Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  curf2cl Structured version   Unicode version

Theorem curf2cl 14328
 Description: The curry functor at a morphism is a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
curf2.g curryF
curf2.a
curf2.c
curf2.d
curf2.f c
curf2.b
curf2.h
curf2.i
curf2.x
curf2.y
curf2.k
curf2.l
curf2.n Nat
Assertion
Ref Expression
curf2cl

Proof of Theorem curf2cl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 curf2.g . . . 4 curryF
2 curf2.a . . . 4
3 curf2.c . . . 4
4 curf2.d . . . 4
5 curf2.f . . . 4 c
6 curf2.b . . . 4
7 curf2.h . . . 4
8 curf2.i . . . 4
9 curf2.x . . . 4
10 curf2.y . . . 4
11 curf2.k . . . 4
12 curf2.l . . . 4
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12curf2 14326 . . 3
14 eqid 2436 . . . . . . . . . 10 c c
1514, 2, 6xpcbas 14275 . . . . . . . . 9 c
16 eqid 2436 . . . . . . . . 9 c c
17 eqid 2436 . . . . . . . . 9
18 relfunc 14059 . . . . . . . . . . 11 c
19 1st2ndbr 6396 . . . . . . . . . . 11 c c c
2018, 5, 19sylancr 645 . . . . . . . . . 10 c
2120adantr 452 . . . . . . . . 9 c
22 opelxpi 4910 . . . . . . . . . 10
239, 22sylan 458 . . . . . . . . 9
24 opelxpi 4910 . . . . . . . . . 10
2510, 24sylan 458 . . . . . . . . 9
2615, 16, 17, 21, 23, 25funcf2 14065 . . . . . . . 8 c
27 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
289adantr 452 . . . . . . . . . 10
29 simpr 448 . . . . . . . . . 10
3010adantr 452 . . . . . . . . . 10
3114, 2, 6, 7, 27, 28, 29, 30, 29, 16xpchom2 14283 . . . . . . . . 9 c
3231feq2d 5581 . . . . . . . 8 c
3326, 32mpbid 202 . . . . . . 7
3411adantr 452 . . . . . . 7
354adantr 452 . . . . . . . 8
366, 27, 8, 35, 29catidcl 13907 . . . . . . 7
3733, 34, 36fovrnd 6218 . . . . . 6
383adantr 452 . . . . . . . . 9
395adantr 452 . . . . . . . . 9 c
40 eqid 2436 . . . . . . . . 9
411, 2, 38, 35, 39, 6, 28, 40, 29curf11 14323 . . . . . . . 8
42 df-ov 6084 . . . . . . . 8
4341, 42syl6eq 2484 . . . . . . 7
44 eqid 2436 . . . . . . . . 9
451, 2, 38, 35, 39, 6, 30, 44, 29curf11 14323 . . . . . . . 8
46 df-ov 6084 . . . . . . . 8
4745, 46syl6eq 2484 . . . . . . 7
4843, 47oveq12d 6099 . . . . . 6
4937, 48eleqtrrd 2513 . . . . 5
5049ralrimiva 2789 . . . 4
51 fvex 5742 . . . . . 6
526, 51eqeltri 2506 . . . . 5
53 mptelixpg 7099 . . . . 5
5452, 53ax-mp 8 . . . 4
5550, 54sylibr 204 . . 3
5613, 55eqeltrd 2510 . 2
57 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
583adantr 452 . . . . . . . . . 10
599adantr 452 . . . . . . . . . 10
60 eqid 2436 . . . . . . . . . 10 comp comp
6110adantr 452 . . . . . . . . . 10
6211adantr 452 . . . . . . . . . 10
632, 7, 57, 58, 59, 60, 61, 62catrid 13909 . . . . . . . . 9 comp
642, 7, 57, 58, 59, 60, 61, 62catlid 13908 . . . . . . . . 9 comp
6563, 64eqtr4d 2471 . . . . . . . 8 comp comp
664adantr 452 . . . . . . . . . 10
67 simpr1 963 . . . . . . . . . 10
68 eqid 2436 . . . . . . . . . 10 comp comp
69 simpr2 964 . . . . . . . . . 10
70 simpr3 965 . . . . . . . . . 10
716, 27, 8, 66, 67, 68, 69, 70catlid 13908 . . . . . . . . 9 comp
726, 27, 8, 66, 67, 68, 69, 70catrid 13909 . . . . . . . . 9 comp
7371, 72eqtr4d 2471 . . . . . . . 8 comp comp
7465, 73opeq12d 3992 . . . . . . 7 comp comp comp comp
75 eqid 2436 . . . . . . . 8 comp c comp c
762, 7, 57, 58, 59catidcl 13907 . . . . . . . 8
776, 27, 8, 66, 69catidcl 13907 . . . . . . . 8
7814, 2, 6, 7, 27, 59, 67, 59, 69, 60, 68, 75, 61, 69, 76, 70, 62, 77xpcco2 14284 . . . . . . 7 comp c comp comp
79363ad2antr1 1122 . . . . . . . 8
802, 7, 57, 58, 61catidcl 13907 . . . . . . . 8
8114, 2, 6, 7, 27, 59, 67, 61, 67, 60, 68, 75, 61, 69, 62, 79, 80, 70xpcco2 14284 . . . . . . 7 comp c comp comp
8274, 78, 813eqtr4d 2478 . . . . . 6 comp c comp c
8382fveq2d 5732 . . . . 5 comp c comp c
84 eqid 2436 . . . . . 6 comp comp
8520adantr 452 . . . . . 6 c
86233ad2antr1 1122 . . . . . 6
87 opelxpi 4910 . . . . . . 7
8859, 69, 87syl2anc 643 . . . . . 6
89 opelxpi 4910 . . . . . . 7
9061, 69, 89syl2anc 643 . . . . . 6
91 opelxpi 4910 . . . . . . . 8
9276, 70, 91syl2anc 643 . . . . . . 7
9314, 2, 6, 7, 27, 59, 67, 59, 69, 16xpchom2 14283 . . . . . . 7 c
9492, 93eleqtrrd 2513 . . . . . 6 c
95 opelxpi 4910 . . . . . . . 8
9662, 77, 95syl2anc 643 . . . . . . 7
9714, 2, 6, 7, 27, 59, 69, 61, 69, 16xpchom2 14283 . . . . . . 7 c
9896, 97eleqtrrd 2513 . . . . . 6 c
9915, 16, 75, 84, 85, 86, 88, 90, 94, 98funcco 14068 . . . . 5 comp c comp
100253ad2antr1 1122 . . . . . 6
101 opelxpi 4910 . . . . . . . 8
10262, 79, 101syl2anc 643 . . . . . . 7
10314, 2, 6, 7, 27, 59, 67, 61, 67, 16xpchom2 14283 . . . . . . 7 c
104102, 103eleqtrrd 2513 . . . . . 6 c
105 opelxpi 4910 . . . . . . . 8
10680, 70, 105syl2anc 643 . . . . . . 7
10714, 2, 6, 7, 27, 61, 67, 61, 69, 16xpchom2 14283 . . . . . . 7 c
108106, 107eleqtrrd 2513 . . . . . 6 c
10915, 16, 75, 84, 85, 86, 100, 90, 104, 108funcco 14068 . . . . 5 comp c comp
11083, 99, 1093eqtr3d 2476 . . . 4 comp comp
1115adantr 452 . . . . . . . . 9 c
1121, 2, 58, 66, 111, 6, 59, 40, 67curf11 14323 . . . . . . . 8
113112, 42syl6eq 2484 . . . . . . 7
1141, 2, 58, 66, 111, 6, 59, 40, 69curf11 14323 . . . . . . . 8
115 df-ov 6084 . . . . . . . 8
116114, 115syl6eq 2484 . . . . . . 7
117113, 116opeq12d 3992 . . . . . 6
1181, 2, 58, 66, 111, 6, 61, 44, 69curf11 14323 . . . . . . 7
119 df-ov 6084 . . . . . . 7
120118, 119syl6eq 2484 . . . . . 6
121117, 120oveq12d 6099 . . . . 5 comp comp
1221, 2, 58, 66, 111, 6, 7, 8, 59, 61, 62, 12, 69curf2val 14327 . . . . . 6
123 df-ov 6084 . . . . . 6
124122, 123syl6eq 2484 . . . . 5
1251, 2, 58, 66, 111, 6, 59, 40, 67, 27, 57, 69, 70curf12 14324 . . . . . 6
126 df-ov 6084 . . . . . 6
127125, 126syl6eq 2484 . . . . 5
128121, 124, 127oveq123d 6102 . . . 4 comp comp
1291, 2, 58, 66, 111, 6, 61, 44, 67curf11 14323 . . . . . . . 8
130129, 46syl6eq 2484 . . . . . . 7
131113, 130opeq12d 3992 . . . . . 6
132131, 120oveq12d 6099 . . . . 5 comp comp
1331, 2, 58, 66, 111, 6, 61, 44, 67, 27, 57, 69, 70curf12 14324 . . . . . 6
134 df-ov 6084 . . . . . 6
135133, 134syl6eq 2484 . . . . 5
1361, 2, 58, 66, 111, 6, 7, 8, 59, 61, 62, 12, 67curf2val 14327 . . . . . 6
137 df-ov 6084 . . . . . 6
138136, 137syl6eq 2484 . . . . 5
139132, 135, 138oveq123d 6102 . . . 4 comp comp
140110, 128, 1393eqtr4d 2478 . . 3 comp comp
141140ralrimivvva 2799 . 2 comp comp
142 curf2.n . . 3 Nat
1431, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 40curf1cl 14325 . . 3
1441, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 44curf1cl 14325 . . 3
145142, 6, 27, 17, 84, 143, 144isnat2 14145 . 2 comp comp
14656, 141, 145mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956  cop 3817   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cxp 4876   wrel 4883  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1st 6347  c2nd 6348  cixp 7063  cbs 13469   chom 13540  compcco 13541  ccat 13889  ccid 13890   cfunc 14051   Nat cnat 14138   c cxpc 14265   curryF ccurf 14307 This theorem is referenced by:  curfcl  14329 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-hom 13553  df-cco 13554  df-cat 13893  df-cid 13894  df-func 14055  df-nat 14140  df-xpc 14269  df-curf 14311
 Copyright terms: Public domain W3C validator