Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  curry2 Unicode version

Theorem curry2 6229
 Description: Composition with turns any binary operation with a constant second operand into a function of the first operand only. This transformation is called "currying." (If this becomes frequently used, we can introduce a new notation for the hypothesis.) (Contributed by NM, 16-Dec-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
curry2.1
Assertion
Ref Expression
curry2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem curry2
StepHypRef Expression
1 fnfun 5357 . . . . 5
2 1stconst 6223 . . . . . 6
3 dff1o3 5494 . . . . . . 7
43simprbi 450 . . . . . 6
52, 4syl 15 . . . . 5
6 funco 5308 . . . . 5
71, 5, 6syl2an 463 . . . 4
8 dmco 5197 . . . . 5
9 fndm 5359 . . . . . . . 8
109adantr 451 . . . . . . 7
1110imaeq2d 5028 . . . . . 6
12 imacnvcnv 5153 . . . . . . . . 9
13 df-ima 4718 . . . . . . . . 9
14 resres 4984 . . . . . . . . . 10
1514rneqi 4921 . . . . . . . . 9
1612, 13, 153eqtri 2320 . . . . . . . 8
17 inxp 4834 . . . . . . . . . . . . 13
18 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 inv1 3494 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . 14
2120xpeq1i 4725 . . . . . . . . . . . . 13
2217, 21eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12
23 snssi 3775 . . . . . . . . . . . . . 14
24 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13
2625xpeq2d 4729 . . . . . . . . . . . 12
2722, 26syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11
2827reseq2d 4971 . . . . . . . . . 10
2928rneqd 4922 . . . . . . . . 9
30 1stconst 6223 . . . . . . . . . 10
31 f1ofo 5495 . . . . . . . . . 10
32 forn 5470 . . . . . . . . . 10
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9
3429, 33eqtrd 2328 . . . . . . . 8
3516, 34syl5eq 2340 . . . . . . 7
3635adantl 452 . . . . . 6
3711, 36eqtrd 2328 . . . . 5
388, 37syl5eq 2340 . . . 4
39 curry2.1 . . . . . 6
4039fneq1i 5354 . . . . 5
41 df-fn 5274 . . . . 5
4240, 41bitri 240 . . . 4
437, 38, 42sylanbrc 645 . . 3
44 dffn5 5584 . . 3
4543, 44sylib 188 . 2
4639fveq1i 5542 . . . . 5
47 dff1o4 5496 . . . . . . . . 9
482, 47sylib 188 . . . . . . . 8
4948simprd 449 . . . . . . 7
50 vex 2804 . . . . . . 7
51 fvco2 5610 . . . . . . 7
5249, 50, 51sylancl 643 . . . . . 6
5352ad2antlr 707 . . . . 5
5446, 53syl5eq 2340 . . . 4
552adantr 451 . . . . . . . . 9
5650a1i 10 . . . . . . . . . 10
57 snidg 3678 . . . . . . . . . . 11
5857adantr 451 . . . . . . . . . 10
59 opelxp 4735 . . . . . . . . . 10
6056, 58, 59sylanbrc 645 . . . . . . . . 9
6155, 60jca 518 . . . . . . . 8
6250a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
6362, 57, 59sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11
64 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . 10
6665adantr 451 . . . . . . . . 9
67 op1stg 6148 . . . . . . . . . 10
6867ancoms 439 . . . . . . . . 9
6966, 68eqtrd 2328 . . . . . . . 8
70 f1ocnvfv 5810 . . . . . . . 8
7161, 69, 70sylc 56 . . . . . . 7
7271fveq2d 5545 . . . . . 6
7372adantll 694 . . . . 5
74 df-ov 5877 . . . . 5
7573, 74syl6eqr 2346 . . . 4
7654, 75eqtrd 2328 . . 3
7776mpteq2dva 4122 . 2
7845, 77eqtrd 2328 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   cin 3164   wss 3165  csn 3653  cop 3656   cmpt 4093   cxp 4703  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706   cres 4707  cima 4708   ccom 4709   wfun 5265   wfn 5266  wfo 5269  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  c1st 6136 This theorem is referenced by:  curry2f  6230  curry2val  6231 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139
 Copyright terms: Public domain W3C validator