MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphip0l Unicode version

Theorem cphip0l 19147
Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. Complex version of ip0l 16850. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphip0l.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
cphip0l  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  0 )

Proof of Theorem cphip0l
StepHypRef Expression
1 cphphl 19117 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2430 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
4 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2430 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
6 cphip0l.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
72, 3, 4, 5, 6ip0l 16850 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
81, 7sylan 458 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
9 cphclm 19135 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
102clm0 19080 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1211adantr 452 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
138, 12eqtr4d 2465 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   0cc0 8974   Basecbs 13452  Scalarcsca 13515   .icip 13517   0gc0g 13706   PreHilcphl 16838  CModcclm 19070   CPreHilccph 19112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-addf 9053  ax-mulf 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-tpos 6465  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-fz 11028  df-seq 11307  df-exp 11366  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-starv 13527  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ds 13534  df-unif 13535  df-0g 13710  df-mnd 14673  df-grp 14795  df-subg 14924  df-ghm 14987  df-cmn 15397  df-mgp 15632  df-rng 15646  df-cring 15647  df-ur 15648  df-oppr 15711  df-dvdsr 15729  df-unit 15730  df-drng 15820  df-subrg 15849  df-lmod 15935  df-lmhm 16081  df-lvec 16158  df-sra 16227  df-rgmod 16228  df-cnfld 16687  df-phl 16840  df-nlm 18617  df-clm 19071  df-cph 19114
  Copyright terms: Public domain W3C validator