Theorem crret 6717

Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132.

Assertion

Ref	Expression
crret	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (Re` (A + (i x. B))) = A)

Proof of Theorem crret

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axaddcl 5254	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (i x. B) e. CC) -> (A + (i x. B)) e. CC)
2		recnt 5296	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
3		recnt 5296	. . . . . . 7 |- (B e. RR -> B e. CC)
4		axicn 5253	. . . . . . . 8 |- i e. CC
5		axmulcl 5256	. . . . . . . 8 |- ((i e. CC /\ B e. CC) -> (i x. B) e. CC)
6	4, 5	mpan 694	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> (i x. B) e. CC)
7	3, 6	syl 10	. . . . . 6 |- (B e. RR -> (i x. B) e. CC)
8	1, 2, 7	syl2an 454	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + (i x. B)) e. CC)
9		replimt 6707	. . . . 5 |- ((A + (i x. B)) e. CC -> (A + (i x. B)) = ((Re` (A + (i x. B))) + (i x. (Im` (A + (i x. B))))))
10	8, 9	syl 10	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + (i x. B)) = ((Re` (A + (i x. B))) + (i x. (Im` (A + (i x. B))))))
11	10	eqcomd 1478	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((Re` (A + (i x. B))) + (i x. (Im` (A + (i x. B))))) = (A + (i x. B)))
12		reclt 6703	. . . . . 6 |- ((A + (i x. B)) e. CC -> (Re` (A + (i x. B))) e. RR)
13	8, 12	syl 10	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (Re` (A + (i x. B))) e. RR)
14		imclt 6704	. . . . . 6 |- ((A + (i x. B)) e. CC -> (Im` (A + (i x. B))) e. RR)
15	8, 14	syl 10	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (Im` (A + (i x. B))) e. RR)
16	13, 15	jca 288	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((Re` (A + (i x. B))) e. RR /\ (Im` (A + (i x. B))) e. RR))
17		crut 6683	. . . 4 |- ((((Re` (A + (i x. B))) e. RR /\ (Im` (A + (i x. B))) e. RR) /\ (A e. RR /\ B e. RR)) -> (((Re` (A + (i x. B))) + (i x. (Im` (A + (i x. B))))) = (A + (i x. B)) <-> ((Re` (A + (i x. B))) = A /\ (Im` (A + (i x. B))) = B)))
18	16, 17	mpancom 704	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (((Re` (A + (i x. B))) + (i x. (Im` (A + (i x. B))))) = (A + (i x. B)) <-> ((Re` (A + (i x. B))) = A /\ (Im` (A + (i x. B))) = B)))
19	11, 18	mpbid 195	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((Re` (A + (i x. B))) = A /\ (Im` (A + (i x. B))) = B))
20	19	pm3.26d 321	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (Re` (A + (i x. B))) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  ici 5219   + caddc 5220   x. cmul 5222  Recre 6693  Imcim 6694

This theorem is referenced by:  crre 6721  absreimsqt 6806  recos4pt 7396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-re 6697  df-im 6698

Copyright terms: Public domain