Theorem cvg1 6866

Description: A relationship used to derive two ways to express that a sequence converges. ph is ph(k).

Hypothesis

Ref	Expression
cvg1.1	|- Z = (ZZ>` M)

Assertion

Ref	Expression
cvg1	|- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))

Distinct variable groups:   k,M   j,k,Z   ph,j

Proof of Theorem cvg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1.1	. . . . . . 7 |- Z = (ZZ>` M)
2	1	eleq2i 1535	. . . . . 6 |- (j e. Z <-> j e. (ZZ>` M))
3		zltp1let 6136	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (j < k <-> (j + 1) <_ k))
4		eluzelz 6363	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. (ZZ>` M) -> j e. ZZ)
5	1	eleq2i 1535	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. Z <-> k e. (ZZ>` M))
6		eluzelz 6363	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. ZZ)
7	5, 6	sylbi 199	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. Z -> k e. ZZ)
8	3, 4, 7	syl2an 454	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. (ZZ>` M) /\ k e. Z) -> (j < k <-> (j + 1) <_ k))
9	8	imbi1d 612	. . . . . . . . 9 |- ((j e. (ZZ>` M) /\ k e. Z) -> ((j < k -> ph) <-> ((j + 1) <_ k -> ph)))
10	9	ralbidva 1656	. . . . . . . 8 |- (j e. (ZZ>` M) -> (A.k e. Z (j < k -> ph) <-> A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)))
11	10	biimpd 153	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>` M) -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)))
12		peano2uz 6387	. . . . . . . 8 |- (j e. (ZZ>` M) -> (j + 1) e. (ZZ>` M))
13	12, 1	syl6eleqr 1556	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>` M) -> (j + 1) e. Z)
14	11, 13	jctild 600	. . . . . 6 |- (j e. (ZZ>` M) -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> ((j + 1) e. Z /\ A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph))))
15	2, 14	sylbi 199	. . . . 5 |- (j e. Z -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> ((j + 1) e. Z /\ A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph))))
16		breq1 2617	. . . . . . . 8 |- (m = (j + 1) -> (m <_ k <-> (j + 1) <_ k))
17	16	imbi1d 612	. . . . . . 7 |- (m = (j + 1) -> ((m <_ k -> ph) <-> ((j + 1) <_ k -> ph)))
18	17	ralbidv 1660	. . . . . 6 |- (m = (j + 1) -> (A.k e. Z (m <_ k -> ph) <-> A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)))
19	18	rcla4ev 1873	. . . . 5 |- (((j + 1) e. Z /\ A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)) -> E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph))
20	15, 19	syl6 22	. . . 4 |- (j e. Z -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph)))
21	20	r19.23aiv 1740	. . 3 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) -> E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph))
22		breq1 2617	. . . . . 6 |- (m = j -> (m <_ k <-> j <_ k))
23	22	imbi1d 612	. . . . 5 |- (m = j -> ((m <_ k -> ph) <-> (j <_ k -> ph)))
24	23	ralbidv 1660	. . . 4 |- (m = j -> (A.k e. Z (m <_ k -> ph) <-> A.k e. Z (j <_ k -> ph)))
25	24	cbvrexv 1797	. . 3 |- (E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))
26	21, 25	sylib 198	. 2 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))
27	1	cvg1i 6865	. 2 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph))
28	26, 27	impbi 157	1 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  1c1 5215   + caddc 5217   <_ cle 5275  ZZcz 5278   < clt 5466  ZZ>cuz 6357

This theorem is referenced by:  caucvg 7107

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-uz 6358

Copyright terms: Public domain