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Theorem cp 7419
Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 7413 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff  ph can be thought of as  ph ( x ,  y ). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cp  |-  E. w A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  E. y  e.  w  ph )
Distinct variable groups:    ph, z, w   
x, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 2715 . . 3  |-  z  e. 
_V
21cplem2 7418 . 2  |-  E. w A. x  e.  z 
( { y  | 
ph }  =/=  (/)  ->  ( { y  |  ph }  i^i  w )  =/=  (/) )
3 abn0 3360 . . . . 5  |-  ( { y  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. y ph )
4 elin 3246 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( { y  |  ph }  i^i  w )  <->  ( y  e.  { y  |  ph }  /\  y  e.  w
) )
5 abid 2229 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { y  | 
ph }  <->  ph )
65anbi1i 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { y  |  ph }  /\  y  e.  w )  <->  (
ph  /\  y  e.  w ) )
7 ancom 433 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  w )  <->  ( y  e.  w  /\  ph )
)
84, 6, 73bitri 261 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( { y  |  ph }  i^i  w )  <->  ( y  e.  w  /\  ph )
)
98exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. y  y  e.  ( { y  |  ph }  i^i  w )  <->  E. y
( y  e.  w  /\  ph ) )
10 nfab1 2375 . . . . . . . 8  |-  F/_ y { y  |  ph }
11 nfcv 2373 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
w
1210, 11nfin 3262 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( { y  | 
ph }  i^i  w
)
1312n0f 3350 . . . . . 6  |-  ( ( { y  |  ph }  i^i  w )  =/=  (/) 
<->  E. y  y  e.  ( { y  | 
ph }  i^i  w
) )
14 df-rex 2500 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  w  ph  <->  E. y ( y  e.  w  /\  ph )
)
159, 13, 143bitr4i 267 . . . . 5  |-  ( ( { y  |  ph }  i^i  w )  =/=  (/) 
<->  E. y  e.  w  ph )
163, 15imbi12i 315 . . . 4  |-  ( ( { y  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( {
y  |  ph }  i^i  w )  =/=  (/) )  <->  ( E. y ph  ->  E. y  e.  w  ph ) )
1716ralbii 2517 . . 3  |-  ( A. x  e.  z  ( { y  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( {
y  |  ph }  i^i  w )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  E. y  e.  w  ph ) )
1817exbii 1569 . 2  |-  ( E. w A. x  e.  z  ( { y  |  ph }  =/=  (/) 
->  ( { y  | 
ph }  i^i  w
)  =/=  (/) )  <->  E. w A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  E. y  e.  w  ph ) )
192, 18mpbi 198 1  |-  E. w A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  E. y  e.  w  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 5    /\ wa 357   E.wex 1526    e. wcel 1610   {cab 2227    =/= wne 2400   A.wral 2495   E.wrex 2496    i^i cin 3057   (/)c0 3342
This theorem is referenced by:  bnd  7420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-mp 9  ax-5 1522  ax-6 1523  ax-7 1524  ax-gen 1525  ax-8 1612  ax-11 1613  ax-13 1614  ax-14 1615  ax-17 1617  ax-12o 1653  ax-10 1667  ax-9 1673  ax-4 1681  ax-16 1915  ax-ext 2222  ax-rep 4007  ax-sep 4017  ax-nul 4025  ax-pow 4061  ax-pr 4087  ax-un 4382  ax-reg 7164  ax-inf2 7200
This theorem depends on definitions:  df-bi 176  df-or 358  df-an 359  df-3or 934  df-3an 935  df-tru 1309  df-ex 1527  df-nf 1529  df-sb 1872  df-eu 2106  df-mo 2107  df-clab 2228  df-cleq 2234  df-clel 2237  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2499  df-rex 2500  df-reu 2501  df-rab 2502  df-v 2714  df-sbc 2907  df-csb 2990  df-dif 3061  df-un 3063  df-in 3065  df-ss 3069  df-pss 3071  df-nul 3343  df-if 3451  df-pw 3512  df-sn 3530  df-pr 3531  df-tp 3532  df-op 3533  df-uni 3708  df-int 3741  df-iun 3785  df-iin 3786  df-br 3901  df-opab 3955  df-mpt 3956  df-tr 3990  df-eprel 4177  df-id 4181  df-po 4186  df-so 4187  df-fr 4224  df-we 4226  df-ord 4267  df-on 4268  df-lim 4269  df-suc 4270  df-om 4527  df-xp 4573  df-rel 4574  df-cnv 4575  df-co 4576  df-dm 4577  df-rn 4578  df-res 4579  df-ima 4580  df-fun 4581  df-fn 4582  df-f 4583  df-f1 4584  df-fo 4585  df-f1o 4586  df-fv 4587  df-recs 6248  df-rdg 6283  df-r1 7294  df-rank 7295
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