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Theorem cubic2 20680
Description: The solution to the general cubic equation, for arbitrary choices  G and  T of the square and cube roots. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cubic2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
cubic2.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
cubic2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
cubic2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
cubic2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
cubic2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
cubic2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
cubic2.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( ( N  +  G )  /  2 ) )
cubic2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
cubic2.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) ) )
cubic2.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
cubic2.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) ) ) )
cubic2.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
cubic2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    M, r    N, r    ph, r    T, r    X, r
Allowed substitution hints:    C( r)    D( r)    G( r)

Proof of Theorem cubic2
StepHypRef Expression
1 cubic2.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 cubic2.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3 3nn0 10231 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
4 expcl 11391 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
52, 3, 4sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
61, 5mulcld 9100 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  e.  CC )
7 cubic2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
82sqcld 11513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
97, 8mulcld 9100 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
106, 9addcld 9099 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  e.  CC )
11 cubic2.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1211, 2mulcld 9100 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  CC )
13 cubic2.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1412, 13addcld 9099 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  D
)  e.  CC )
1510, 14addcld 9099 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) )  e.  CC )
16 cubic2.z . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
1715, 1, 16diveq0ad 9792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  /  A )  =  0  <->  ( (
( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0 ) )
1810, 14, 1, 16divdird 9820 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  /  A )  =  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  /  A
)  +  ( ( ( C  x.  X
)  +  D )  /  A ) ) )
196, 9, 1, 16divdird 9820 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  /  A )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  /  A )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  /  A ) ) )
205, 1, 16divcan3d 9787 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  /  A )  =  ( X ^
3 ) )
217, 8, 1, 16div23d 9819 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  /  A )  =  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) )
2220, 21oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
3 ) )  /  A )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  /  A ) )  =  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
2319, 22eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  /  A )  =  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
2412, 13, 1, 16divdird 9820 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  X )  +  D )  /  A
)  =  ( ( ( C  x.  X
)  /  A )  +  ( D  /  A ) ) )
2511, 2, 1, 16div23d 9819 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  /  A
)  =  ( ( C  /  A )  x.  X ) )
2625oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  X )  /  A )  +  ( D  /  A ) )  =  ( ( ( C  /  A
)  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) )
2724, 26eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  X )  +  D )  /  A
)  =  ( ( ( C  /  A
)  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) )
2823, 27oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  /  A
)  +  ( ( ( C  x.  X
)  +  D )  /  A ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C  /  A )  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) ) )
2918, 28eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  /  A )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C  /  A )  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) ) )
3029eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  /  A )  =  0  <->  ( (
( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C  /  A )  x.  X )  +  ( D  /  A
) ) )  =  0 ) )
3117, 30bitr3d 247 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( ( X ^
3 )  +  ( ( B  /  A
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C  /  A
)  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) )  =  0 ) )
327, 1, 16divcld 9782 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  e.  CC )
3311, 1, 16divcld 9782 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  A
)  e.  CC )
3413, 1, 16divcld 9782 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  /  A
)  e.  CC )
35 cubic2.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3635, 1, 16divcld 9782 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  /  A
)  e.  CC )
373a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  NN0 )
3835, 1, 16, 37expdivd 11529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  /  A ) ^ 3 )  =  ( ( T ^ 3 )  /  ( A ^
3 ) ) )
39 cubic2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( ( N  +  G )  /  2 ) )
4039oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T ^
3 )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( N  +  G )  /  2 )  / 
( A ^ 3 ) ) )
41 cubic2.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) ) ) )
42 2cn 10062 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
43 expcl 11391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
447, 3, 43sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
45 mulcl 9066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( B ^ 3 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
4642, 44, 45sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
47 9nn 10132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  9  e.  NN
4847nncni 10002 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  CC
49 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 9  x.  A
)  e.  CC )
5048, 1, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 9  x.  A
)  e.  CC )
517, 11mulcld 9100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
5250, 51mulcld 9100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C )
)  e.  CC )
5346, 52subcld 9403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  (
( 9  x.  A
)  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
54 2nn0 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
55 7nn 10130 . . . . . . . . . . . 12  |-  7  e.  NN
5654, 55decnncl 10387 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 7  e.  NN
5756nncni 10002 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 7  e.  CC
581sqcld 11513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
5958, 13mulcld 9100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  D
)  e.  CC )
60 mulcl 9066 . . . . . . . . . 10  |-  ( (; 2
7  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  D
)  e.  CC )  ->  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  e.  CC )
6157, 59, 60sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  e.  CC )
6253, 61addcld 9099 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C )
) )  +  (; 2
7  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  D ) ) )  e.  CC )
6341, 62eqeltrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
64 cubic2.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
6563, 64addcld 9099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  +  G
)  e.  CC )
6642a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
67 expcl 11391 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
681, 3, 67sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
69 2ne0 10075 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
713nn0zi 10298 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  e.  ZZ )
731, 16, 72expne0d 11521 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  =/=  0 )
7465, 66, 68, 70, 73divdiv32d 9807 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / 
2 )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( N  +  G )  /  ( A ^
3 ) )  / 
2 ) )
7563, 64, 68, 73divdird 9820 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  G )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( N  /  ( A ^
3 ) )  +  ( G  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
7675oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / 
( A ^ 3 ) )  /  2
)  =  ( ( ( N  /  ( A ^ 3 ) )  +  ( G  / 
( A ^ 3 ) ) )  / 
2 ) )
7774, 76eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / 
2 )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( N  /  ( A ^ 3 ) )  +  ( G  / 
( A ^ 3 ) ) )  / 
2 ) )
7838, 40, 773eqtrd 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T  /  A ) ^ 3 )  =  ( ( ( N  /  ( A ^ 3 ) )  +  ( G  / 
( A ^ 3 ) ) )  / 
2 ) )
7964, 68, 73divcld 9782 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  /  ( A ^ 3 ) )  e.  CC )
8064, 68, 73sqdivd 11528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  / 
( A ^ 3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( G ^ 2 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) ) )
81 cubic2.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) ) )
8281oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  /  (
( A ^ 3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^
3 ) ) )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) ) )
8363sqcld 11513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
84 4cn 10066 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
85 cubic2.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
867sqcld 11513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
87 3cn 10064 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
881, 11mulcld 9100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
89 mulcl 9066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( A  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  C
) )  e.  CC )
9087, 88, 89sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
9186, 90subcld 9403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
3  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
9285, 91eqeltrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
93 expcl 11391 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( M ^ 3 )  e.  CC )
9492, 3, 93sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ^ 3 )  e.  CC )
95 mulcl 9066 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( M ^ 3 )  e.  CC )  -> 
( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
9684, 94, 95sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
9768sqcld 11513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 ) ^ 2 )  e.  CC )
98 sqne0 11440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( ( A ^
3 ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( A ^ 3 )  =/=  0 ) )
9968, 98syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 ) ^
2 )  =/=  0  <->  ( A ^ 3 )  =/=  0 ) )
10073, 99mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 ) ^ 2 )  =/=  0 )
10183, 96, 97, 100divsubdird 9821 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N ^ 2 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) )  -  ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (
( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) ) )
10263, 68, 73sqdivd 11528 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
( A ^ 3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) ) )
103 2z 10304 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
104103a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1051, 16, 104expne0d 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =/=  0 )
10692, 58, 105, 37expdivd 11529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( ( A ^ 2 ) ^
3 ) ) )
10742, 87mulcomi 9088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  x.  2 )
108107oveq2i 6084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( A ^ (
3  x.  2 ) )
10954a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
1101, 37, 109expmuld 11518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  3 ) )  =  ( ( A ^ 2 ) ^ 3 ) )
1111, 109, 37expmuld 11518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
3  x.  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )
112108, 110, 1113eqtr3a 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 ) ^ 3 )  =  ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )
113112oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
3 )  /  (
( A ^ 2 ) ^ 3 ) )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) ) )
114106, 113eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) ) )
115114oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( M  /  ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) )  =  ( 4  x.  ( ( M ^
3 )  /  (
( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) ) )
11684a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
117116, 94, 97, 100divassd 9817 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (
( A ^ 3 ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( M ^ 3 )  / 
( ( A ^
3 ) ^ 2 ) ) ) )
118115, 117eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( M  /  ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) )  =  ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
( ( A ^
3 ) ^ 2 ) ) )
119102, 118oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  /  ( A ^
3 ) ) ^
2 )  -  (
4  x.  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( N ^ 2 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )  -  ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
( ( A ^
3 ) ^ 2 ) ) ) )
120101, 119eqtr4d 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N  /  ( A ^ 3 ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  (
( M  /  ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) ) )
12180, 82, 1203eqtrd 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  / 
( A ^ 3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( N  /  ( A ^ 3 ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  (
( M  /  ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) ) )
12286, 90, 58, 105divsubdird 9821 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  ( A  x.  C )
) )  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  ( A ^
2 ) )  -  ( ( 3  x.  ( A  x.  C
) )  /  ( A ^ 2 ) ) ) )
12385oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  ( A  x.  C
) ) )  / 
( A ^ 2 ) ) )
1247, 1, 16sqdivd 11528 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A ) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  /  ( A ^
2 ) ) )
1251sqvald 11512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
126125oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  C )  / 
( A  x.  A
) ) )
12711, 1, 1, 16, 16divcan5d 9808 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  /  ( A  x.  A )
)  =  ( C  /  A ) )
128126, 127eqtr2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  A
)  =  ( ( A  x.  C )  /  ( A ^
2 ) ) )
129128oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( C  /  A ) )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  C )  /  ( A ^ 2 ) ) ) )
13087a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
131130, 88, 58, 105divassd 9817 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  C
) )  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  C )  /  ( A ^ 2 ) ) ) )
132129, 131eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( C  /  A ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  C ) )  / 
( A ^ 2 ) ) )
133124, 132oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  /  A ) ^
2 )  -  (
3  x.  ( C  /  A ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  ( A ^ 2 ) )  -  ( ( 3  x.  ( A  x.  C ) )  / 
( A ^ 2 ) ) ) )
134122, 123, 1333eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( ( B  /  A ) ^ 2 )  -  ( 3  x.  ( C  /  A ) ) ) )
13553, 61, 68, 73divdird 9820 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) ) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  / 
( A ^ 3 ) )  +  ( (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
13641oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) ) )  /  ( A ^ 3 ) ) )
1377, 1, 16, 37expdivd 11529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A ) ^ 3 )  =  ( ( B ^ 3 )  /  ( A ^
3 ) ) )
138137oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( B  /  A
) ^ 3 ) )  =  ( 2  x.  ( ( B ^ 3 )  / 
( A ^ 3 ) ) ) )
13966, 44, 68, 73divassd 9817 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( 2  x.  ( ( B ^
3 )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
140138, 139eqtr4d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( B  /  A
) ^ 3 ) )  =  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  /  ( A ^
3 ) ) )
14148a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  9  e.  CC )
1421, 51mulcld 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  x.  C )
)  e.  CC )
143141, 142, 68, 73divassd 9817 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 9  x.  ( A  x.  ( B  x.  C )
) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( 9  x.  ( ( A  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
144141, 1, 51mulassd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C )
)  =  ( 9  x.  ( A  x.  ( B  x.  C
) ) ) )
145144oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( 9  x.  ( A  x.  ( B  x.  C
) ) )  / 
( A ^ 3 ) ) )
14651, 58, 1, 105, 16divcan5d 9808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A  x.  ( A ^ 2 ) ) )  =  ( ( B  x.  C )  /  ( A ^
2 ) ) )
147 df-3 10051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
148147oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
149 expp1 11380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
1501, 54, 149sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
151148, 150syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
15258, 1mulcomd 9101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( A ^
2 ) ) )
153151, 152eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  =  ( A  x.  ( A ^
2 ) ) )
154153oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( A  x.  ( B  x.  C ) )  / 
( A  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
1557, 1, 11, 1, 16, 16divmuldivd 9823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) )  =  ( ( B  x.  C )  / 
( A  x.  A
) ) )
156125oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( B  x.  C )  / 
( A  x.  A
) ) )
157155, 156eqtr4d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) )  =  ( ( B  x.  C )  / 
( A ^ 2 ) ) )
158146, 154, 1573eqtr4rd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) )  =  ( ( A  x.  ( B  x.  C ) )  / 
( A ^ 3 ) ) )
159158oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 9  x.  (
( B  /  A
)  x.  ( C  /  A ) ) )  =  ( 9  x.  ( ( A  x.  ( B  x.  C ) )  / 
( A ^ 3 ) ) ) )
160143, 145, 1593eqtr4rd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 9  x.  (
( B  /  A
)  x.  ( C  /  A ) ) )  =  ( ( ( 9  x.  A
)  x.  ( B  x.  C ) )  /  ( A ^
3 ) ) )
161140, 160oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( B  /  A ) ^ 3 ) )  -  (
9  x.  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  /  ( A ^
3 ) )  -  ( ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
16246, 52, 68, 73divsubdird 9821 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C )
) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  /  ( A ^
3 ) )  -  ( ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
163161, 162eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( B  /  A ) ^ 3 ) )  -  (
9  x.  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  / 
( A ^ 3 ) ) )
164151oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  D )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  D )  / 
( ( A ^
2 )  x.  A
) ) )
16513, 1, 58, 16, 105divcan5d 9808 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  D )  /  (
( A ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( D  /  A ) )
166164, 165eqtr2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  /  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  D )  /  ( A ^
3 ) ) )
167166oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (; 2 7  x.  ( D  /  A ) )  =  (; 2 7  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  D
)  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
16857a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> ; 2
7  e.  CC )
169168, 59, 68, 73divassd 9817 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  (; 2 7  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  D
)  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
170167, 169eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (; 2 7  x.  ( D  /  A ) )  =  ( (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  /  ( A ^ 3 ) ) )
171163, 170oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( B  /  A ) ^
3 ) )  -  ( 9  x.  (
( B  /  A
)  x.  ( C  /  A ) ) ) )  +  (; 2
7  x.  ( D  /  A ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  (
( 9  x.  A
)  x.  ( B  x.  C ) ) )  /  ( A ^ 3 ) )  +  ( (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
172135, 136, 1713eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( B  /  A ) ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) ) ) )  +  (; 2
7  x.  ( D  /  A ) ) ) )
173 cubic2.0 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
17435, 1, 173, 16divne0d 9798 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  /  A
)  =/=  0 )
17532, 33, 34, 2, 36, 78, 79, 121, 134, 172, 174mcubic 20679 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C  /  A )  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  -u ( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
) ) ) )
176 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
177 3nn 10126 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
178 0exp 11407 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
179177, 178ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
180176, 179syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
181 ax-1ne0 9051 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
182181necomi 2680 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
183182a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( r  =  0  ->  0  =/=  1 )
184180, 183eqnetrd 2616 . . . . . 6  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =/=  1 )
185184necon2i 2645 . . . . 5  |-  ( ( r ^ 3 )  =  1  ->  r  =/=  0 )
186 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
r  e.  CC )
18735adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  T  e.  CC )
1881adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  A  e.  CC )
18916adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  A  =/=  0 )
190186, 187, 188, 189divassd 9817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( r  x.  T )  /  A
)  =  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )
191190eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  ( T  /  A ) )  =  ( ( r  x.  T )  /  A ) )
192191oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  =  ( ( B  /  A )  +  ( ( r  x.  T )  /  A ) ) )
1937adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  B  e.  CC )
194186, 187mulcld 9100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  T
)  e.  CC )
195193, 194, 188, 189divdird 9820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  /  A
)  =  ( ( B  /  A )  +  ( ( r  x.  T )  /  A ) ) )
196192, 195eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  =  ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  /  A ) )
19792adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  M  e.  CC )
198197, 188, 189divcld 9782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  A
)  e.  CC )
199 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
r  =/=  0 )
200173adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  T  =/=  0 )
201186, 187, 199, 200mulne0d 9666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  T
)  =/=  0 )
202198, 194, 188, 201, 189divcan7d 9810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( M  /  A )  /  A )  /  (
( r  x.  T
)  /  A ) )  =  ( ( M  /  A )  /  ( r  x.  T ) ) )
203197, 188, 188, 189, 189divdiv1d 9813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  /  A )  /  A
)  =  ( M  /  ( A  x.  A ) ) )
204188sqvald 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
205204oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( M  / 
( A  x.  A
) ) )
206203, 205eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  /  A )  /  A
)  =  ( M  /  ( A ^
2 ) ) )
207206, 190oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( M  /  A )  /  A )  /  (
( r  x.  T
)  /  A ) )  =  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) )  /  ( r  x.  ( T  /  A
) ) ) )
208197, 188, 194, 189, 201divdiv32d 9807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  /  A )  /  (
r  x.  T ) )  =  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  /  A ) )
209202, 207, 2083eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) )  =  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  /  A ) )
210196, 209oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  +  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) )  /  ( r  x.  ( T  /  A
) ) ) )  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  /  A )  +  ( ( M  / 
( r  x.  T
) )  /  A
) ) )
211193, 194addcld 9099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( B  +  ( r  x.  T ) )  e.  CC )
212197, 194, 201divcld 9782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  (
r  x.  T ) )  e.  CC )
213211, 212, 188, 189divdird 9820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  A
)  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  /  A )  +  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  /  A ) ) )
214210, 213eqtr4d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  +  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) )  /  ( r  x.  ( T  /  A
) ) ) )  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  /  A ) )
215214oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
)  =  ( ( ( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  A )  /  3 ) )
216211, 212addcld 9099 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  e.  CC )
21787a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
3  e.  CC )
218 3ne0 10077 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
219218a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
3  =/=  0 )
220216, 188, 217, 189, 219divdiv1d 9813 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  /  A )  /  3
)  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( A  x.  3 ) ) )
221 mulcom 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( A  x.  3 )  =  ( 3  x.  A ) )
222188, 87, 221sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( A  x.  3 )  =  ( 3  x.  A ) )
223222oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  ( A  x.  3 ) )  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) )
224215, 220, 2233eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
)  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) )
225224negeqd 9292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
)  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) )
226225eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( X  =  -u ( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
)  <->  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) ) )
227226anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  r  =/=  0 )  ->  ( X  =  -u ( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  +  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) )  /  ( r  x.  ( T  /  A
) ) ) )  /  3 )  <->  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  (
3  x.  A ) ) ) )
228185, 227sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
r ^ 3 )  =  1 )  -> 
( X  =  -u ( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
)  <->  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) ) )
229228pm5.32da 623 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  ( ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u (
( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  +  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) )  /  ( r  x.  ( T  /  A
) ) ) )  /  3 ) )  <-> 
( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  (
3  x.  A ) ) ) ) )
230229rexbidva 2714 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  = 
-u ( ( ( ( B  /  A
)  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  +  ( ( M  /  ( A ^
2 ) )  / 
( r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
) )  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  = 
-u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
( 3  x.  A
) ) ) ) )
23131, 175, 2303bitrd 271 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   3c3 10042   4c4 10043   7c7 10046   9c9 10048   NN0cn0 10213   ZZcz 10274  ;cdc 10374   ^cexp 11374
This theorem is referenced by:  cubic  20681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845
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