Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cru Unicode version

Theorem cru 9706
 Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cru

Proof of Theorem cru
StepHypRef Expression
1 simplrl 739 . . . . . . 7
21recnd 8829 . . . . . 6
3 simplll 737 . . . . . . 7
43recnd 8829 . . . . . 6
5 simpr 449 . . . . . . . 8
6 ax-icn 8764 . . . . . . . . . . 11
76a1i 12 . . . . . . . . . 10
8 simpllr 738 . . . . . . . . . . 11
98recnd 8829 . . . . . . . . . 10
107, 9mulcld 8823 . . . . . . . . 9
11 simplrr 740 . . . . . . . . . . 11
1211recnd 8829 . . . . . . . . . 10
137, 12mulcld 8823 . . . . . . . . 9
144, 10, 2, 13addsubeq4d 9176 . . . . . . . 8
155, 14mpbid 203 . . . . . . 7
168, 11resubcld 9179 . . . . . . . . . . 11
177, 9, 12subdid 9203 . . . . . . . . . . . . 13
1817, 15eqtr4d 2293 . . . . . . . . . . . 12
191, 3resubcld 9179 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19eqeltrd 2332 . . . . . . . . . . 11
21 rimul 9705 . . . . . . . . . . 11
2216, 20, 21syl2anc 645 . . . . . . . . . 10
239, 12, 22subeq0d 9133 . . . . . . . . 9
2423oveq2d 5808 . . . . . . . 8
2524oveq1d 5807 . . . . . . 7
2613subidd 9113 . . . . . . 7
2715, 25, 263eqtrd 2294 . . . . . 6
282, 4, 27subeq0d 9133 . . . . 5
2928eqcomd 2263 . . . 4
3029, 23jca 520 . . 3
3130ex 425 . 2
32 oveq2 5800 . . 3
33 oveq12 5801 . . 3
3432, 33sylan2 462 . 2
3531, 34impbid1 196 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  (class class class)co 5792  cc 8703  cr 8704  cc0 8705  ci 8707   caddc 8708   cmul 8710   cmin 9005 This theorem is referenced by:  crne0  9707  creur  9708  creui  9709  cnref1o  10317  efieq  12406 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392
 Copyright terms: Public domain W3C validator