Theorem cosh111lem2 8649

Description: Lemma for cosh111t 8651.

Hypotheses

Ref	Expression
cosh111lem1.1	|- A e. RR
cosh111lem1.2	|- B e. RR
cosh111lem1.3	|- 0 <_ A
cosh111lem1.4	|- 0 <_ B
cosh111lem1.5	|- A < pi
cosh111lem1.6	|- B < pi

Assertion

Ref	Expression
cosh111lem2	|- (A < B <-> (cos` B) < (cos` A))

Proof of Theorem cosh111lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosh111lem1.1	. . 3 |- A e. RR
2		cosh111lem1.2	. . 3 |- B e. RR
3		cosh111lem1.3	. . 3 |- 0 <_ A
4		cosh111lem1.4	. . 3 |- 0 <_ B
5		cosh111lem1.5	. . 3 |- A < pi
6		cosh111lem1.6	. . 3 |- B < pi
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cosh111lem1 8648	. 2 |- (A < B -> (cos` B) < (cos` A))
8	2, 1, 4, 3, 6, 5	cosh111lem1 8648	. . . . . 6 |- (B < A -> (cos` A) < (cos` B))
9		fveq2 3715	. . . . . . 7 |- (B = A -> (cos` B) = (cos` A))
10	9	eqcomd 1477	. . . . . 6 |- (B = A -> (cos` A) = (cos` B))
11	8, 10	orim12i 336	. . . . 5 |- ((B < A \/ B = A) -> ((cos` A) < (cos` B) \/ (cos` A) = (cos` B)))
12	2, 1	leloe 5556	. . . . 5 |- (B <_ A <-> (B < A \/ B = A))
13		recosclt 7389	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (cos` A) e. RR)
14	1, 13	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (cos` A) e. RR
15		recosclt 7389	. . . . . . 7 |- (B e. RR -> (cos` B) e. RR)
16	2, 15	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (cos` B) e. RR
17	14, 16	leloe 5556	. . . . 5 |- ((cos` A) <_ (cos` B) <-> ((cos` A) < (cos` B) \/ (cos` A) = (cos` B)))
18	11, 12, 17	3imtr4 219	. . . 4 |- (B <_ A -> (cos` A) <_ (cos` B))
19	2, 1	lenlt 5559	. . . 4 |- (B <_ A <-> -. A < B)
20	14, 16	lenlt 5559	. . . 4 |- ((cos` A) <_ (cos` B) <-> -. (cos` B) < (cos` A))
21	18, 19, 20	3imtr3 218	. . 3 |- (-. A < B -> -. (cos` B) < (cos` A))
22	21	a3i 74	. 2 |- ((cos` B) < (cos` A) -> A < B)
23	7, 22	impbi 157	1 |- (A < B <-> (cos` B) < (cos` A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  RRcr 5213  0cc0 5214   <_ cle 5275   < clt 5466  cosccos 7246  picpi 7247

This theorem is referenced by:  cosh111lem3 8650

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-5 5928  df-6 5929  df-7 5930  df-8 5931  df-9 5932  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-rp 6227  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-ioc 6307  df-ico 6308  df-icc 6309  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-bc 6902  df-clim 6921  df-sum 6926  df-cncf 7206  df-ef 7248  df-sin 7250  df-cos 7251  df-pi 7252  df-top 7542  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874

Copyright terms: Public domain