HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cp 6814
Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 6808 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff can be thought of as . Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72.
Assertion
Ref Expression
cp
Distinct variable groups:   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 2443 . . 3
21cplem2 6813 . 2
3 abn0 3043 . . . . 5
4 elin 2933 . . . . . . . 8
5 abid 2019 . . . . . . . . 9
65anbi1i 672 . . . . . . . 8
7 ancom 430 . . . . . . . 8
84, 6, 73bitri 260 . . . . . . 7
98exbii 1481 . . . . . 6
10 hbab1 2020 . . . . . . . 8
11 ax-17 1542 . . . . . . . 8
1210, 11hbin 2949 . . . . . . 7
1312n0f 3033 . . . . . 6
14 df-rex 2244 . . . . . 6
159, 13, 143bitr4i 266 . . . . 5
163, 15imbi12i 314 . . . 4
1716ralbii 2261 . . 3
1817exbii 1481 . 2
192, 18mpbi 197 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 357  wex 1447   wcel 1528  cab 2017   wne 2147  wral 2239  wrex 2240   cin 2749  c0 3025
This theorem is referenced by:  bnd 6815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1443  ax-6 1444  ax-7 1445  ax-gen 1446  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-12 1533  ax-13 1534  ax-14 1535  ax-17 1542  ax-9 1557  ax-4 1563  ax-16 1741  ax-ext 2012  ax-rep 3616  ax-sep 3626  ax-nul 3635  ax-pow 3671  ax-pr 3695  ax-un 3973  ax-reg 6572  ax-inf2 6607
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-ex 1448  df-sb 1703  df-eu 1930  df-mo 1931  df-clab 2018  df-cleq 2023  df-clel 2026  df-ne 2149  df-ral 2243  df-rex 2244  df-rab 2246  df-v 2442  df-sbc 2609  df-csb 2691  df-dif 2753  df-un 2755  df-in 2757  df-ss 2761  df-pss 2763  df-nul 3026  df-if 3135  df-pw 3196  df-sn 3214  df-pr 3215  df-tp 3216  df-op 3217  df-uni 3375  df-int 3409  df-iun 3451  df-iin 3452  df-br 3532  df-opab 3585  df-tr 3600  df-eprel 3783  df-id 3787  df-po 3792  df-so 3806  df-fr 3826  df-we 3842  df-ord 3858  df-on 3859  df-lim 3860  df-suc 3861  df-om 4139  df-xp 4186  df-rel 4187  df-cnv 4188  df-co 4189  df-dm 4190  df-rn 4191  df-res 4192  df-ima 4193  df-fun 4194  df-fn 4195  df-f 4196  df-fv 4200  df-mpt 5371  df-recs 5722  df-rdg 5750  df-r1 6701  df-rank 6702
Copyright terms: Public domain