MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosbnd Unicode version

Theorem cosbnd 12741
Description: The cosine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
cosbnd  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )

Proof of Theorem cosbnd
StepHypRef Expression
1 resincl 12700 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
21sqge0d 11509 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )
3 recoscl 12701 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
43resqcld 11508 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
51resqcld 11508 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
64, 5addge02d 9575 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( sin `  A ) ^
2 )  <->  ( ( cos `  A ) ^
2 )  <_  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) ) )
72, 6mpbid 202 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
8 recn 9040 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
9 sincossq 12736 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
11 sq1 11435 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1210, 11syl6eqr 2458 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1 ^ 2 ) )
137, 12breqtrd 4200 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) )
14 1re 9050 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
15 0le1 9511 . . . . . 6  |-  0  <_  1
16 lenegsq 12083 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  ->  (
( ( cos `  A
)  <_  1  /\  -u ( cos `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
1714, 15, 16mp3an23 1271 . . . . 5  |-  ( ( cos `  A )  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
)  <_  1  /\  -u ( cos `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
18 lenegcon1 9492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u ( cos `  A )  <_  1  <->  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) )
1914, 18mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  A )  e.  RR  ->  ( -u ( cos `  A
)  <_  1  <->  -u 1  <_ 
( cos `  A
) ) )
2019anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( ( cos `  A )  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
)  <_  1  /\  -u ( cos `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( cos `  A
)  <_  1  /\  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) ) )
2117, 20bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( cos `  A )  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( cos `  A )  <_ 
1  /\  -u 1  <_ 
( cos `  A
) ) ) )
223, 21syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( cos `  A )  <_ 
1  /\  -u 1  <_ 
( cos `  A
) ) ) )
2313, 22mpbid 202 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  /\  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) )
2423ancomd 439 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    <_ cle 9081   -ucneg 9252   2c2 10009   ^cexp 11341   sincsin 12625   cosccos 12626
This theorem is referenced by:  cosbnd2  12743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-ico 10882  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632
  Copyright terms: Public domain W3C validator