Theorem cvexchlem 10295

Description: Lemma for cvexch 10296.

Hypotheses

Ref	Expression
chpssat.1	|- A e. CH
chpssat.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
cvexchlem	|- ((A i^i B) <o B -> A <o (A vH B))

Proof of Theorem cvexchlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpssat.1	. . . . 5 |- A e. CH
2		chpssat.2	. . . . 5 |- B e. CH
3	1, 2	chincl 9383	. . . 4 |- (A i^i B) e. CH
4		cvpsst 10212	. . . 4 |- (((A i^i B) e. CH /\ B e. CH) -> ((A i^i B) <o B -> (A i^i B) (. B))
5	3, 2, 4	mp2an 697	. . 3 |- ((A i^i B) <o B -> (A i^i B) (. B)
6	3, 2	chpssat 10290	. . 3 |- ((A i^i B) (. B -> E.x e. Atoms (x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)))
7	5, 6	syl 10	. 2 |- ((A i^i B) <o B -> E.x e. Atoms (x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)))
8		chcv1t 10282	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CH /\ x e. Atoms) -> (-. x (_ A <-> A <o (A vH x)))
9	1, 8	mpan 695	. . . . . . . 8 |- (x e. Atoms -> (-. x (_ A <-> A <o (A vH x)))
10	9	biimpa 416	. . . . . . 7 |- ((x e. Atoms /\ -. x (_ A) -> A <o (A vH x))
11		ssin 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ((x (_ A /\ x (_ B) <-> x (_ (A i^i B))
12		ancom 435	. . . . . . . . . . 11 |- ((x (_ A /\ x (_ B) <-> (x (_ B /\ x (_ A))
13	11, 12	bitr3 175	. . . . . . . . . 10 |- (x (_ (A i^i B) <-> (x (_ B /\ x (_ A))
14	13	baibr 686	. . . . . . . . 9 |- (x (_ B -> (x (_ A <-> x (_ (A i^i B)))
15	14	negbid 611	. . . . . . . 8 |- (x (_ B -> (-. x (_ A <-> -. x (_ (A i^i B)))
16	15	biimpar 417	. . . . . . 7 |- ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) -> -. x (_ A)
17	10, 16	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((x e. Atoms /\ (x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B))) -> A <o (A vH x))
18	17	adantrr 395	. . . . 5 |- ((x e. Atoms /\ ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) /\ (A i^i B) <o B)) -> A <o (A vH x))
19		chjasst 9456	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CH /\ (A i^i B) e. CH /\ x e. CH) -> ((A vH (A i^i B)) vH x) = (A vH ((A i^i B) vH x)))
20	1, 3, 19	mp3an12 906	. . . . . . . . 9 |- (x e. CH -> ((A vH (A i^i B)) vH x) = (A vH ((A i^i B) vH x)))
21	1, 2	chabs1 9441	. . . . . . . . . 10 |- (A vH (A i^i B)) = A
22	21	opreq1i 3971	. . . . . . . . 9 |- ((A vH (A i^i B)) vH x) = (A vH x)
23	20, 22	syl5reqr 1522	. . . . . . . 8 |- (x e. CH -> (A vH ((A i^i B) vH x)) = (A vH x))
24	23	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((x e. CH /\ ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) /\ (A i^i B) <o B)) -> (A vH ((A i^i B) vH x)) = (A vH x))
25		chnlet 9437	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A i^i B) e. CH /\ x e. CH) -> (-. x (_ (A i^i B) <-> (A i^i B) (. ((A i^i B) vH x)))
26	3, 25	mpan 695	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CH -> (-. x (_ (A i^i B) <-> (A i^i B) (. ((A i^i B) vH x)))
27		chlubt 9432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A i^i B) e. CH /\ x e. CH /\ B e. CH) -> (((A i^i B) (_ B /\ x (_ B) <-> ((A i^i B) vH x) (_ B))
28	3, 2, 27	mp3an13 907	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. CH -> (((A i^i B) (_ B /\ x (_ B) <-> ((A i^i B) vH x) (_ B))
29		inss2 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A i^i B) (_ B
30	29	biantrur 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x (_ B <-> ((A i^i B) (_ B /\ x (_ B))
31	28, 30	syl5bb 532	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CH -> (x (_ B <-> ((A i^i B) vH x) (_ B))
32	26, 31	anbi12d 628	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. CH -> ((-. x (_ (A i^i B) /\ x (_ B) <-> ((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ B)))
33		ancom 435	. . . . . . . . . . 11 |- ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) <-> (-. x (_ (A i^i B) /\ x (_ B))
34	32, 33	syl5bb 532	. . . . . . . . . 10 |- (x e. CH -> ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) <-> ((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ B)))
35		chjclt 9329	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A i^i B) e. CH /\ x e. CH) -> ((A i^i B) vH x) e. CH)
36	3, 35	mpan 695	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CH -> ((A i^i B) vH x) e. CH)
37		cvnbtwn2t 10214	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A i^i B) e. CH /\ B e. CH /\ ((A i^i B) vH x) e. CH) -> ((A i^i B) <o B -> (((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ B) -> ((A i^i B) vH x) = B)))
38	3, 2, 37	mp3an12 906	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A i^i B) vH x) e. CH -> ((A i^i B) <o B -> (((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ B) -> ((A i^i B) vH x) = B)))
39	36, 38	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. CH -> ((A i^i B) <o B -> (((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ B) -> ((A i^i B) vH x) = B)))
40	39	com23 32	. . . . . . . . . 10 |- (x e. CH -> (((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ B) -> ((A i^i B) <o B -> ((A i^i B) vH x) = B)))
41	34, 40	sylbid 203	. . . . . . . . 9 |- (x e. CH -> ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) -> ((A i^i B) <o B -> ((A i^i B) vH x) = B)))
42	41	imp32 363	. . . . . . . 8 |- ((x e. CH /\ ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) /\ (A i^i B) <o B)) -> ((A i^i B) vH x) = B)
43	42	opreq2d 3976	. . . . . . 7 |- ((x e. CH /\ ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) /\ (A i^i B) <o B)) -> (A vH ((A i^i B) vH x)) = (A vH B))
44	24, 43	eqtr3d 1509	. . . . . 6 |- ((x e. CH /\ ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) /\ (A i^i B) <o B)) -> (A vH x) = (A vH B))
45		atelch 10271	. . . . . 6 |- (x e. Atoms -> x e. CH)
46	44, 45	sylan 448	. . . . 5 |- ((x e. Atoms /\ ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) /\ (A i^i B) <o B)) -> (A vH x) = (A vH B))
47	18, 46	breqtrd 2639	. . . 4 |- ((x e. Atoms /\ ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) /\ (A i^i B) <o B)) -> A <o (A vH B))
48	47	exp32 377	. . 3 |- (x e. Atoms -> ((x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) -> ((A i^i B) <o B -> A <o (A vH B))))
49	48	r19.23aiv 1743	. 2 |- (E.x e. Atoms (x (_ B /\ -. x (_ (A i^i B)) -> ((A i^i B) <o B -> A <o (A vH B)))
50	7, 49	mpcom 49	1 |- ((A i^i B) <o B -> A <o (A vH B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646   i^i cin 2046   (_ wss 2047   (. wpss 2048   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CHcch 8798   vH chj 8802  Atomscat 8833   <o ccv 8834

This theorem is referenced by:  cvexch 10296

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld