Theorem cvg1i 6920

Description: A relationship used to derive two ways to express that a sequence converges. Unlike cvg1 6921, j may be free in ph, so this can also be used for Cauchy sequences.

Hypothesis

Ref	Expression
cvg1i.1	|- Z = (ZZ>` M)

Assertion

Ref	Expression
cvg1i	|- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph))

Distinct variable groups:   j,k   k,Z

Proof of Theorem cvg1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlet 5532	. . . . 5 |- ((j e. RR /\ k e. RR) -> (j < k -> j <_ k))
2		cvg1i.1	. . . . . . 7 |- Z = (ZZ>` M)
3	2	eleq2i 1541	. . . . . 6 |- (j e. Z <-> j e. (ZZ>` M))
4		eluzelz 6424	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>` M) -> j e. ZZ)
5		zret 6141	. . . . . . 7 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
6	4, 5	syl 10	. . . . . 6 |- (j e. (ZZ>` M) -> j e. RR)
7	3, 6	sylbi 199	. . . . 5 |- (j e. Z -> j e. RR)
8	2	eleq2i 1541	. . . . . 6 |- (k e. Z <-> k e. (ZZ>` M))
9		eluzelz 6424	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. ZZ)
10		zret 6141	. . . . . . 7 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
11	9, 10	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. RR)
12	8, 11	sylbi 199	. . . . 5 |- (k e. Z -> k e. RR)
13	1, 7, 12	syl2an 456	. . . 4 |- ((j e. Z /\ k e. Z) -> (j < k -> j <_ k))
14	13	imim1d 28	. . 3 |- ((j e. Z /\ k e. Z) -> ((j <_ k -> ph) -> (j < k -> ph)))
15	14	r19.20dva 1712	. 2 |- (j e. Z -> (A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> A.k e. Z (j < k -> ph)))
16	15	r19.22i 1735	1 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  RRcr 5245   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418

This theorem is referenced by:  cvg1 6921  caucvg3 7167

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-z 6138  df-uz 6419

Copyright terms: Public domain