MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cotr Unicode version

Theorem cotr 5043
Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cotr  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
Distinct variable group:    x, y, z, R

Proof of Theorem cotr
StepHypRef Expression
1 df-co 4678 . . . 4  |-  ( R  o.  R )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x R y  /\  y R z ) }
21relopabi 4799 . . 3  |-  Rel  ( R  o.  R )
3 ssrel 4764 . . 3  |-  ( Rel  ( R  o.  R
)  ->  ( ( R  o.  R )  C_  R  <->  A. x A. z
( <. x ,  z
>.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) ) )
42, 3ax-mp 10 . 2  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
5 vex 2766 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
6 vex 2766 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
75, 6opelco 4841 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  <->  E. y ( x R y  /\  y R z ) )
8 df-br 3998 . . . . . . . 8  |-  ( x R z  <->  <. x ,  z >.  e.  R
)
98bicomi 195 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  R  <->  x R z )
107, 9imbi12i 318 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  ( E. y
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
11 19.23v 2022 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  ( E. y ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1210, 11bitr4i 245 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1312albii 1554 . . . 4  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R )  <->  A. z A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
14 alcom 1568 . . . 4  |-  ( A. z A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1513, 14bitri 242 . . 3  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R )  <->  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1615albii 1554 . 2  |-  ( A. x A. z ( <.
x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
174, 16bitri 242 1  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    e. wcel 1621    C_ wss 3127   <.cop 3617   class class class wbr 3997    o. ccom 4665   Rel wrel 4666
This theorem is referenced by:  xpidtr  5053  trin2  5054  dfer2  6629  pslem  14278  letsr  14312  dirtr  14321  preotr2  24603  filnetlem3  25697
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-xp 4675  df-rel 4676  df-co 4678
  Copyright terms: Public domain W3C validator