HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  csmdsymi Unicode version

Theorem csmdsymi 22839
Description: Cross-symmetry implies M-symmetry. Theorem 1.9.1 of [MaedaMaeda] p. 3. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
csmdsym.1  |-  A  e. 
CH
csmdsym.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
csmdsymi  |-  ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B
)  ->  B  MH  A )
Distinct variable group:    B, c
Allowed substitution hint:    A( c)

Proof of Theorem csmdsymi
StepHypRef Expression
1 incom 3303 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
21sseq1i 3144 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  x  <->  ( B  i^i  A )  C_  x
)
32biimpri 199 . . . 4  |-  ( ( B  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( A  i^i  B )  C_  x )
4 csmdsym.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
CH
5 chjcom 22010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  vH  B
)  =  ( B  vH  x ) )
64, 5mpan2 655 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  vH  B )  =  ( B  vH  x ) )
76ineq1d 3311 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  A )  =  ( ( B  vH  x )  i^i 
A ) )
8 incom 3303 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  vH  x )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( B  vH  x ) )
97, 8syl6eq 2304 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( B  vH  x
) ) )
109ad2antlr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  =  ( A  i^i  ( B  vH  x ) ) )
114a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  B  e.  CH )
12 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  x  e.  CH )
13 csmdsym.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
CH
1413a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  A  e.  CH )
1511, 12, 143jca 1137 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CH  ->  ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  A  e. 
CH ) )
1615ad2antlr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( B  e. 
CH  /\  x  e.  CH 
/\  A  e.  CH ) )
17 inss2 3332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
18 ssid 3139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  B
1917, 18pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  B  /\  B  C_  B )
20 sseq2 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  x  <->  ( A  i^i  B )  C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )
) )
21 sseq1 3141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  C_  A  <->  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  A ) )
2220, 21anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A )  <->  ( ( A  i^i  B )  C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  A
) ) )
23223anbi2d 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A )  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B ) )  <-> 
( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  C_  A
)  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B
) ) ) )
24 breq1 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  MH  B  <->  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  MH  B ) )
2523, 24imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A
)  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B
) )  ->  x  MH  B )  <->  ( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  C_  A
)  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B
) )  ->  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  MH  B ) ) )
26 h0elch 21759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0H  e.  CH
2726elimel 3558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  e.  CH
2813, 4, 27, 4mdslmd4i 22838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  C_  A
)  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B
) )  ->  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  MH  B )
2925, 28dedth 3547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A )  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B ) )  ->  x  MH  B
) )
3029com12 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A )  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B ) )  ->  ( x  e. 
CH  ->  x  MH  B
) )
3119, 30mp3an3 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( x  e. 
CH  ->  x  MH  B
) )
3231imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A ) )  /\  x  e.  CH )  ->  x  MH  B
)
3332an32s 782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  MH  B  /\  x  e.  CH )  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  x  MH  B
)
3433adantlll 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  x  MH  B
)
35 breq1 3966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  x  ->  (
c  MH  B  <->  x  MH  B ) )
36 breq2 3967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  x  ->  ( B  MH*  c  <->  B  MH*  x ) )
3735, 36imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  x  ->  (
( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  <->  ( x  MH  B  ->  B  MH*  x ) ) )
3837rcla4cva 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  MH  B  ->  B  MH*  x )
)
3938adantlr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. c  e. 
CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  ->  (
x  MH  B  ->  B  MH*  x ) )
4039adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( x  MH  B  ->  B  MH*  x ) )
4134, 40mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  B  MH*  x
)
42 simprr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  x  C_  A
)
43 dmdi 22807 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  ( B  MH*  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  =  ( A  i^i  ( B  vH  x ) ) )
4416, 41, 42, 43syl12anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  =  ( A  i^i  ( B  vH  x ) ) )
4513, 4chincli 21964 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
46 chjcom 22010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) )
4745, 46mpan 654 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( A  i^i  B
)  vH  x )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) )
481oveq2i 5768 . . . . . . . 8  |-  ( x  vH  ( A  i^i  B ) )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) )
4947, 48syl6eq 2304 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( A  i^i  B
)  vH  x )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) )
5049ad2antlr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) )
5110, 44, 503eqtr2d 2294 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) )
5251ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( A. c  e. 
CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) ) )
533, 52sylani 638 . . 3  |-  ( ( ( A. c  e. 
CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  ->  (
( ( B  i^i  A )  C_  x  /\  x  C_  A )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) ) )
5453ralrimiva 2597 . 2  |-  ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B
)  ->  A. x  e.  CH  ( ( ( B  i^i  A ) 
C_  x  /\  x  C_  A )  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  A )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) ) )
554, 13mdsl2bi 22828 . 2  |-  ( B  MH  A  <->  A. x  e.  CH  ( ( ( B  i^i  A ) 
C_  x  /\  x  C_  A )  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  A )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) ) )
5654, 55sylibr 205 1  |-  ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B
)  ->  B  MH  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516    i^i cin 3093    C_ wss 3094   ifcif 3506   class class class wbr 3963  (class class class)co 5757   CHcch 21434    vH chj 21438   0Hc0h 21440    MH cmd 21471    MH* cdmd 21472
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cc 7994  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvmulass 21512  ax-hvdistr1 21513  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588  ax-his4 21589  ax-hcompl 21706
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-lm 16886  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cfil 18608  df-cau 18609  df-cmet 18610  df-grpo 20783  df-gid 20784  df-ginv 20785  df-gdiv 20786  df-ablo 20874  df-subgo 20894  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-vs 21080  df-nmcv 21081  df-ims 21082  df-dip 21199  df-ssp 21223  df-ph 21316  df-cbn 21367  df-hnorm 21473  df-hba 21474  df-hvsub 21476  df-hlim 21477  df-hcau 21478  df-sh 21711  df-ch 21726  df-oc 21756  df-ch0 21757  df-shs 21812  df-chj 21814  df-md 22785  df-dmd 22786
  Copyright terms: Public domain W3C validator