HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem cp 6371
Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 6365 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff can be thought of as . Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72.
Assertion
Ref Expression
cp
Distinct variable groups:   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 2327 . . 3
21cplem2 6370 . 2
3 abn0 2920 . . . . 5
4 elin 2814 . . . . . . . 8
5 abid 1907 . . . . . . . . 9
65anbi1i 672 . . . . . . . 8
7 ancom 430 . . . . . . . 8
84, 6, 73bitri 260 . . . . . . 7
98exbii 1369 . . . . . 6
10 hbab1 1908 . . . . . . . 8
11 ax-17 1430 . . . . . . . 8
1210, 11hbin 2828 . . . . . . 7
1312n0f 2910 . . . . . 6
14 df-rex 2132 . . . . . 6
159, 13, 143bitr4i 266 . . . . 5
163, 15imbi12i 314 . . . 4
1716ralbii 2149 . . 3
1817exbii 1369 . 2
192, 18mpbi 197 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 357  wex 1335   wcel 1416  cab 1905   wne 2035  wral 2127  wrex 2128   cin 2633  c0 2902
This theorem is referenced by:  bnd 6372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-ext 1900  ax-rep 3456  ax-sep 3466  ax-nul 3475  ax-pow 3511  ax-pr 3535  ax-un 3809  ax-reg 6182  ax-inf2 6217
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-ral 2131  df-rex 2132  df-rab 2134  df-v 2326  df-sbc 2493  df-csb 2575  df-dif 2637  df-un 2639  df-in 2641  df-ss 2645  df-pss 2647  df-nul 2903  df-if 3009  df-pw 3068  df-sn 3085  df-pr 3086  df-tp 3087  df-op 3088  df-uni 3224  df-int 3258  df-iun 3297  df-iin 3298  df-br 3371  df-opab 3425  df-tr 3440  df-eprel 3620  df-id 3623  df-po 3628  df-so 3642  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3974  df-xp 4021  df-rel 4022  df-cnv 4023  df-co 4024  df-dm 4025  df-rn 4026  df-res 4027  df-ima 4028  df-fun 4029  df-fn 4030  df-f 4031  df-fv 4035  df-mpt 5142  df-rdg 5468  df-r1 6258  df-rank 6259
Copyright terms: Public domain