Theorem csboprg 3925

Description: Move class substitution in and out of an operation.

Assertion

Ref	Expression
csboprg	|- (A e. D -> [_A / x]_(BFC) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))

Proof of Theorem csboprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1190	. . . 4 |- (A e. D -> A.y A e. D)
2		ax-17 1190	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	hbcsb1g 1995	. . . 4 |- (A e. D -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_B -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_B))
4	2	hbcsb1g 1995	. . . 4 |- (A e. D -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_F -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_F))
5	2	hbcsb1g 1995	. . . 4 |- (A e. D -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_C -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_C))
6	1, 3, 4, 5	hboprd 3921	. . 3 |- (A e. D -> (z e. ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) -> A.y z e. ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C)))
7		a9e 1112	. . . . . 6 |- E.x x = y
8		visset 1788	. . . . . . . . 9 |- y e. V
9		ax-17 1190	. . . . . . . . 9 |- (z e. y -> A.x z e. y)
10	8, 9	hbcsb1 1996	. . . . . . . 8 |- (z e. [_y / x]_(BFC) -> A.x z e. [_y / x]_(BFC))
11	8, 9	hbcsb1 1996	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_B -> A.x z e. [_y / x]_B)
12	8, 9	hbcsb1 1996	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_F -> A.x z e. [_y / x]_F)
13	8, 9	hbcsb1 1996	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_C -> A.x z e. [_y / x]_C)
14	11, 12, 13	hbopr 3920	. . . . . . . 8 |- (z e. ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C) -> A.x z e. ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
15	10, 14	hbeq 1541	. . . . . . 7 |- ([_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C) -> A.x[_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
16		csbeq1a 1977	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> B = [_y / x]_B)
17		csbeq1a 1977	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> C = [_y / x]_C)
18	16, 17	opreq12d 3917	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (BFC) = ([_y / x]_BF[_y / x]_C))
19		csbeq1a 1977	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (BFC) = [_y / x]_(BFC))
20		csbeq1a 1977	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> F = [_y / x]_F)
21	20	opreqd 3916	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ([_y / x]_BF[_y / x]_C) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
22	18, 19, 21	3eqtr3d 1491	. . . . . . 7 |- (x = y -> [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
23	15, 22	19.23ai 1040	. . . . . 6 |- (E.x x = y -> [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
24	7, 23	ax-mp 7	. . . . 5 |- [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C)
25	24	a1i 8	. . . 4 |- (y = A -> [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
26		csbeq1a 1977	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_B = [_A / y]_[_y / x]_B)
27		csbeq1a 1977	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_C = [_A / y]_[_y / x]_C)
28	26, 27	opreq12d 3917	. . . 4 |- (y = A -> ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
29		csbeq1a 1977	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_F = [_A / y]_[_y / x]_F)
30	29	opreqd 3916	. . . 4 |- (y = A -> ([_A / y]_[_y / x]_B[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
31	25, 28, 30	3eqtrd 1487	. . 3 |- (y = A -> [_y / x]_(BFC) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
32	6, 31	csbiegf 2002	. 2 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_(BFC) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
33		csbcog 1978	. 2 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_(BFC) = [_A / x]_(BFC))
34		csbcog 1978	. . . 4 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_B = [_A / x]_B)
35		csbcog 1978	. . . 4 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_C = [_A / x]_C)
36	34, 35	opreq12d 3917	. . 3 |- (A e. D -> ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) = ([_A / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / x]_C))
37		csbcog 1978	. . . 4 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_F = [_A / x]_F)
38	37	opreqd 3916	. . 3 |- (A e. D -> ([_A / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / x]_C) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))
39	36, 38	eqtrd 1483	. 2 |- (A e. D -> ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))
40	32, 33, 39	3eqtr3d 1491	1 |- (A e. D -> [_A / x]_(BFC) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))

Syntax hints:   -> wi 3  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  [_csb 1972  (class class class)co 3902

This theorem is referenced by:  csbopr12g 3926

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-rex 1626  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-xp 3147  df-cnv 3149  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fv 3161  df-opr 3904

Copyright terms: Public domain