Theorem csbnegg 5287

Description: Move class substitution in and out of the negative of a number.

Assertion

Ref	Expression
csbnegg	|- (A e. C -> [_A / x]_-uB = -u[_A / x]_B)

Proof of Theorem csbnegg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1190	. . . 4 |- (A e. C -> A.y A e. C)
2		ax-17 1190	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	hbcsb1g 1995	. . . 4 |- (A e. C -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_B -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_B))
4	1, 3	hbnegd 5286	. . 3 |- (A e. C -> (z e. -u[_A / y]_[_y / x]_B -> A.y z e. -u[_A / y]_[_y / x]_B))
5		csbeq1a 1977	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_B = [_A / y]_[_y / x]_B)
6	5	negeqd 5284	. . . 4 |- (y = A -> -u[_y / x]_B = -u[_A / y]_[_y / x]_B)
7		a9e 1112	. . . . 5 |- E.x x = y
8		visset 1788	. . . . . . . 8 |- y e. V
9		ax-17 1190	. . . . . . . 8 |- (z e. y -> A.x z e. y)
10	8, 9	hbcsb1 1996	. . . . . . 7 |- (z e. [_y / x]_-uB -> A.x z e. [_y / x]_-uB)
11	8, 9	hbcsb1 1996	. . . . . . . 8 |- (z e. [_y / x]_B -> A.x z e. [_y / x]_B)
12	11	hbneg 5285	. . . . . . 7 |- (z e. -u[_y / x]_B -> A.x z e. -u[_y / x]_B)
13	10, 12	hbeq 1541	. . . . . 6 |- ([_y / x]_-uB = -u[_y / x]_B -> A.x[_y / x]_-uB = -u[_y / x]_B)
14		csbeq1a 1977	. . . . . . 7 |- (x = y -> -uB = [_y / x]_-uB)
15		csbeq1a 1977	. . . . . . . 8 |- (x = y -> B = [_y / x]_B)
16	15	negeqd 5284	. . . . . . 7 |- (x = y -> -uB = -u[_y / x]_B)
17	14, 16	eqtr3d 1485	. . . . . 6 |- (x = y -> [_y / x]_-uB = -u[_y / x]_B)
18	13, 17	19.23ai 1040	. . . . 5 |- (E.x x = y -> [_y / x]_-uB = -u[_y / x]_B)
19	7, 18	ax-mp 7	. . . 4 |- [_y / x]_-uB = -u[_y / x]_B
20	6, 19	syl5eq 1495	. . 3 |- (y = A -> [_y / x]_-uB = -u[_A / y]_[_y / x]_B)
21	4, 20	csbiegf 2002	. 2 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_-uB = -u[_A / y]_[_y / x]_B)
22		csbcog 1978	. 2 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_-uB = [_A / x]_-uB)
23		csbcog 1978	. . 3 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_B = [_A / x]_B)
24	23	negeqd 5284	. 2 |- (A e. C -> -u[_A / y]_[_y / x]_B = -u[_A / x]_B)
25	21, 22, 24	3eqtr3d 1491	1 |- (A e. C -> [_A / x]_-uB = -u[_A / x]_B)

Syntax hints:   -> wi 3  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  [_csb 1972  -ucneg 5216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-rex 1626  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-xp 3147  df-cnv 3149  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fv 3161  df-opr 3904  df-neg 5281

Copyright terms: Public domain