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Theorem cvgcmp 12204
Description: A comparison test for convergence of a real infinite series. Exercise 3 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 1-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgcmp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgcmp.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
cvgcmp.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
cvgcmp.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
cvgcmp.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( G `  k ) )
cvgcmp.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
)
Assertion
Ref Expression
cvgcmp  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    ph, k    k, M   
k, N    k, Z

Proof of Theorem cvgcmp
StepHypRef Expression
1 cvgcmp.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 seqex 10979 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  G
)  e.  _V
32a1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
_V )
4 cvgcmp.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
54, 1syl6eleq 2346 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 eluzel2 10167 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8 cvgcmp.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
91climcau 12074 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )
107, 8, 9syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )
11 cvgcmp.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
121, 7, 11serfre 11006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
13 ffvelrn 5562 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
1412, 13sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
1514recnd 8794 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
1615ralrimiva 2597 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC )
171r19.29uz 11764 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\ 
E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) )
1817ex 425 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC  ->  ( E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1916, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2019ralimdv 2593 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2110, 20mpd 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x ) )
221uztrn2 10177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  Z )
234, 22sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  n  e.  Z )
24 cvgcmp.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
251, 7, 24serfre 11006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> RR )
26 ffvelrn 5562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> RR  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR )
2725, 26sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR )
2827recnd 8794 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
2923, 28syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  (  seq  M (  +  ,  G
) `  n )  e.  CC )
3029ralrimiva 2597 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  N ) (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC )
3130adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  N )
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC )
32 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  ph )
3332, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  seq  M (  +  ,  F
) : Z --> RR )
3432, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  N  e.  Z )
35 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  N )
)
361uztrn2 10177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  m  e.  Z )
3734, 35, 36syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  m  e.  Z )
38 ffvelrn 5562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  m  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  e.  RR )
3933, 37, 38syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  e.  RR )
40 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
4140uztrn2 10177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4241adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4334, 42, 22syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  Z )
4432, 43, 14syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
4532, 43, 27syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR )
4632, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  seq  M (  +  ,  G
) : Z --> RR )
47 ffvelrn 5562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> RR  /\  m  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  e.  RR )
4846, 37, 47syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  e.  RR )
4945, 48resubcld 9144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  e.  RR )
5037, 1syl6eleq 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
51 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)
52 elfzuz 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5352, 1syl6eleqr 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  Z )
54 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
55 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
5654, 55oveq12d 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
)  -  ( G `
 m ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
57 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( F `
 m )  -  ( G `  m ) ) )
58 ovex 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e. 
_V
5956, 57, 58fvmpt 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
6059adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
6111, 24resubcld 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
6260, 61eqeltrd 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
6332, 53, 62syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  e.  RR )
64 elfzuz 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )
65 peano2uz 10204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6635, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
6740uztrn2 10177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6866, 67sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )
69 cvgcmp.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
)
701uztrn2 10177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  Z )
714, 70sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  Z )
7211, 24subge0d 9295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
7371, 72syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
7469, 73mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )
7571, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
7674, 75breqtrrd 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
7732, 76sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  0  <_  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
7868, 77syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  0  <_  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
7964, 78sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
8050, 51, 63, 79sermono 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  m )  <_  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  n ) )
81 elfzuz 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( M ... m )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8281, 1syl6eleqr 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( M ... m )  ->  k  e.  Z )
8311recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8432, 82, 83syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... m ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8524recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8632, 82, 85syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... m ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8732, 82, 60syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... m ) )  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
8850, 84, 86, 87sersub 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  m )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) )
8943, 1syl6eleq 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9032, 53, 83syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9132, 53, 85syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9232, 53, 60syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
9389, 90, 91, 92sersub 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  n )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n ) ) )
9480, 88, 933brtr3d 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  <_  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
) ) )
9544, 45resubcld 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
) )  e.  RR )
9639, 48, 95lesubaddd 9302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) )  <_  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )  <->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  m )  <_  ( ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )  +  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
9794, 96mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  <_  ( (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
) )  +  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) )
9844recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
9945recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
10048recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  e.  CC )
10198, 99, 100subsubd 9118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  =  ( ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )  +  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) )
10297, 101breqtrrd 3989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  <_  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  -  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )
10339, 44, 49, 102lesubd 9309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  <_  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )
10444, 39resubcld 9144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  e.  RR )
105 rpre 10292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
106105ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  x  e.  RR )
107 lelttr 8845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) )  e.  RR  /\  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) )  /\  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
) )  <  x
)  ->  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
10849, 104, 106, 107syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <_  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  /\  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  <  x
)  ->  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
109103, 108mpand 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) )  <  x  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
11032, 53, 11syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
11164, 68sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
112 0re 8771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
113112a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  e.  RR )
11471, 24syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
11571, 11syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
116 cvgcmp.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( G `  k ) )
117113, 114, 115, 116, 69letrd 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( F `  k ) )
11832, 117sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  0  <_  ( F `  k )
)
119111, 118syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  0  <_  ( F `  k ) )
12050, 51, 110, 119sermono 11009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  <_  (  seq  M (  +  ,  F
) `  n )
)
12139, 44, 120abssubge0d 11844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  =  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )
122121breq1d 3973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
) )  <  x
) )
12332, 53, 24syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
12432, 116sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  0  <_  ( G `  k )
)
12568, 124syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  0  <_  ( G `  k )
)
12664, 125sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  0  <_  ( G `  k ) )
12750, 51, 123, 126sermono 11009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  <_  (  seq  M (  +  ,  G
) `  n )
)
12848, 45, 127abssubge0d 11844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  =  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )
129128breq1d 3973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
130109, 122, 1293imtr4d 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) )
131130anassrs 632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) )
132131adantld 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
133132ralimdva 2592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
134133reximdva 2626 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) )
13540r19.29uz 11764 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  N ) (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\ 
E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
13631, 134, 135ee12an 1359 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
137136ralimdva 2592 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1381, 40cau4 11770 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1394, 138syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1401, 40cau4 11770 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
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 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
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 m ) ) )  <  x ) ) )
1414, 140syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
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 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
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 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
142137, 139, 1413imtr4d 261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
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 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
14321, 142mpd 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
1441uztrn2 10177 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) )  ->  n  e.  Z )
145 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
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 m ) ) )  <  x )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x )
14627biantrurd 496 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
147145, 146syl5ib 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
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( (  seq  M
(  +  ,  G
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(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
148144, 147sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
149148anassrs 632 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
150149ralimdva 2592 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
151150reximdva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
152151ralimdv 2593 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
153143, 152mpd 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
1541, 3, 153caurcvg2 12080 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2740   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   dom cdm 4626   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    < clt 8800    <_ cle 8801    - cmin 8970   ZZcz 9956   ZZ>=cuz 10162   RR+crp 10286   ...cfz 10713    seq cseq 10977   abscabs 11649    ~~> cli 11888
This theorem is referenced by:  cvgcmpce  12206  rpnnen2lem5  12424  aaliou3lem3  19651  cntrset  24934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-ico 10593  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893
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