Theorem crui 6938

Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130.

Hypotheses

Ref	Expression
cru.1	|- A e. RR
cru.2	|- B e. RR
cru.3	|- C e. RR
cru.4	|- D e. RR

Assertion

Ref	Expression
crui	|- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) <-> (A = C /\ B = D))

Proof of Theorem crui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cru.1	. . . . 5 |- A e. RR
2		cru.2	. . . . 5 |- B e. RR
3		cru.3	. . . . 5 |- C e. RR
4		cru.4	. . . . 5 |- D e. RR
5	1, 2, 3, 4	crulem 6937	. . . 4 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> B = D)
6		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (B = D -> (i x. B) = (i x. D))
7	6	opreq2d 4034	. . . . . 6 |- (B = D -> (C + (i x. B)) = (C + (i x. D)))
8	7	eqeq2d 1529	. . . . 5 |- (B = D -> ((A + (i x. B)) = (C + (i x. B)) <-> (A + (i x. B)) = (C + (i x. D))))
9	1	recni 5468	. . . . . . . 8 |- A e. CC
10		axicn 5424	. . . . . . . . 9 |- i e. CC
11	2	recni 5468	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
12	10, 11	mulcli 5475	. . . . . . . 8 |- (i x. B) e. CC
13	9, 12	addcomi 5476	. . . . . . 7 |- (A + (i x. B)) = ((i x. B) + A)
14	3	recni 5468	. . . . . . . 8 |- C e. CC
15	14, 12	addcomi 5476	. . . . . . 7 |- (C + (i x. B)) = ((i x. B) + C)
16	13, 15	eqeq12i 1531	. . . . . 6 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. B)) <-> ((i x. B) + A) = ((i x. B) + C))
17	12, 9, 14	addcani 5505	. . . . . . 7 |- (((i x. B) + A) = ((i x. B) + C) <-> A = C)
18	17	biimpi 149	. . . . . 6 |- (((i x. B) + A) = ((i x. B) + C) -> A = C)
19	16, 18	sylbi 197	. . . . 5 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. B)) -> A = C)
20	8, 19	syl6bir 213	. . . 4 |- (B = D -> ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> A = C))
21	5, 20	mpcom 49	. . 3 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> A = C)
22	21, 5	jca 286	. 2 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> (A = C /\ B = D))
23		id 59	. . 3 |- (A = C -> A = C)
24	23, 6	opreqan12d 4037	. 2 |- ((A = C /\ B = D) -> (A + (i x. B)) = (C + (i x. D)))
25	22, 24	impbii 155	1 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) <-> (A = C /\ B = D))

Syntax hints:   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  (class class class)co 4021  RRcr 5387  ici 5390   + caddc 5391   x. cmul 5393

This theorem is referenced by:  cru 6939  crne0i 6940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855

Copyright terms: Public domain