eqtri 1958 . . 3 |- (2 x. ((cos` pi)^2)) = 2
1615oveq1i 4930 . 2 |- ((2 x. ((cos` pi)^2)) - 1) = (2 - 1)
17 1p1e2 7776 . . 3 |- (1 + 1) = 2
1813, 7, 7, 17subaddrii 7253 . 2 |- (2 - 1) = 1
194, 16, 183eqtri 1962 1 |- (cos` (2 x. pi)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1434   e. wcel 1436  ` cfv 4007  (class class class)co 4922  CCcc 6990  1c1 6993   x. cmul 6997   - cmin 7215  -ucneg 7216  2c2 7736  ^cexp 8621  cosccos 9405  picpi 9407
This theorem is referenced by:  ef2pi 12660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1351  ax-6 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-12 1441  ax-13 1442  ax-14 1443  ax-17 1450  ax-9 1465  ax-4 1471  ax-16 1649  ax-15 1812  ax-ext 1920  ax-rep 3448  ax-sep 3458  ax-nul 3467  ax-pow 3503  ax-pr 3527  ax-un 3799  ax-inf2 6064  ax-resscn 7046  ax-1cn 7047  ax-icn 7048  ax-addcl 7049  ax-addrcl 7050  ax-mulcl 7051  ax-mulrcl 7052  ax-mulcom 7053  ax-addass 7054  ax-mulass 7055  ax-distr 7056  ax-i2m1 7057  ax-1ne0 7058  ax-1rid 7059  ax-rnegex 7060  ax-rrecex 7061  ax-cnre 7062  ax-pre-lttri 7063  ax-pre-lttrn 7064  ax-pre-ltadd 7065  ax-pre-mulgt0 7066  ax-pre-sup 7067
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 362  df-an 363  df-3or 922  df-3an 923  df-tru 1329  df-ex 1356  df-sb 1611  df-eu 1838  df-mo 1839  df-clab 1926  df-cleq 1931  df-clel 1934  df-ne 2058  df-nel 2059  df-ral 2151  df-rex 2152  df-reu 2153  df-rab 2154  df-v 2345  df-sbc 2510  df-csb 2585  df-dif 2645  df-un 2647  df-in 2649  df-ss 2651  df-pss 2653  df-nul 2907  df-if 3009  df-pw 3067  df-sn 3084  df-pr 3085  df-tp 3086  df-op 3087  df-uni 3218  df-int 3252  df-iun 3290  df-br 3363  df-opab 3417  df-tr 3432  df-eprel 3612  df-id 3615  df-po 3620  df-so 3634  df-fr 3653  df-we 3669  df-ord 3685  df-on 3686  df-lim 3687  df-suc 3688  df-om 3962  df-xp 4009  df-rel 4010  df-cnv 4011  df-co 4012  df-dm 4013  df-rn 4014  df-res 4015  df-ima 4016  df-fun 4017  df-fn 4018  df-f 4019  df-f1 4020  df-fo 4021  df-f1o 4022  df-fv 4023  df-iso 4024  df-ov 4924  df-oprab 4925  df-mpt 5059  df-mpt2 5060  df-1st 5158  df-2nd 5159  df-iota 5263  df-rdg 5349  df-1o 5386  df-oadd 5390  df-er 5523  df-map 5611  df-pm 5612  df-en 5668  df-dom 5669  df-sdom 5670  df-fin 5671  df-riota 5811  df-sup 5985  df-card 6228  df-pnf 7105  df-mnf 7106  df-xr 7107  df-ltxr 7108  df-le 7109  df-sub 7234  df-neg 7236  df-div 7460  df-n 7699  df-2 7745  df-3 7746  df-4 7747  df-5 7748  df-6 7749  df-7 7750  df-8 7751  df-9 7752  df-n0 7869  df-z 7913  df-uz 8033  df-q 8115  df-rp 8240  df-ioo 8275  df-ioc 8276  df-ico 8277  df-icc 8278  df-fz 8385  df-fl 8478  df-seq 8570  df-exp 8622  df-fac 8755  df-bc 8780  df-hash 8801  df-shft 8834  df-cj 8856  df-re 8857  df-im 8858  df-sqr 8950  df-abs 8951  df-limsup 9103  df-clim 9119  df-rlim 9120  df-sum 9245  df-ef 9408  df-sin 9410  df-cos 9411  df-pi 9413  df-top 10867  df-bases 10869  df-topgen 10870  df-cn 11088  df-cnp 11089  df-tx 11160  df-met 11305  df-bl 11306  df-opn 11307  df-cncf 12038
Copyright terms: Public domain