Theorem cvganz 7127

Description: Equivalence that lets us conjoin the properties of two independent converging sequences. k may be free in ph and ps. Compare r19.40 1808, where the implication holds in only one direction.

Assertion

Ref	Expression
cvganz	|- ((E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) /\ E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ps)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> (ph /\ ps)))

Distinct variable groups:   j,k   ph,j   ps,j

Proof of Theorem cvganz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeanv 1824	. . . . 5 |- (E.m e. NN0 E.n e. NN0 (A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) <-> (E.m e. NN0 A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ E.n e. NN0 A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)))
2		nn0addge1 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m e. RR /\ n e. NN0) -> m <_ (m + n))
3		nn0re 6276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. NN0 -> m e. RR)
4	2, 3	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> m <_ (m + n))
5	4	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> m <_ (m + n))
6		letr 5679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. RR /\ (m + n) e. RR /\ k e. RR) -> ((m <_ (m + n) /\ (m + n) <_ k) -> m <_ k))
7	3	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> m e. RR)
8		nn0addcl 6288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> (m + n) e. NN0)
9		nn0re 6276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m + n) e. NN0 -> (m + n) e. RR)
10	8, 9	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> (m + n) e. RR)
11	10	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> (m + n) e. RR)
12		nn0re 6276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN0 -> k e. RR)
13	12	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> k e. RR)
14	6, 7, 11, 13	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> ((m <_ (m + n) /\ (m + n) <_ k) -> m <_ k))
15	5, 14	mpand 705	. . . . . . . . . . . 12 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> ((m + n) <_ k -> m <_ k))
16		nn0addge2 6299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. RR /\ m e. NN0) -> n <_ (m + n))
17		nn0re 6276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (n e. NN0 -> n e. RR)
18	16, 17	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n e. NN0 /\ m e. NN0) -> n <_ (m + n))
19	18	ancoms 438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> n <_ (m + n))
20	19	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> n <_ (m + n))
21		letr 5679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n e. RR /\ (m + n) e. RR /\ k e. RR) -> ((n <_ (m + n) /\ (m + n) <_ k) -> n <_ k))
22	17	ad2antlr 405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> n e. RR)
23	21, 22, 11, 13	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> ((n <_ (m + n) /\ (m + n) <_ k) -> n <_ k))
24	20, 23	mpand 705	. . . . . . . . . . . 12 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> ((m + n) <_ k -> n <_ k))
25	15, 24	jcad 603	. . . . . . . . . . 11 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> ((m + n) <_ k -> (m <_ k /\ n <_ k)))
26		prth 559	. . . . . . . . . . 11 |- (((m <_ k -> ph) /\ (n <_ k -> ps)) -> ((m <_ k /\ n <_ k) -> (ph /\ ps)))
27	25, 26	syl9 57	. . . . . . . . . 10 |- (((m e. NN0 /\ n e. NN0) /\ k e. NN0) -> (((m <_ k -> ph) /\ (n <_ k -> ps)) -> ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))))
28	27	r19.20dva 1755	. . . . . . . . 9 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> (A.k e. NN0 ((m <_ k -> ph) /\ (n <_ k -> ps)) -> A.k e. NN0 ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))))
29		r19.26 1796	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN0 ((m <_ k -> ph) /\ (n <_ k -> ps)) <-> (A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)))
30	28, 29	syl5ibr 205	. . . . . . . 8 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> ((A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) -> A.k e. NN0 ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))))
31	30, 8	jctild 604	. . . . . . 7 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> ((A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) -> ((m + n) e. NN0 /\ A.k e. NN0 ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps)))))
32		breq1 2695	. . . . . . . . . 10 |- (j = (m + n) -> (j <_ k <-> (m + n) <_ k))
33	32	imbi1d 616	. . . . . . . . 9 |- (j = (m + n) -> ((j <_ k -> (ph /\ ps)) <-> ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))))
34	33	ralbidv 1709	. . . . . . . 8 |- (j = (m + n) -> (A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) <-> A.k e. NN0 ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))))
35	34	rcla4ev 1923	. . . . . . 7 |- (((m + n) e. NN0 /\ A.k e. NN0 ((m + n) <_ k -> (ph /\ ps))) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
36	31, 35	syl6 22	. . . . . 6 |- ((m e. NN0 /\ n e. NN0) -> ((A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps))))
37	36	r19.23aivv 1794	. . . . 5 |- (E.m e. NN0 E.n e. NN0 (A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
38	1, 37	sylbir 199	. . . 4 |- ((E.m e. NN0 A.k e. NN0 (m <_ k -> ph) /\ E.n e. NN0 A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
39		breq1 2695	. . . . . . 7 |- (j = m -> (j <_ k <-> m <_ k))
40	39	imbi1d 616	. . . . . 6 |- (j = m -> ((j <_ k -> ph) <-> (m <_ k -> ph)))
41	40	ralbidv 1709	. . . . 5 |- (j = m -> (A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) <-> A.k e. NN0 (m <_ k -> ph)))
42	41	cbvrexv 1847	. . . 4 |- (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) <-> E.m e. NN0 A.k e. NN0 (m <_ k -> ph))
43		breq1 2695	. . . . . . 7 |- (j = n -> (j <_ k <-> n <_ k))
44	43	imbi1d 616	. . . . . 6 |- (j = n -> ((j <_ k -> ps) <-> (n <_ k -> ps)))
45	44	ralbidv 1709	. . . . 5 |- (j = n -> (A.k e. NN0 (j <_ k -> ps) <-> A.k e. NN0 (n <_ k -> ps)))
46	45	cbvrexv 1847	. . . 4 |- (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps) <-> E.n e. NN0 A.k e. NN0 (n <_ k -> ps))
47	38, 42, 46	syl2anb 457	. . 3 |- ((E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) /\ E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
48		pm3.26 317	. . . . . . 7 |- ((ph /\ ps) -> ph)
49	48	imim2i 17	. . . . . 6 |- ((j <_ k -> (ph /\ ps)) -> (j <_ k -> ph))
50	49	r19.20si 1752	. . . . 5 |- (A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) -> A.k e. NN0 (j <_ k -> ph))
51	50	r19.22si 1780	. . . 4 |- (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph))
52		pm3.27 321	. . . . . . 7 |- ((ph /\ ps) -> ps)
53	52	imim2i 17	. . . . . 6 |- ((j <_ k -> (ph /\ ps)) -> (j <_ k -> ps))
54	53	r19.20si 1752	. . . . 5 |- (A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) -> A.k e. NN0 (j <_ k -> ps))
55	54	r19.22si 1780	. . . 4 |- (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps))
56	51, 55	jca 286	. . 3 |- (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)) -> (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) /\ E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps)))
57	47, 56	impbii 155	. 2 |- ((E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) /\ E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps)) <-> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
58		0z 6314	. . . 4 |- 0 e. ZZ
59		nn0uz 6565	. . . . 5 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
60	59	eqimss2i 2164	. . . 4 |- (ZZ>=` 0) (_ NN0
61		nn0ssz 6320	. . . 4 |- NN0 (_ ZZ
62	58, 60, 61, 58, 60, 61	cvg3i 7126	. . 3 |- (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) <-> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph))
63	58, 60, 61, 58, 60, 61	cvg3i 7126	. . 3 |- (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ps) <-> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps))
64	62, 63	anbi12i 485	. 2 |- ((E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) /\ E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ps)) <-> (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ph) /\ E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ps)))
65	58, 60, 61, 58, 60, 61	cvg3i 7126	. 2 |- (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> (ph /\ ps)) <-> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (ph /\ ps)))
66	57, 64, 65	3bitr4i 181	1 |- ((E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) /\ E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ps)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> (ph /\ ps)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  E.wrex 1692   class class class wbr 2692  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  RRcr 5387  0cc0 5388   + caddc 5391   <_ cle 5449  NN0cn0 5451  ZZcz 5452  ZZ>=cuz 6544

This theorem is referenced by:  cvganuzi 7128

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304  df-uz 6545

Copyright terms: Public domain