HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 17445
Description: The cosine of  2 pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 17435 . . . 4  |-  pi  e.  RR
21recni 8228 . . 3  |-  pi  e.  CC
3 cos2t 11023 . . 3  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )
5 cospi 17441 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
65oveq1i 5364 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  pi ) ^
2 )  =  (
-u 1 ^ 2 )
7 ax-1cn 8194 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 sqneg 10134 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
10 sq1 10165 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116, 9, 103eqtri 2106 . . . . 5  |-  ( ( cos `  pi ) ^
2 )  =  1
1211oveq2i 5365 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )
13 2cn 8920 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1413mulid1i 8242 . . . 4  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1512, 14eqtri 2102 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  2
1615oveq1i 5364 . 2  |-  ( (
2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
17 1p1e2 8941 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1813, 7, 7, 17subaddrii 8411 . 2  |-  ( 2  -  1 )  =  1
194, 16, 183eqtri 2106 1  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1536    e. wcel 1538   ` cfv 4287  (class class class)co 5354   CCcc 8135   1c1 8138    x. cmul 8142    - cmin 8373   -ucneg 8374   2c2 8901   ^cexp 10075   cosccos 10919   picpi 10921
This theorem is referenced by:  ef2pi  17446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1451  ax-6 1452  ax-7 1453  ax-gen 1454  ax-8 1540  ax-11 1541  ax-13 1542  ax-14 1543  ax-17 1545  ax-12o 1578  ax-10 1592  ax-9 1598  ax-4 1606  ax-16 1793  ax-ext 2064  ax-rep 3705  ax-sep 3715  ax-nul 3723  ax-pow 3759  ax-pr 3783  ax-un 4075  ax-inf2 6805  ax-cnex 8192  ax-resscn 8193  ax-1cn 8194  ax-icn 8195  ax-addcl 8196  ax-addrcl 8197  ax-mulcl 8198  ax-mulrcl 8199  ax-mulcom 8200  ax-addass 8201  ax-mulass 8202  ax-distr 8203  ax-i2m1 8204  ax-1ne0 8205  ax-1rid 8206  ax-rnegex 8207  ax-rrecex 8208  ax-cnre 8209  ax-pre-lttri 8210  ax-pre-lttrn 8211  ax-pre-ltadd 8212  ax-pre-mulgt0 8213  ax-pre-sup 8214  ax-addf 8215  ax-mulf 8216
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 904  df-3an 905  df-tru 1268  df-ex 1456  df-sb 1754  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2070  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-ne 2201  df-nel 2202  df-ral 2295  df-rex 2296  df-reu 2297  df-rab 2298  df-v 2494  df-sbc 2668  df-csb 2750  df-dif 2813  df-un 2815  df-in 2817  df-ss 2821  df-pss 2823  df-nul 3089  df-if 3199  df-pw 3260  df-sn 3278  df-pr 3279  df-tp 3280  df-op 3281  df-uni 3439  df-int 3473  df-iun 3516  df-iin 3517  df-br 3601  df-opab 3655  df-mpt 3656  df-tr 3688  df-eprel 3870  df-id 3874  df-po 3879  df-so 3880  df-fr 3917  df-se 3918  df-we 3919  df-ord 3960  df-on 3961  df-lim 3962  df-suc 3963  df-om 4243  df-xp 4289  df-rel 4290  df-cnv 4291  df-co 4292  df-dm 4293  df-rn 4294  df-res 4295  df-ima 4296  df-fun 4297  df-fn 4298  df-f 4299  df-f1 4300  df-fo 4301  df-f1o 4302  df-fv 4303  df-iso 4304  df-ov 5357  df-oprab 5358  df-mpt2 5359  df-of 5564  df-1st 5608  df-2nd 5609  df-iota 5762  df-recs 5835  df-rdg 5870  df-1o 5926  df-2o 5927  df-oadd 5930  df-er 6102  df-map 6207  df-pm 6208  df-ixp 6250  df-en 6289  df-dom 6290  df-sdom 6291  df-fin 6292  df-riota 6455  df-fi 6627  df-sup 6656  df-oi 6688  df-card 7034  df-cda 7237  df-pnf 8255  df-mnf 8256  df-xr 8257  df-ltxr 8258  df-le 8259  df-sub 8392  df-neg 8393  df-div 8621  df-n 8863  df-2 8910  df-3 8911  df-4 8912  df-5 8913  df-6 8914  df-7 8915  df-8 8916  df-9 8917  df-10 8918  df-n0 9056  df-z 9108  df-dec 9199  df-uz 9305  df-q 9390  df-rp 9427  df-xneg 9461  df-xadd 9462  df-xmul 9463  df-ioo 9662  df-ioc 9663  df-ico 9664  df-icc 9665  df-fz 9780  df-fl 9917  df-seq 10021  df-exp 10076  df-fac 10213  df-bc 10239  df-hash 10261  df-shft 10313  df-cj 10335  df-re 10336  df-im 10337  df-sqr 10433  df-abs 10434  df-limsup 10597  df-clim 10613  df-rlim 10614  df-sum 10749  df-ef 10922  df-sin 10924  df-cos 10925  df-pi 10927  df-struct 11604  df-ndx 11605  df-slot 11606  df-base 11607  df-sets 11608  df-ress 11609  df-plusg 11666  df-mulr 11667  df-starv 11668  df-sca 11669  df-vsca 11670  df-tset 11672  df-ple 11673  df-ds 11675  df-rest 11759  df-topn 11760  df-topgen 11776  df-pt 11777  df-prds 11780  df-xrs 11831  df-0g 11832  df-gsum 11833  df-qtop 11838  df-imas 11839  df-xps 11841  df-mnd 12202  df-mulg 12404  df-cmn 12846  df-xmet 14048  df-met 14049  df-bl 14050  df-mopn 14051  df-cnfld 14053  df-top 14379  df-bases 14381  df-topon 14382  df-topsp 14383  df-cld 14499  df-ntr 14500  df-cls 14501  df-cn 14685  df-cnp 14686  df-lm 14687  df-tx 14981  df-hmeo 15170  df-xms 15609  df-ms 15610  df-tms 15611  df-cncf 16103  df-dv 16931
Copyright terms: Public domain