Theorem counopt 9840

Description: The composition of two unitary operators is unitary.

Assertion

Ref	Expression
counopt	|- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> (S o. T) e. UniOp)

Proof of Theorem counopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oco 3713	. . . . 5 |- ((S:H~-1-1-onto->H~ /\ T:H~-1-1-onto->H~) -> (S o. T):H~-1-1-onto->H~)
2		unopf1ot 9835	. . . . 5 |- (S e. UniOp -> S:H~-1-1-onto->H~)
3		unopf1ot 9835	. . . . 5 |- (T e. UniOp -> T:H~-1-1-onto->H~)
4	1, 2, 3	syl2an 456	. . . 4 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> (S o. T):H~-1-1-onto->H~)
5		f1ofo 3701	. . . 4 |- ((S o. T):H~-1-1-onto->H~ -> (S o. T):H~-onto->H~)
6	4, 5	syl 10	. . 3 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> (S o. T):H~-onto->H~)
7		fvco3 3782	. . . . . . . . 9 |- ((Fun S /\ T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((S o. T)` x) = (S` (T` x)))
8	7	3expa 835	. . . . . . . 8 |- (((Fun S /\ T:H~-->H~) /\ x e. H~) -> ((S o. T)` x) = (S` (T` x)))
9		f1ofun 3697	. . . . . . . . . 10 |- (S:H~-1-1-onto->H~ -> Fun S)
10	2, 9	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (S e. UniOp -> Fun S)
11		f1of 3695	. . . . . . . . . 10 |- (T:H~-1-1-onto->H~ -> T:H~-->H~)
12	3, 11	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (T e. UniOp -> T:H~-->H~)
13	10, 12	anim12i 333	. . . . . . . 8 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> (Fun S /\ T:H~-->H~))
14		pm3.26 319	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> x e. H~)
15	8, 13, 14	syl2an 456	. . . . . . 7 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((S o. T)` x) = (S` (T` x)))
16		fvco3 3782	. . . . . . . . 9 |- ((Fun S /\ T:H~-->H~ /\ y e. H~) -> ((S o. T)` y) = (S` (T` y)))
17	16	3expa 835	. . . . . . . 8 |- (((Fun S /\ T:H~-->H~) /\ y e. H~) -> ((S o. T)` y) = (S` (T` y)))
18		pm3.27 323	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> y e. H~)
19	17, 13, 18	syl2an 456	. . . . . . 7 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((S o. T)` y) = (S` (T` y)))
20	15, 19	opreq12d 3984	. . . . . 6 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = ((S` (T` x)) .ih (S` (T` y))))
21		unopt 9834	. . . . . . . . 9 |- ((S e. UniOp /\ (T` x) e. H~ /\ (T` y) e. H~) -> ((S` (T` x)) .ih (S` (T` y))) = ((T` x) .ih (T` y)))
22	21	3expb 836	. . . . . . . 8 |- ((S e. UniOp /\ ((T` x) e. H~ /\ (T` y) e. H~)) -> ((S` (T` x)) .ih (S` (T` y))) = ((T` x) .ih (T` y)))
23		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
24		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ y e. H~) -> (T` y) e. H~)
25	23, 24	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ x e. H~) /\ (T:H~-->H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) e. H~ /\ (T` y) e. H~))
26	25	anandis 514	. . . . . . . . 9 |- ((T:H~-->H~ /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) e. H~ /\ (T` y) e. H~))
27	26, 12	sylan 450	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) e. H~ /\ (T` y) e. H~))
28	22, 27	sylan2 453	. . . . . . 7 |- ((S e. UniOp /\ (T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~))) -> ((S` (T` x)) .ih (S` (T` y))) = ((T` x) .ih (T` y)))
29	28	anassrs 443	. . . . . 6 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((S` (T` x)) .ih (S` (T` y))) = ((T` x) .ih (T` y)))
30		unopt 9834	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y))
31	30	3expb 836	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y))
32	31	adantll 394	. . . . . 6 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y))
33	20, 29, 32	3eqtrd 1514	. . . . 5 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = (x .ih y))
34	33	ex 373	. . . 4 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = (x .ih y)))
35	34	r19.21aivv 1723	. . 3 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> A.x e. H~ A.y e. H~ (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = (x .ih y))
36	6, 35	jca 288	. 2 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> ((S o. T):H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = (x .ih y)))
37		elunopt 9794	. 2 |- ((S o. T) e. UniOp <-> ((S o. T):H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = (x .ih y)))
38	36, 37	sylibr 200	1 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> (S o. T) e. UniOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   o. ccom 3180  Fun wfun 3182  -->wf 3184  -onto->wfo 3186  -1-1-onto->wf1o 3187  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  H~chil 8783   .ih csp 8788  UniOpcuo 8813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-hvsub 8835  df-unop 9764

Copyright terms: Public domain