Theorem crulem 6674

Description: Lemma for cru 6675.

Hypotheses

Ref	Expression
cru.1	|- A e. RR
cru.2	|- B e. RR
cru.3	|- C e. RR
cru.4	|- D e. RR

Assertion

Ref	Expression
crulem	|- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> B = D)

Proof of Theorem crulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inelr 6673	. . 3 |- -. i e. RR
2		cru.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C e. RR
3		cru.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A e. RR
4	3	renegcl 5396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -uA e. RR
5	2, 4	readdcl 5314	. . . . . . . . . . . . 13 |- (C + -uA) e. RR
6	5	recn 5294	. . . . . . . . . . . 12 |- (C + -uA) e. CC
7		cru.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B e. RR
8		cru.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D e. RR
9	7, 8	resubcl 5419	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B - D) e. RR
10	9	recn 5294	. . . . . . . . . . . 12 |- (B - D) e. CC
11		axicn 5250	. . . . . . . . . . . 12 |- i e. CC
12	6, 10, 11	divmulz 5683	. . . . . . . . . . 11 |- ((B - D) =/= 0 -> (((C + -uA) / (B - D)) = i <-> ((B - D) x. i) = (C + -uA)))
13	10, 11	mulcom 5303	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B - D) x. i) = (i x. (B - D))
14	13	eqeq1i 1479	. . . . . . . . . . 11 |- (((B - D) x. i) = (C + -uA) <-> (i x. (B - D)) = (C + -uA))
15	12, 14	syl6bb 535	. . . . . . . . . 10 |- ((B - D) =/= 0 -> (((C + -uA) / (B - D)) = i <-> (i x. (B - D)) = (C + -uA)))
16		opreq1 3959	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> ((A + (i x. B)) + (-uA + -u(i x. D))) = ((C + (i x. D)) + (-uA + -u(i x. D))))
17	3	recn 5294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A e. CC
18	7	recn 5294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B e. CC
19	11, 18	mulcl 5301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (i x. B) e. CC
20	4	recn 5294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -uA e. CC
21	8	recn 5294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D e. CC
22	11, 21	mulcl 5301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (i x. D) e. CC
23	22	negcl 5349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u(i x. D) e. CC
24	17, 19, 20, 23	add4 5322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A + (i x. B)) + (-uA + -u(i x. D))) = ((A + -uA) + ((i x. B) + -u(i x. D)))
25	17	negid 5360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A + -uA) = 0
26	25	opreq1i 3962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A + -uA) + ((i x. B) + -u(i x. D))) = (0 + ((i x. B) + -u(i x. D)))
27	19, 23	addcl 5300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((i x. B) + -u(i x. D)) e. CC
28	27	addid2 5311	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0 + ((i x. B) + -u(i x. D))) = ((i x. B) + -u(i x. D))
29	24, 26, 28	3eqtr 1496	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A + (i x. B)) + (-uA + -u(i x. D))) = ((i x. B) + -u(i x. D))
30	2	recn 5294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C e. CC
31	30, 22, 20, 23	add4 5322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C + (i x. D)) + (-uA + -u(i x. D))) = ((C + -uA) + ((i x. D) + -u(i x. D)))
32	22	negid 5360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((i x. D) + -u(i x. D)) = 0
33	32	opreq2i 3963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C + -uA) + ((i x. D) + -u(i x. D))) = ((C + -uA) + 0)
34	6	addid1 5310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C + -uA) + 0) = (C + -uA)
35	31, 33, 34	3eqtr 1496	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C + (i x. D)) + (-uA + -u(i x. D))) = (C + -uA)
36	16, 29, 35	3eqtr3g 1527	. . . . . . . . . . 11 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> ((i x. B) + -u(i x. D)) = (C + -uA))
37	11, 18, 21	subdi 5409	. . . . . . . . . . . 12 |- (i x. (B - D)) = ((i x. B) - (i x. D))
38	19, 22	negsub 5361	. . . . . . . . . . . 12 |- ((i x. B) + -u(i x. D)) = ((i x. B) - (i x. D))
39	37, 38	eqtr4 1495	. . . . . . . . . . 11 |- (i x. (B - D)) = ((i x. B) + -u(i x. D))
40	36, 39	syl5eq 1516	. . . . . . . . . 10 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> (i x. (B - D)) = (C + -uA))
41	15, 40	syl5bir 210	. . . . . . . . 9 |- ((B - D) =/= 0 -> ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> ((C + -uA) / (B - D)) = i))
42	41	imp 350	. . . . . . . 8 |- (((B - D) =/= 0 /\ (A + (i x. B)) = (C + (i x. D))) -> ((C + -uA) / (B - D)) = i)
43	42	eleq1d 1537	. . . . . . 7 |- (((B - D) =/= 0 /\ (A + (i x. B)) = (C + (i x. D))) -> (((C + -uA) / (B - D)) e. RR <-> i e. RR))
44	5, 9	redivclz 5763	. . . . . . 7 |- ((B - D) =/= 0 -> ((C + -uA) / (B - D)) e. RR)
45	43, 44	syl5bi 208	. . . . . 6 |- (((B - D) =/= 0 /\ (A + (i x. B)) = (C + (i x. D))) -> ((B - D) =/= 0 -> i e. RR))
46	45	ex 373	. . . . 5 |- ((B - D) =/= 0 -> ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> ((B - D) =/= 0 -> i e. RR)))
47	46	pm2.43b 67	. . . 4 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> ((B - D) =/= 0 -> i e. RR))
48		df-ne 1584	. . . 4 |- ((B - D) =/= 0 <-> -. (B - D) = 0)
49	47, 48	syl5ibr 207	. . 3 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> (-. (B - D) = 0 -> i e. RR))
50	1, 49	mt3i 113	. 2 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> (B - D) = 0)
51	18, 21	subeq0 5385	. 2 |- ((B - D) = 0 <-> B = D)
52	50, 51	sylib 198	1 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> B = D)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214  ici 5216   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272  -ucneg 5273   / cdiv 5274

This theorem is referenced by:  cru 6675

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680

Copyright terms: Public domain