Theorem cotr 5205

Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cotr	|- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )

Distinct variable group:   x, y, z, R

Proof of Theorem cotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4846	. . . 4 |- ( R o. R ) = { <. x , z >. | E. y ( x R y /\ y R z ) }
2	1	relopabi 4959	. . 3 |- Rel ( R o. R )
3		ssrel 4923	. . 3 |- ( Rel ( R o. R ) -> ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
4	2, 3	ax-mp 8	. 2 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) )
5		vex 2919	. . . . . . . 8 |- x e. _V
6		vex 2919	. . . . . . . 8 |- z e. _V
7	5, 6	opelco 5003	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. ( R o. R ) <-> E. y ( x R y /\ y R z ) )
8		df-br 4173	. . . . . . . 8 |- ( x R z <-> <. x , z >. e. R )
9	8	bicomi 194	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. R <-> x R z )
10	7, 9	imbi12i 317	. . . . . 6 |- ( ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> ( E. y ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
11		19.23v 1910	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( E. y ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
12	10, 11	bitr4i 244	. . . . 5 |- ( ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
13	12	albii 1572	. . . 4 |- ( A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. z A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
14		alcom 1748	. . . 4 |- ( A. z A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
15	13, 14	bitri 241	. . 3 |- ( A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
16	15	albii 1572	. 2 |- ( A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
17	4, 16	bitri 241	1 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547   e. wcel 1721   C_ wss 3280   <.cop 3777   class class class wbr 4172   o. ccom 4841   Rel wrel 4842

This theorem is referenced by:  xpidtr  5215  trin2  5216  dfer2  6865  pslem  14593  letsr  14627  dirtr  14636  filnetlem3  26299

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-rel 4844  df-co 4846