MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphipeq0 Unicode version

Theorem cphipeq0 18635
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. Complex version of ipeq0 16538. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphip0l.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
cphipeq0  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  A  =  .0.  ) )

Proof of Theorem cphipeq0
StepHypRef Expression
1 cphclm 18621 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
2 eqid 2284 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
32clm0 18566 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
41, 3syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
54adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
65eqeq2d 2295 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  ( A  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
7 cphphl 18603 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
8 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
9 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 eqid 2284 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
11 cphip0l.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
122, 8, 9, 10, 11ipeq0 16538 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
137, 12sylan 457 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
146, 13bitrd 244 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( A  .,  A
)  =  0  <->  A  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   0cc0 8733   Basecbs 13144  Scalarcsca 13207   .icip 13209   0gc0g 13396   PreHilcphl 16524  CModcclm 18556   CPreHilccph 18598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-fz 10779  df-seq 11043  df-exp 11101  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-0g 13400  df-mnd 14363  df-grp 14485  df-subg 14614  df-ghm 14677  df-cmn 15087  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-cring 15337  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-drng 15510  df-subrg 15539  df-lmod 15625  df-lmhm 15775  df-lvec 15852  df-sra 15921  df-rgmod 15922  df-cnfld 16374  df-phl 16526  df-nlm 18105  df-clm 18557  df-cph 18600
  Copyright terms: Public domain W3C validator