MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphipeq0 Unicode version

Theorem cphipeq0 18854
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. Complex version of ipeq0 16759. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphip0l.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
cphipeq0  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  A  =  .0.  ) )

Proof of Theorem cphipeq0
StepHypRef Expression
1 cphclm 18840 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
2 eqid 2366 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
32clm0 18785 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
41, 3syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
54adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
65eqeq2d 2377 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  ( A  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
7 cphphl 18822 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
8 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
9 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 eqid 2366 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
11 cphip0l.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
122, 8, 9, 10, 11ipeq0 16759 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
137, 12sylan 457 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
146, 13bitrd 244 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  A  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   0cc0 8884   Basecbs 13356  Scalarcsca 13419   .icip 13421   0gc0g 13610   PreHilcphl 16745  CModcclm 18775   CPreHilccph 18817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-seq 11211  df-exp 11270  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cmn 15301  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-drng 15724  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-lmhm 15989  df-lvec 16066  df-sra 16135  df-rgmod 16136  df-cnfld 16594  df-phl 16747  df-nlm 18322  df-clm 18776  df-cph 18819
  Copyright terms: Public domain W3C validator