MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cotr Unicode version

Theorem cotr 5054
Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cotr  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
Distinct variable group:    x, y, z, R

Proof of Theorem cotr
StepHypRef Expression
1 df-co 4697 . . . 4  |-  ( R  o.  R )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x R y  /\  y R z ) }
21relopabi 4810 . . 3  |-  Rel  ( R  o.  R )
3 ssrel 4775 . . 3  |-  ( Rel  ( R  o.  R
)  ->  ( ( R  o.  R )  C_  R  <->  A. x A. z
( <. x ,  z
>.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
5 vex 2792 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
6 vex 2792 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
75, 6opelco 4852 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  <->  E. y ( x R y  /\  y R z ) )
8 df-br 4025 . . . . . . . 8  |-  ( x R z  <->  <. x ,  z >.  e.  R
)
98bicomi 193 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  R  <->  x R z )
107, 9imbi12i 316 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  ( E. y
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
11 19.23v 1834 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  ( E. y ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1210, 11bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1312albii 1553 . . . 4  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R )  <->  A. z A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
14 alcom 1712 . . . 4  |-  ( A. z A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1513, 14bitri 240 . . 3  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R )  <->  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1615albii 1553 . 2  |-  ( A. x A. z ( <.
x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
174, 16bitri 240 1  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1685    C_ wss 3153   <.cop 3644   class class class wbr 4024    o. ccom 4692   Rel wrel 4693
This theorem is referenced by:  xpidtr  5064  trin2  5065  dfer2  6657  pslem  14311  letsr  14345  dirtr  14354  preotr2  24646  filnetlem3  25740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-br 4025  df-opab 4079  df-xp 4694  df-rel 4695  df-co 4697
  Copyright terms: Public domain W3C validator