HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cos2pi 18447
Description: The cosine of  2 pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2pi  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1

Proof of Theorem cos2pi
StepHypRef Expression
1 pire 18437 . . . 4  |-  pi  e.  RR
21recni 8275 . . 3  |-  pi  e.  CC
3 cos2t 11657 . . 3  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )
5 cospi 18443 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
65oveq1i 5376 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 )
7 ax-1cn 8221 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 sqneg 10534 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
10 sq1 10567 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
116, 9, 103eqtri 2089 . . . . 5  |-  ( ( cos `  pi ) ^ 2 )  =  1
1211oveq2i 5377 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )
13 2cn 9203 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1413mulid1i 8265 . . . 4  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1512, 14eqtri 2085 . . 3  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  =  2
1615oveq1i 5376 . 2  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  pi ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
17 1p1e2 9227 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1813, 7, 7, 17subaddrii 8556 . 2  |-  ( 2  -  1 )  =  1
194, 16, 183eqtri 2089 1  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1520    e. wcel 1522   ` cfv 4274  (class class class)co 5366   CCcc 8162   1c1 8165    x. cmul 8169    - cmin 8458   -ucneg 8459   2c2 9182   ^cexp 10474   cosccos 11545   picpi 11547
This theorem is referenced by:  ef2pi  18448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1442  ax-6 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-8 1524  ax-11 1525  ax-13 1526  ax-14 1527  ax-17 1529  ax-12o 1563  ax-10 1577  ax-9 1583  ax-4 1590  ax-16 1776  ax-ext 2047  ax-rep 3697  ax-sep 3707  ax-nul 3715  ax-pow 3751  ax-pr 3775  ax-un 4067  ax-inf2 6831  ax-cnex 8219  ax-resscn 8220  ax-1cn 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-1ne0 8232  ax-1rid 8233  ax-rnegex 8234  ax-rrecex 8235  ax-cnre 8236  ax-pre-lttri 8237  ax-pre-lttrn 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-sup 8241  ax-addf 8242  ax-mulf 8243
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1259  df-ex 1447  df-sb 1737  df-eu 1959  df-mo 1960  df-clab 2053  df-cleq 2058  df-clel 2061  df-ne 2185  df-nel 2186  df-ral 2279  df-rex 2280  df-reu 2281  df-rab 2282  df-v 2478  df-sbc 2652  df-csb 2734  df-dif 2797  df-un 2799  df-in 2801  df-ss 2805  df-pss 2807  df-nul 3074  df-if 3183  df-pw 3244  df-sn 3262  df-pr 3263  df-tp 3264  df-op 3265  df-uni 3431  df-int 3465  df-iun 3508  df-iin 3509  df-br 3593  df-opab 3647  df-mpt 3648  df-tr 3680  df-eprel 3862  df-id 3866  df-po 3871  df-so 3872  df-fr 3909  df-se 3910  df-we 3911  df-ord 3952  df-on 3953  df-lim 3954  df-suc 3955  df-om 4230  df-xp 4276  df-rel 4277  df-cnv 4278  df-co 4279  df-dm 4280  df-rn 4281  df-res 4282  df-ima 4283  df-fun 4284  df-fn 4285  df-f 4286  df-f1 4287  df-fo 4288  df-f1o 4289  df-fv 4290  df-iso 4291  df-ov 5369  df-oprab 5370  df-mpt2 5371  df-of 5576  df-1st 5620  df-2nd 5621  df-iota 5776  df-recs 5849  df-rdg 5884  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-er 6121  df-map 6225  df-pm 6226  df-ixp 6268  df-en 6308  df-dom 6309  df-sdom 6310  df-fin 6311  df-riota 6474  df-fi 6653  df-sup 6682  df-oi 6714  df-card 7060  df-cda 7263  df-pnf 8295  df-mnf 8296  df-xr 8297  df-ltxr 8298  df-le 8299  df-sub 8460  df-neg 8461  df-div 8825  df-n 9134  df-2 9191  df-3 9192  df-4 9193  df-5 9194  df-6 9195  df-7 9196  df-8 9197  df-9 9198  df-10 9199  df-n0 9350  df-z 9409  df-dec 9509  df-uz 9615  df-q 9701  df-rp 9739  df-xneg 9836  df-xadd 9837  df-xmul 9838  df-ioo 10043  df-ioc 10044  df-ico 10045  df-icc 10046  df-fz 10161  df-fzo 10249  df-fl 10300  df-seq 10417  df-exp 10475  df-fac 10658  df-bc 10685  df-hash 10707  df-shft 10772  df-cj 10794  df-re 10795  df-im 10796  df-sqr 10930  df-abs 10931  df-limsup 11152  df-clim 11169  df-rlim 11170  df-sum 11366  df-ef 11548  df-sin 11550  df-cos 11551  df-pi 11553  df-struct 12270  df-ndx 12271  df-slot 12272  df-base 12273  df-sets 12274  df-ress 12275  df-plusg 12334  df-mulr 12335  df-starv 12336  df-sca 12337  df-vsca 12338  df-tset 12340  df-ple 12341  df-ds 12343  df-rest 12432  df-topn 12433  df-topgen 12449  df-pt 12450  df-prds 12453  df-xrs 12504  df-0g 12505  df-gsum 12506  df-qtop 12511  df-imas 12512  df-xps 12514  df-mre 12588  df-mrc 12589  df-acs 12590  df-mnd 12935  df-submnd 12987  df-mulg 13218  df-cntz 13519  df-cmn 13816  df-xmet 15097  df-met 15098  df-bl 15099  df-mopn 15100  df-cnfld 15102  df-top 15359  df-bases 15361  df-topon 15362  df-topsp 15363  df-cld 15479  df-ntr 15480  df-cls 15481  df-cn 15665  df-cnp 15666  df-lm 15667  df-tx 15961  df-hmeo 16150  df-xms 16589  df-ms 16590  df-tms 16591  df-cncf 17083  df-dv 17912
Copyright terms: Public domain