MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvgcmp Unicode version

Theorem cvgcmp 12290
Description: A comparison test for convergence of a real infinite series. Exercise 3 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 1-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgcmp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgcmp.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
cvgcmp.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
cvgcmp.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
cvgcmp.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( G `  k ) )
cvgcmp.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
)
Assertion
Ref Expression
cvgcmp  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    ph, k    k, M   
k, N    k, Z

Proof of Theorem cvgcmp
Dummy variables  n  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmp.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 seqex 11064 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  G
)  e.  _V
32a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
_V )
4 cvgcmp.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
54, 1syl6eleq 2386 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 eluzel2 10251 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
75, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8 cvgcmp.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
91climcau 12160 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )
11 cvgcmp.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
121, 7, 11serfre 11091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
13 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
1412, 13sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
1514recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
1615ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC )
171r19.29uz 11850 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\ 
E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) )
1817ex 423 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC  ->  ( E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1916, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2019ralimdv 2635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2110, 20mpd 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x ) )
221uztrn2 10261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  Z )
234, 22sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  n  e.  Z )
24 cvgcmp.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
251, 7, 24serfre 11091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> RR )
26 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> RR  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR )
2725, 26sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR )
2827recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
2923, 28syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  (  seq  M (  +  ,  G
) `  n )  e.  CC )
3029ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  N ) (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC )
3130adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  N )
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC )
32 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  ph )
3332, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  seq  M (  +  ,  F
) : Z --> RR )
3432, 4syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  N  e.  Z )
35 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  N )
)
361uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  m  e.  Z )
3734, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  m  e.  Z )
38 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  m  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  e.  RR )
3933, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  e.  RR )
40 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
4140uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4241adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4334, 42, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  Z )
4432, 43, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
4532, 43, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR )
4632, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  seq  M (  +  ,  G
) : Z --> RR )
47 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> RR  /\  m  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  e.  RR )
4846, 37, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  e.  RR )
4945, 48resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  e.  RR )
5037, 1syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
51 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)
52 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5352, 1syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  Z )
54 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
55 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
5654, 55oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
)  -  ( G `
 m ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
57 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( F `
 m )  -  ( G `  m ) ) )
58 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e. 
_V
5956, 57, 58fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
6059adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
6111, 24resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
6260, 61eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
6332, 53, 62syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  e.  RR )
64 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )
65 peano2uz 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6635, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
6740uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6866, 67sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )
69 cvgcmp.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
)
701uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  Z )
714, 70sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  Z )
7211, 24subge0d 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
7371, 72syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
7469, 73mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )
7571, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
7674, 75breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
7732, 76sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  0  <_  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
7868, 77syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  0  <_  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
7964, 78sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
8050, 51, 63, 79sermono 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  m )  <_  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  n ) )
81 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( M ... m )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8281, 1syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( M ... m )  ->  k  e.  Z )
8311recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8432, 82, 83syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... m ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8524recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8632, 82, 85syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... m ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8732, 82, 60syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... m ) )  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
8850, 84, 86, 87sersub 11105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  m )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) )
8943, 1syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9032, 53, 83syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9132, 53, 85syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9232, 53, 60syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
9389, 90, 91, 92sersub 11105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  n )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n ) ) )
9480, 88, 933brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  <_  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
) ) )
9544, 45resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
) )  e.  RR )
9639, 48, 95lesubaddd 9385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) )  <_  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )  <->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  m )  <_  ( ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )  +  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
9794, 96mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  <_  ( (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
) )  +  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) )
9844recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
9945recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
10048recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  e.  CC )
10198, 99, 100subsubd 9201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  =  ( ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )  +  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) )
10297, 101breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  <_  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  -  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )
10339, 44, 49, 102lesubd 9392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  <_  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )
10444, 39resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  e.  RR )
105 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
106105ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  x  e.  RR )
107 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) )  e.  RR  /\  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) )  /\  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
) )  <  x
)  ->  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
10849, 104, 106, 107syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <_  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  /\  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  <  x
)  ->  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
109103, 108mpand 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) )  <  x  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
11032, 53, 11syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
11164, 68sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
112 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
113112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  e.  RR )
11471, 24syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
11571, 11syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
116 cvgcmp.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( G `  k ) )
117113, 114, 115, 116, 69letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( F `  k ) )
11832, 117sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  0  <_  ( F `  k )
)
119111, 118syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  0  <_  ( F `  k ) )
12050, 51, 110, 119sermono 11094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  <_  (  seq  M (  +  ,  F
) `  n )
)
12139, 44, 120abssubge0d 11930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  =  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )
122121breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
) )  <  x
) )
12332, 53, 24syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
12432, 116sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  0  <_  ( G `  k )
)
12568, 124syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  0  <_  ( G `  k )
)
12664, 125sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  0  <_  ( G `  k ) )
12750, 51, 123, 126sermono 11094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  <_  (  seq  M (  +  ,  G
) `  n )
)
12848, 45, 127abssubge0d 11930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  =  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )
129128breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
130109, 122, 1293imtr4d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) )
131130anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) )
132131adantld 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
133132ralimdva 2634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
134133reximdva 2668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) )
13540r19.29uz 11850 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  N ) (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\ 
E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
13631, 134, 135ee12an 1353 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
137136ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1381, 40cau4 11856 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1394, 138syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1401, 40cau4 11856 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1414, 140syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
142137, 139, 1413imtr4d 259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
14321, 142mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
1441uztrn2 10261 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) )  ->  n  e.  Z )
145 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x )
14627biantrurd 494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
147145, 146syl5ib 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
148144, 147sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
149148anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
150149ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
151150reximdva 2668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
152151ralimdv 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
153143, 152mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
1541, 3, 153caurcvg2 12166 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062   abscabs 11735    ~~> cli 11974
This theorem is referenced by:  cvgcmpce  12292  rpnnen2lem5  12513  aaliou3lem3  19740  cntrset  25705
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979
  Copyright terms: Public domain W3C validator