MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphipeq0 Unicode version

Theorem cphipeq0 18602
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. Complex version of ipeq0 16505. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphip0l.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
cphipeq0  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  A  =  .0.  ) )

Proof of Theorem cphipeq0
StepHypRef Expression
1 cphclm 18588 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
2 eqid 2258 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
32clm0 18533 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
41, 3syl 17 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
54adantr 453 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
65eqeq2d 2269 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  ( A  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
7 cphphl 18570 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
8 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
9 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 eqid 2258 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
11 cphip0l.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
122, 8, 9, 10, 11ipeq0 16505 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
137, 12sylan 459 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
146, 13bitrd 246 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  A  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   0cc0 8705   Basecbs 13111  Scalarcsca 13174   .icip 13176   0gc0g 13363   PreHilcphl 16491  CModcclm 18523   CPreHilccph 18565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9934  df-z 9993  df-dec 10093  df-uz 10199  df-fz 10750  df-seq 11014  df-exp 11072  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-starv 13186  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-tset 13190  df-ple 13191  df-ds 13193  df-0g 13367  df-mnd 14330  df-grp 14452  df-subg 14581  df-ghm 14644  df-cmn 15054  df-mgp 15289  df-ring 15303  df-cring 15304  df-ur 15305  df-oppr 15368  df-dvdsr 15386  df-unit 15387  df-drng 15477  df-subrg 15506  df-lmod 15592  df-lmhm 15742  df-lvec 15819  df-sra 15888  df-rgmod 15889  df-cnfld 16341  df-phl 16493  df-nlm 18072  df-clm 18524  df-cph 18567
  Copyright terms: Public domain W3C validator