HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cp 6445
Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 6439 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff can be thought of as . Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72.
Assertion
Ref Expression
cp
Distinct variable groups:   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 2330 . . 3
21cplem2 6444 . 2
3 abn0 2925 . . . . 5
4 elin 2819 . . . . . . . 8
5 abid 1907 . . . . . . . . 9
65anbi1i 672 . . . . . . . 8
7 ancom 430 . . . . . . . 8
84, 6, 73bitri 260 . . . . . . 7
98exbii 1369 . . . . . 6
10 hbab1 1908 . . . . . . . 8
11 ax-17 1430 . . . . . . . 8
1210, 11hbin 2833 . . . . . . 7
1312n0f 2915 . . . . . 6
14 df-rex 2132 . . . . . 6
159, 13, 143bitr4i 266 . . . . 5
163, 15imbi12i 314 . . . 4
1716ralbii 2149 . . 3
1817exbii 1369 . 2
192, 18mpbi 197 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 357  wex 1335   wcel 1416  cab 1905   wne 2035  wral 2127  wrex 2128   cin 2636  c0 2907
This theorem is referenced by:  bnd 6446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-ext 1900  ax-rep 3481  ax-sep 3491  ax-nul 3500  ax-pow 3536  ax-pr 3560  ax-un 3836  ax-reg 6254  ax-inf2 6289
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-ral 2131  df-rex 2132  df-rab 2134  df-v 2329  df-sbc 2496  df-csb 2578  df-dif 2640  df-un 2642  df-in 2644  df-ss 2648  df-pss 2650  df-nul 2908  df-if 3015  df-pw 3075  df-sn 3092  df-pr 3093  df-tp 3094  df-op 3095  df-uni 3247  df-int 3281  df-iun 3320  df-iin 3321  df-br 3397  df-opab 3450  df-tr 3465  df-eprel 3646  df-id 3650  df-po 3655  df-so 3669  df-fr 3689  df-we 3705  df-ord 3721  df-on 3722  df-lim 3723  df-suc 3724  df-om 4001  df-xp 4048  df-rel 4049  df-cnv 4050  df-co 4051  df-dm 4052  df-rn 4053  df-res 4054  df-ima 4055  df-fun 4056  df-fn 4057  df-f 4058  df-fv 4062  df-mpt 5196  df-rdg 5535  df-r1 6332  df-rank 6333
Copyright terms: Public domain