Theorem cosco 8622

Description: Cosine expressed as a function composition. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
sinco.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (i x. x))}
sinco.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-ui x. x))}
cosco.3	|- J = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / 2))}
cosco.4	|- H = {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. F)` w) + ((exp o. G)` w)))}

Assertion

Ref	Expression
cosco	|- cos = (J o. H)

Distinct variable groups:   v,F,w   v,G,w   x,v,y,w

Proof of Theorem cosco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 7400	. . . 4 |- cos:CC-->CC
2		ffn 3623	. . . 4 |- (cos:CC-->CC -> cos Fn CC)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- cos Fn CC
4		sinco.1	. . . . 5 |- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (i x. x))}
5		sinco.2	. . . . 5 |- G = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-ui x. x))}
6		cosco.3	. . . . 5 |- J = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / 2))}
7		cosco.4	. . . . 5 |- H = {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. F)` w) + ((exp o. G)` w)))}
8		axaddcl 5254	. . . . 5 |- ((((exp o. F)` z) e. CC /\ ((exp o. G)` z) e. CC) -> (((exp o. F)` z) + ((exp o. G)` z)) e. CC)
9		2cn 5937	. . . . 5 |- 2 e. CC
10		2ne0 5947	. . . . 5 |- 2 =/= 0
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sincolem 8619	. . . 4 |- ((J o. H) Fn CC /\ (z e. CC -> ((J o. H)` z) = (((exp` (i x. z)) + (exp` (-ui x. z))) / 2)))
12	11	pm3.26i 320	. . 3 |- (J o. H) Fn CC
13		eqfnfv 3792	. . 3 |- ((cos Fn CC /\ (J o. H) Fn CC) -> (cos = (J o. H) <-> (CC = CC /\ A.z e. CC (cos` z) = ((J o. H)` z))))
14	3, 12, 13	mp2an 696	. 2 |- (cos = (J o. H) <-> (CC = CC /\ A.z e. CC (cos` z) = ((J o. H)` z)))
15		eqid 1474	. 2 |- CC = CC
16		cosvalt 7389	. . . 4 |- (z e. CC -> (cos` z) = (((exp` (i x. z)) + (exp` (-ui x. z))) / 2))
17	11	pm3.27i 324	. . . 4 |- (z e. CC -> ((J o. H)` z) = (((exp` (i x. z)) + (exp` (-ui x. z))) / 2))
18	16, 17	eqtr4d 1508	. . 3 |- (z e. CC -> (cos` z) = ((J o. H)` z))
19	18	rgen 1696	. 2 |- A.z e. CC (cos` z) = ((J o. H)` z)
20	14, 15, 19	mpbir2an 729	1 |- cos = (J o. H)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  {copab 2662   o. ccom 3170   Fn wfn 3173  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  ici 5219   + caddc 5220   x. cmul 5222  -ucneg 5276   / cdiv 5277  2c2 5918  expce 7252  cosccos 7255

This theorem is referenced by:  coscn 8624

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-seq0 6479  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-fac 6884  df-clim 6928  df-sum 6933  df-ef 7257  df-cos 7260

Copyright terms: Public domain