Theorem cvganz 6869

Description: Equivalence that lets us conjoin the properties of two independent converging sequences. k may be free in ph and ps. Compare r19.40 1759, where the implication holds in only one direction.

Assertion

Ref	Expression
cvganz	|- ((E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) /\ E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ps)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> (ph /\ ps)))

Distinct variable groups:   j,k   ph,j   ps,j

Proof of Theorem cvganz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeanv 1775	. . . . 5 |- (E.m e. NN0 E.n e. NN0 (A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) <-> (E.m e. NN0 A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ E.n e. NN0 A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)))
2		nn0addge1t 6085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m e. RR /\ n e. NN0) -> m <_ (m + n))
3		nn0ret 6063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. NN0 -> m e. RR)
4	2, 3	sylan 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> m <_ (m + n))
5	4	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> m <_ (m + n))
6		letrt 5506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. RR /\ (m + n) e. RR /\ k e. RR) -> ((m <_ (m + n) /\ (m + n) <_ k) -> m <_ k))
7	3	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> m e. RR)
8		nn0addclt 6075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> (m + n) e. NN0)
9		nn0ret 6063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m + n) e. NN0 -> (m + n) e. RR)
10	8, 9	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> (m + n) e. RR)
11	10	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> (m + n) e. RR)
12		nn0ret 6063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN0 -> k e. RR)
13	12	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> k e. RR)
14	6, 7, 11, 13	syl3anc 857	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> ((m <_ (m + n) /\ (m + n) <_ k) -> m <_ k))
15	5, 14	mpand 700	. . . . . . . . . . . 12 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> ((m + n) <_ k -> m <_ k))
16		nn0addge2t 6086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. RR /\ m e. NN0) -> n <_ (m + n))
17		nn0ret 6063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (n e. NN0 -> n e. RR)
18	16, 17	sylan 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n e. NN0 /\ m e. NN0) -> n <_ (m + n))
19	18	ancoms 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> n <_ (m + n))
20	19	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> n <_ (m + n))
21		letrt 5506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n e. RR /\ (m + n) e. RR /\ k e. RR) -> ((n <_ (m + n) /\ (m + n) <_ k) -> n <_ k))
22	17	ad2antlr 405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> n e. RR)
23	21, 22, 11, 13	syl3anc 857	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> ((n <_ (m + n) /\ (m + n) <_ k) -> n <_ k))
24	20, 23	mpand 700	. . . . . . . . . . . 12 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> ((m + n) <_ k -> n <_ k))
25	15, 24	jcad 599	. . . . . . . . . . 11 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> ((m + n) <_ k -> (m <_ k /\ n <_ k)))
26		prth 555	. . . . . . . . . . 11 |- (((m <_ k -> ph) /\ (n <_ k -> ps)) -> ((m <_ k /\ n <_ k) -> (ph /\ ps)))
27	25, 26	syl9 57	. . . . . . . . . 10 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> (((m <_ k -> ph) /\ (n <_ k -> ps)) -> ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))))
28	27	r19.20dva 1706	. . . . . . . . 9 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> (A.k e. NN0 ((m <_ k -> ph) /\ (n <_ k -> ps)) -> A.k e. NN0 ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))))
29		r19.26 1747	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN0 ((m <_ k -> ph) /\ (n <_ k -> ps)) <-> (A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)))
30	28, 29	syl5ibr 207	. . . . . . . 8 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> ((A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) -> A.k e. NN0 ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))))
31	30, 8	jctild 600	. . . . . . 7 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> ((A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) -> ((m + n) e. NN0 /\ A.k e. NN0 ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps)))))
32		breq1 2617	. . . . . . . . . 10 |- (j = (m + n) -> (j <_ k <-> (m + n) <_ k))
33	32	imbi1d 612	. . . . . . . . 9 |- (j = (m + n) -> ((j <_ k -> (ph /\ ps)) <-> ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))))
34	33	ralbidv 1660	. . . . . . . 8 |- (j = (m + n) -> (A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) <-> A.k e. NN0 ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))))
35	34	rcla4ev 1873	. . . . . . 7 |- (((m + n) e. NN0 /\ A.k e. NN0 ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
36	31, 35	syl6 22	. . . . . 6 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> ((A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps))))
37	36	r19.23aivv 1745	. . . . 5 |- (E.m e. NN0 E.n e. NN0 (A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
38	1, 37	sylbir 201	. . . 4 |- ((E.m e. NN0 A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ E.n e. NN0 A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
39		breq1 2617	. . . . . . 7 |- (j = m -> (j <_ k <-> m <_ k))
40	39	imbi1d 612	. . . . . 6 |- (j = m -> ((j <_ k -> ph) <-> (m <_ k -> ph)))
41	40	ralbidv 1660	. . . . 5 |- (j = m -> (A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) <-> A.k e. NN0 (m <_ k -> ph)))
42	41	cbvrexv 1797	. . . 4 |- (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) <-> E.m e. NN0 A.k e. NN0 (m <_ k -> ph))
43		breq1 2617	. . . . . . 7 |- (j = n -> (j <_ k <-> n <_ k))
44	43	imbi1d 612	. . . . . 6 |- (j = n -> ((j <_ k -> ps) <-> (n <_ k -> ps)))
45	44	ralbidv 1660	. . . . 5 |- (j = n -> (A.k e. NN0 (j <_ k -> ps) <-> A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)))
46	45	cbvrexv 1797	. . . 4 |- (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps) <-> E.n e. NN0 A.k e. NN0 (n <_ k -> ps))
47	38, 42, 46	syl2anb 455	. . 3 |- ((E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) /\ E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
48		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((ph /\ ps) -> ph)
49	48	imim2i 17	. . . . . 6 |- ((j <_ k -> (ph /\ ps)) -> (j <_ k -> ph))
50	49	r19.20si 1703	. . . . 5 |- (A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) -> A.k e. NN0 (j <_ k -> ph))
51	50	r19.22si 1731	. . . 4 |- (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph))
52		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((ph /\ ps) -> ps)
53	52	imim2i 17	. . . . . 6 |- ((j <_ k -> (ph /\ ps)) -> (j <_ k -> ps))
54	53	r19.20si 1703	. . . . 5 |- (A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) -> A.k e. NN0 (j <_ k -> ps))
55	54	r19.22si 1731	. . . 4 |- (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps))
56	51, 55	jca 288	. . 3 |- (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) -> (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) /\ E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps)))
57	47, 56	impbi 157	. 2 |- ((E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) /\ E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps)) <-> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
58		0z 6101	. . . 4 |-