Theorem cos2tt 7441

Description: Double-angle formula for cosine. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2tt	|- (A e. CC -> (cos` (2 x. A)) = ((2 x. ((cos` A)^2)) - 1))

Proof of Theorem cos2tt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axaddcom 5262	. . . . . 6 |- ((((sin` A)^2) e. CC /\ ((cos` A)^2) e. CC) -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)))
2		sinclt 7409	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)
3		sqclt 6561	. . . . . . 7 |- ((sin` A) e. CC -> ((sin` A)^2) e. CC)
4	2, 3	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((sin` A)^2) e. CC)
5		cosclt 7410	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (cos` A) e. CC)
6		sqclt 6561	. . . . . . 7 |- ((cos` A) e. CC -> ((cos` A)^2) e. CC)
7	5, 6	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((cos` A)^2) e. CC)
8	1, 4, 7	sylanc 471	. . . . 5 |- (A e. CC -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)))
9		sincossqt 7439	. . . . 5 |- (A e. CC -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = 1)
10	8, 9	eqtr3d 1508	. . . 4 |- (A e. CC -> (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)) = 1)
11		ax1cn 5256	. . . . . 6 |- 1 e. CC
12		subaddt 5362	. . . . . 6 |- ((1 e. CC /\ ((cos` A)^2) e. CC /\ ((sin` A)^2) e. CC) -> ((1 - ((cos` A)^2)) = ((sin` A)^2) <-> (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)) = 1))
13	11, 12	mp3an1 902	. . . . 5 |- ((((cos` A)^2) e. CC /\ ((sin` A)^2) e. CC) -> ((1 - ((cos` A)^2)) = ((sin` A)^2) <-> (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)) = 1))
14	13, 7, 4	sylanc 471	. . . 4 |- (A e. CC -> ((1 - ((cos` A)^2)) = ((sin` A)^2) <-> (((cos` A)^2) + ((sin` A)^2)) = 1))
15	10, 14	mpbird 196	. . 3 |- (A e. CC -> (1 - ((cos` A)^2)) = ((sin` A)^2))
16	15	opreq2d 3973	. 2 |- (A e. CC -> (((cos` A)^2) - (1 - ((cos` A)^2))) = (((cos` A)^2) - ((sin` A)^2)))
17		2timest 5965	. . . . 5 |- (((cos` A)^2) e. CC -> (2 x. ((cos` A)^2)) = (((cos` A)^2) + ((cos` A)^2)))
18	7, 17	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> (2 x. ((cos` A)^2)) = (((cos` A)^2) + ((cos` A)^2)))
19	18	opreq1d 3972	. . 3 |- (A e. CC -> ((2 x. ((cos` A)^2)) - 1) = ((((cos` A)^2) + ((cos` A)^2)) - 1))
20		subsub3t 5450	. . . . 5 |- ((((cos` A)^2) e. CC /\ 1 e. CC /\ ((cos` A)^2) e. CC) -> (((cos` A)^2) - (1 - ((cos` A)^2))) = ((((cos` A)^2) + ((cos` A)^2)) - 1))
21	11, 20	mp3an2 903	. . . 4 |- ((((cos` A)^2) e. CC /\ ((cos` A)^2) e. CC) -> (((cos` A)^2) - (1 - ((cos` A)^2))) = ((((cos` A)^2) + ((cos` A)^2)) - 1))
22	21, 7, 7	sylanc 471	. . 3 |- (A e. CC -> (((cos` A)^2) - (1 - ((cos` A)^2))) = ((((cos` A)^2) + ((cos` A)^2)) - 1))
23	19, 22	eqtr4d 1509	. 2 |- (A e. CC -> ((2 x. ((cos` A)^2)) - 1) = (((cos` A)^2) - (1 - ((cos` A)^2))))
24		cosaddt 7432	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A e. CC) -> (cos` (A + A)) = (((cos` A) x. (cos` A)) - ((sin` A) x. (sin` A))))
25	24	anidms 434	. . 3 |- (A e. CC -> (cos` (A + A)) = (((cos` A) x. (cos` A)) - ((sin` A) x. (sin` A))))
26		2timest 5965	. . . 4 |- (A e. CC -> (2 x. A) = (A + A))
27	26	fveq2d 3725	. . 3 |- (A e. CC -> (cos` (2 x. A)) = (cos` (A + A)))
28		sqvalt 6559	. . . . 5 |- ((cos` A) e. CC -> ((cos` A)^2) = ((cos` A) x. (cos` A)))
29	5, 28	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> ((cos` A)^2) = ((cos` A) x. (cos` A)))
30		sqvalt 6559	. . . . 5 |- ((sin` A) e. CC -> ((sin` A)^2) = ((sin` A) x. (sin` A)))
31	2, 30	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> ((sin` A)^2) = ((sin` A) x. (sin` A)))
32	29, 31	opreq12d 3975	. . 3 |- (A e. CC -> (((cos` A)^2) - ((sin` A)^2)) = (((cos` A) x. (cos` A)) - ((sin` A) x. (sin` A))))
33	25, 27, 32	3eqtr4d 1516	. 2 |- (A e. CC -> (cos` (2 x. A)) = (((cos` A)^2) - ((sin` A)^2)))
34	16, 23, 33	3eqtr4rd 1517	1 |- (A e. CC -> (cos` (2 x. A)) = ((2 x. ((cos` A)^2)) - 1))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  1c1 5222   + caddc 5224   x. cmul 5226   - cmin 5279  2c2 5922  ^cexp 6518  sincsin 7273  cosccos 7274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-seq0 6484  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-fac 6898  df-bc 6923  df-clim 6943  df-sum 6948  df-ef 7276  df-sin 7278  df-cos 7279

Copyright terms: Public domain