Theorem csbfv12g 3681

Description: Move class substitution in and out of a function value.

Assertion

Ref	Expression
csbfv12g	|- (A e. C -> [_A / x]_(F` B) = ([_A / x]_F` [_A / x]_B))

Proof of Theorem csbfv12g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1190	. . . 4 |- (A e. C -> A.y A e. C)
2		ax-17 1190	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	hbcsb1g 1995	. . . 4 |- (A e. C -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_F -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_F))
4	2	hbcsb1g 1995	. . . 4 |- (A e. C -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_B -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_B))
5	1, 3, 4	hbfvd 3669	. . 3 |- (A e. C -> (z e. ([_A / y]_[_y / x]_F` [_A / y]_[_y / x]_B) -> A.y z e. ([_A / y]_[_y / x]_F` [_A / y]_[_y / x]_B)))
6		a9e 1112	. . . . . 6 |- E.x x = y
7		visset 1788	. . . . . . . . 9 |- y e. V
8		ax-17 1190	. . . . . . . . 9 |- (z e. y -> A.x z e. y)
9	7, 8	hbcsb1 1996	. . . . . . . 8 |- (z e. [_y / x]_(F` B) -> A.x z e. [_y / x]_(F` B))
10	7, 8	hbcsb1 1996	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_F -> A.x z e. [_y / x]_F)
11	7, 8	hbcsb1 1996	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_B -> A.x z e. [_y / x]_B)
12	10, 11	hbfv 3668	. . . . . . . 8 |- (z e. ([_y / x]_F` [_y / x]_B) -> A.x z e. ([_y / x]_F` [_y / x]_B))
13	9, 12	hbeq 1541	. . . . . . 7 |- ([_y / x]_(F` B) = ([_y / x]_F` [_y / x]_B) -> A.x[_y / x]_(F` B) = ([_y / x]_F` [_y / x]_B))
14		csbeq1a 1977	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> F = [_y / x]_F)
15	14	fveq1d 3665	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (F` B) = ([_y / x]_F` B))
16		csbeq1a 1977	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (F` B) = [_y / x]_(F` B))
17		csbeq1a 1977	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> B = [_y / x]_B)
18	17	fveq2d 3667	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ([_y / x]_F` B) = ([_y / x]_F` [_y / x]_B))
19	15, 16, 18	3eqtr3d 1491	. . . . . . 7 |- (x = y -> [_y / x]_(F` B) = ([_y / x]_F` [_y / x]_B))
20	13, 19	19.23ai 1040	. . . . . 6 |- (E.x x = y -> [_y / x]_(F` B) = ([_y / x]_F` [_y / x]_B))
21	6, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- [_y / x]_(F` B) = ([_y / x]_F` [_y / x]_B)
22	21	a1i 8	. . . 4 |- (y = A -> [_y / x]_(F` B) = ([_y / x]_F` [_y / x]_B))
23		csbeq1a 1977	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_F = [_A / y]_[_y / x]_F)
24	23	fveq1d 3665	. . . 4 |- (y = A -> ([_y / x]_F` [_y / x]_B) = ([_A / y]_[_y / x]_F` [_y / x]_B))
25		csbeq1a 1977	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_B = [_A / y]_[_y / x]_B)
26	25	fveq2d 3667	. . . 4 |- (y = A -> ([_A / y]_[_y / x]_F` [_y / x]_B) = ([_A / y]_[_y / x]_F` [_A / y]_[_y / x]_B))
27	22, 24, 26	3eqtrd 1487	. . 3 |- (y = A -> [_y / x]_(F` B) = ([_A / y]_[_y / x]_F` [_A / y]_[_y / x]_B))
28	5, 27	csbiegf 2002	. 2 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_(F` B) = ([_A / y]_[_y / x]_F` [_A / y]_[_y / x]_B))
29		csbcog 1978	. 2 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_(F` B) = [_A / x]_(F` B))
30		csbcog 1978	. . . 4 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_F = [_A / x]_F)
31	30	fveq1d 3665	. . 3 |- (A e. C -> ([_A / y]_[_y / x]_F` [_A / y]_[_y / x]_B) = ([_A / x]_F` [_A / y]_[_y / x]_B))
32		csbcog 1978	. . . 4 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_B = [_A / x]_B)
33	32	fveq2d 3667	. . 3 |- (A e. C -> ([_A / x]_F` [_A / y]_[_y / x]_B) = ([_A / x]_F` [_A / x]_B))
34	31, 33	eqtrd 1483	. 2 |- (A e. C -> ([_A / y]_[_y / x]_F` [_A / y]_[_y / x]_B) = ([_A / x]_F` [_A / x]_B))
35	28, 29, 34	3eqtr3d 1491	1 |- (A e. C -> [_A / x]_(F` B) = ([_A / x]_F` [_A / x]_B))

Syntax hints:   -> wi 3  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  [_csb 1972  ` cfv 3145

This theorem is referenced by:  csbfv2g 3682  fsumcnlem 7871

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-rex 1626  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-xp 3147  df-cnv 3149  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fv 3161

Copyright terms: Public domain