Theorem crrecz 6680

Description: Reciprocal of a complex number in terms of real and imaginary components. Remark in [Apostol] p. 361.

Hypotheses

Ref	Expression
crrecz.1	|- A e. RR
crrecz.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
crrecz	|- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> (1 / (A + (i x. B))) = ((A - (i x. B)) / ((A^2) + (B^2))))

Proof of Theorem crrecz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crrecz.1	. . . . . . 7 |- A e. RR
2		crrecz.2	. . . . . . . 8 |- B e. RR
3	2	renegcl 5396	. . . . . . 7 |- -uB e. RR
4	1, 3	crne0 6678	. . . . . 6 |- ((A =/= 0 \/ -uB =/= 0) <-> (A + (i x. -uB)) =/= 0)
5	2	recn 5294	. . . . . . . 8 |- B e. CC
6	5	negne0 5771	. . . . . . 7 |- (B =/= 0 <-> -uB =/= 0)
7	6	orbi2i 255	. . . . . 6 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> (A =/= 0 \/ -uB =/= 0))
8		axicn 5250	. . . . . . . . . 10 |- i e. CC
9	8, 5	mulneg2 5426	. . . . . . . . 9 |- (i x. -uB) = -u(i x. B)
10	9	opreq2i 3963	. . . . . . . 8 |- (A + (i x. -uB)) = (A + -u(i x. B))
11	1	recn 5294	. . . . . . . . 9 |- A e. CC
12	8, 5	mulcl 5301	. . . . . . . . 9 |- (i x. B) e. CC
13	11, 12	negsub 5361	. . . . . . . 8 |- (A + -u(i x. B)) = (A - (i x. B))
14	10, 13	eqtr2 1493	. . . . . . 7 |- (A - (i x. B)) = (A + (i x. -uB))
15	14	neeq1i 1589	. . . . . 6 |- ((A - (i x. B)) =/= 0 <-> (A + (i x. -uB)) =/= 0)
16	4, 7, 15	3bitr4 183	. . . . 5 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> (A - (i x. B)) =/= 0)
17	11, 12	subcl 5346	. . . . . 6 |- (A - (i x. B)) e. CC
18		dividt 5730	. . . . . 6 |- (((A - (i x. B)) e. CC /\ (A - (i x. B)) =/= 0) -> ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B))) = 1)
19	17, 18	mpan 694	. . . . 5 |- ((A - (i x. B)) =/= 0 -> ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B))) = 1)
20	16, 19	sylbi 199	. . . 4 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B))) = 1)
21	20	opreq2d 3967	. . 3 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((1 / (A + (i x. B))) x. ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B)))) = ((1 / (A + (i x. B))) x. 1))
22		ax1cn 5249	. . . . . 6 |- 1 e. CC
23	11, 12	addcl 5300	. . . . . 6 |- (A + (i x. B)) e. CC
24	22, 23	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (1 e. CC /\ (A + (i x. B)) e. CC)
25	17, 17	pm3.2i 285	. . . . 5 |- ((A - (i x. B)) e. CC /\ (A - (i x. B)) e. CC)
26		divmuldivt 5744	. . . . 5 |- ((((1 e. CC /\ (A + (i x. B)) e. CC) /\ ((A - (i x. B)) e. CC /\ (A - (i x. B)) e. CC)) /\ ((A + (i x. B)) =/= 0 /\ (A - (i x. B)) =/= 0)) -> ((1 / (A + (i x. B))) x. ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B)))) = ((1 x. (A - (i x. B))) / ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B)))))
27	24, 25, 26	mpanl12 707	. . . 4 |- (((A + (i x. B)) =/= 0 /\ (A - (i x. B)) =/= 0) -> ((1 / (A + (i x. B))) x. ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B)))) = ((1 x. (A - (i x. B))) / ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B)))))
28	1, 2	crne0 6678	. . . 4 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> (A + (i x. B)) =/= 0)
29	27, 28, 16	sylancb 473	. . 3 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((1 / (A + (i x. B))) x. ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B)))) = ((1 x. (A - (i x. B))) / ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B)))))
30	23	recclz 5691	. . . . 5 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 -> (1 / (A + (i x. B))) e. CC)
31	28, 30	sylbi 199	. . . 4 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> (1 / (A + (i x. B))) e. CC)
32		ax1id 5262	. . . 4 |- ((1 / (A + (i x. B))) e. CC -> ((1 / (A + (i x. B))) x. 1) = (1 / (A + (i x. B))))
33	31, 32	syl 10	. . 3 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((1 / (A + (i x. B))) x. 1) = (1 / (A + (i x. B))))
34	21, 29, 33	3eqtr3rd 1513	. 2 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> (1 / (A + (i x. B))) = ((1 x. (A - (i x. B))) / ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B)))))
35	17	mulid2 5313	. . 3 |- (1 x. (A - (i x. B))) = (A - (i x. B))
36	11, 12	binom2aOLD 6584	. . . 4 |- ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B))) = ((A^2) - ((i x. B)^2))
37	11	sqcl 6553	. . . . 5 |- (A^2) e. CC
38	12	sqcl 6553	. . . . 5 |- ((i x. B)^2) e. CC
39	37, 38	negsub 5361	. . . 4 |- ((A^2) + -u((i x. B)^2)) = ((A^2) - ((i x. B)^2))
40	8, 5	sqmul 6555	. . . . . . . 8 |- ((i x. B)^2) = ((i^2) x. (B^2))
41		i2 6670	. . . . . . . . 9 |- (i^2) = -u1
42	41	opreq1i 3962	. . . . . . . 8 |- ((i^2) x. (B^2)) = (-u1 x. (B^2))
43	5	sqcl 6553	. . . . . . . . 9 |- (B^2) e. CC
44	22, 43	mulneg1 5425	. . . . . . . 8 |- (-u1 x. (B^2)) = -u(1 x. (B^2))
45	40, 42, 44	3eqtr 1496	. . . . . . 7 |- ((i x. B)^2) = -u(1 x. (B^2))
46	45	negeqi 5340	. . . . . 6 |- -u((i x. B)^2) = -u-u(1 x. (B^2))
47	22, 43	mulcl 5301	. . . . . . 7 |- (1 x. (B^2)) e. CC
48	47	negneg 5370	. . . . . 6 |- -u-u(1 x. (B^2)) = (1 x. (B^2))
49	43	mulid2 5313	. . . . . 6 |- (1 x. (B^2)) = (B^2)
50	46, 48, 49	3eqtr 1496	. . . . 5 |- -u((i x. B)^2) = (B^2)
51	50	opreq2i 3963	. . . 4 |- ((A^2) + -u((i x. B)^2)) = ((A^2) + (B^2))
52	36, 39, 51	3eqtr2 1498	. . 3 |- ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B))) = ((A^2) + (B^2))
53	35, 52	opreq12i 3964	. 2 |- ((1 x. (A - (i x. B))) / ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B)))) = ((A - (i x. B)) / ((A^2) + (B^2)))
54	34, 53	syl6eq 1520	1 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> (1 / (A + (i x. B))) = ((A - (i x. B)) / ((A^2) + (B^2))))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215  ici 5216   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272  -ucneg 5273   / cdiv 5274  2c2 5916  ^cexp 6508

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509

Copyright terms: Public domain