MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2pi Unicode version

Theorem cos2pi 18451
Description: The cosine of  2 pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 18441 . . . 4  |-  pi  e.  RR
21recni 8279 . . 3  |-  pi  e.  CC
3 cos2t 11661 . . 3  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )
5 cospi 18447 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
65oveq1i 5380 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 )
7 ax-1cn 8225 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 sqneg 10538 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
10 sq1 10571 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116, 9, 103eqtri 2093 . . . . 5  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  1
1211oveq2i 5381 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )
13 2cn 9207 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1413mulid1i 8269 . . . 4  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1512, 14eqtri 2089 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  2
1615oveq1i 5380 . 2  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
17 1p1e2 9231 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1813, 7, 7, 17subaddrii 8560 . 2  |-  ( 2  -  1 )  =  1
194, 16, 183eqtri 2093 1  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1524    e. wcel 1526   ` cfv 4278  (class class class)co 5370   CCcc 8166   1c1 8169    x. cmul 8173    - cmin 8462   -ucneg 8463   2c2 9186   ^cexp 10478   cosccos 11549   picpi 11551
This theorem is referenced by:  ef2pi  18452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1446  ax-6 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-8 1528  ax-11 1529  ax-13 1530  ax-14 1531  ax-17 1533  ax-12o 1567  ax-10 1581  ax-9 1587  ax-4 1594  ax-16 1780  ax-ext 2051  ax-rep 3701  ax-sep 3711  ax-nul 3719  ax-pow 3755  ax-pr 3779  ax-un 4071  ax-inf2 6835  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-icn 8226  ax-addcl 8227  ax-addrcl 8228  ax-mulcl 8229  ax-mulrcl 8230  ax-mulcom 8231  ax-addass 8232  ax-mulass 8233  ax-distr 8234  ax-i2m1 8235  ax-1ne0 8236  ax-1rid 8237  ax-rnegex 8238  ax-rrecex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-lttri 8241  ax-pre-lttrn 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-sup 8245  ax-addf 8246  ax-mulf 8247
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1259  df-ex 1451  df-sb 1741  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2057  df-cleq 2062  df-clel 2065  df-ne 2189  df-nel 2190  df-ral 2283  df-rex 2284  df-reu 2285  df-rab 2286  df-v 2482  df-sbc 2656  df-csb 2738  df-dif 2801  df-un 2803  df-in 2805  df-ss 2809  df-pss 2811  df-nul 3078  df-if 3187  df-pw 3248  df-sn 3266  df-pr 3267  df-tp 3268  df-op 3269  df-uni 3435  df-int 3469  df-iun 3512  df-iin 3513  df-br 3597  df-opab 3651  df-mpt 3652  df-tr 3684  df-eprel 3866  df-id 3870  df-po 3875  df-so 3876  df-fr 3913  df-se 3914  df-we 3915  df-ord 3956  df-on 3957  df-lim 3958  df-suc 3959  df-om 4234  df-xp 4280  df-rel 4281  df-cnv 4282  df-co 4283  df-dm 4284  df-rn 4285  df-res 4286  df-ima 4287  df-fun 4288  df-fn 4289  df-f 4290  df-f1 4291  df-fo 4292  df-f1o 4293  df-fv 4294  df-iso 4295  df-ov 5373  df-oprab 5374  df-mpt2 5375  df-of 5580  df-1st 5624  df-2nd 5625  df-iota 5780  df-recs 5853  df-rdg 5888  df-1o 5944  df-2o 5945  df-oadd 5948  df-er 6125  df-map 6229  df-pm 6230  df-ixp 6272  df-en 6312  df-dom 6313  df-sdom 6314  df-fin 6315  df-riota 6478  df-fi 6657  df-sup 6686  df-oi 6718  df-card 7064  df-cda 7267  df-pnf 8299  df-mnf 8300  df-xr 8301  df-ltxr 8302  df-le 8303  df-sub 8464  df-neg 8465  df-div 8829  df-n 9138  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-10 9203  df-n0 9354  df-z 9413  df-dec 9513  df-uz 9619  df-q 9705  df-rp 9743  df-xneg 9840  df-xadd 9841  df-xmul 9842  df-ioo 10047  df-ioc 10048  df-ico 10049  df-icc 10050  df-fz 10165  df-fzo 10253  df-fl 10304  df-seq 10421  df-exp 10479  df-fac 10662  df-bc 10689  df-hash 10711  df-shft 10776  df-cj 10798  df-re 10799  df-im 10800  df-sqr 10934  df-abs 10935  df-limsup 11156  df-clim 11173  df-rlim 11174  df-sum 11370  df-ef 11552  df-sin 11554  df-cos 11555  df-pi 11557  df-struct 12274  df-ndx 12275  df-slot 12276  df-base 12277  df-sets 12278  df-ress 12279  df-plusg 12338  df-mulr 12339  df-starv 12340  df-sca 12341  df-vsca 12342  df-tset 12344  df-ple 12345  df-ds 12347  df-rest 12436  df-topn 12437  df-topgen 12453  df-pt 12454  df-prds 12457  df-xrs 12508  df-0g 12509  df-gsum 12510  df-qtop 12515  df-imas 12516  df-xps 12518  df-mre 12592  df-mrc 12593  df-acs 12594  df-mnd 12939  df-submnd 12991  df-mulg 13222  df-cntz 13523  df-cmn 13820  df-xmet 15101  df-met 15102  df-bl 15103  df-mopn 15104  df-cnfld 15106  df-top 15363  df-bases 15365  df-topon 15366  df-topsp 15367  df-cld 15483  df-ntr 15484  df-cls 15485  df-cn 15669  df-cnp 15670  df-lm 15671  df-tx 15965  df-hmeo 16154  df-xms 16593  df-ms 16594  df-tms 16595  df-cncf 17087  df-dv 17916
  Copyright terms: Public domain W3C validator