MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphipeq0 Unicode version

Theorem cphipeq0 18641
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. Complex version of ipeq0 16544. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphip0l.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
cphipeq0  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  A  =  .0.  ) )

Proof of Theorem cphipeq0
StepHypRef Expression
1 cphclm 18627 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
2 eqid 2285 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
32clm0 18572 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
41, 3syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
54adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
65eqeq2d 2296 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  ( A  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
7 cphphl 18609 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
8 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
9 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 eqid 2285 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
11 cphip0l.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
122, 8, 9, 10, 11ipeq0 16544 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
137, 12sylan 457 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
146, 13bitrd 244 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  A  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   0cc0 8739   Basecbs 13150  Scalarcsca 13213   .icip 13215   0gc0g 13402   PreHilcphl 16530  CModcclm 18562   CPreHilccph 18604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-fz 10785  df-seq 11049  df-exp 11107  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-grp 14491  df-subg 14620  df-ghm 14683  df-cmn 15093  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-drng 15516  df-subrg 15545  df-lmod 15631  df-lmhm 15781  df-lvec 15858  df-sra 15927  df-rgmod 15928  df-cnfld 16380  df-phl 16532  df-nlm 18111  df-clm 18563  df-cph 18606
  Copyright terms: Public domain W3C validator