Theorem cvgcmp2clem 7126

Description: Lemma for cvgcmp2c 7127.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2.1	|- A e. V
cvgcmp2.2	|- F:NN-->RR
cvgcmp2.3	|- G:NN-->RR
cvgcmp2.4	|- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
cvgcmp2.5	|- (x e. NN -> 0 <_ (G` x))
cvgcmp2.6	|- ( + seq1 F) ~~> A
cvgcmp2.7	|- B e. NN
cvgcmp2c.9	|- C e. RR
cvgcmp2c.10	|- 0 <_ C
cvgcmp2c.11	|- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (C x. (F` x)))
cvgcmp2clem.12	|- S Fn NN
cvgcmp2clem.13	|- (x e. NN -> (S` x) = (C x. (F` x)))

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2clem	|- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F   x,G   x,S   x,C

Proof of Theorem cvgcmp2clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3974	. 2 |- (C x. A) e. V
2		ffnfv 3819	. . 3 |- (S:NN-->RR <-> (S Fn NN /\ A.x e. NN (S` x) e. RR))
3		cvgcmp2clem.12	. . 3 |- S Fn NN
4		cvgcmp2clem.13	. . . . 5 |- (x e. NN -> (S` x) = (C x. (F` x)))
5		cvgcmp2.2	. . . . . . 7 |- F:NN-->RR
6	5	ffvelrni 3806	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (F` x) e. RR)
7		cvgcmp2c.9	. . . . . . 7 |- C e. RR
8		axmulrcl 5254	. . . . . . 7 |- ((C e. RR /\ (F` x) e. RR) -> (C x. (F` x)) e. RR)
9	7, 8	mpan 694	. . . . . 6 |- ((F` x) e. RR -> (C x. (F` x)) e. RR)
10	6, 9	syl 10	. . . . 5 |- (x e. NN -> (C x. (F` x)) e. RR)
11	4, 10	eqeltrd 1545	. . . 4 |- (x e. NN -> (S` x) e. RR)
12	11	rgen 1695	. . 3 |- A.x e. NN (S` x) e. RR
13	2, 3, 12	mpbir2an 729	. 2 |- S:NN-->RR
14		cvgcmp2.3	. 2 |- G:NN-->RR
15		mulge0t 5660	. . . . 5 |- (((C e. RR /\ (F` x) e. RR) /\ (0 <_ C /\ 0 <_ (F` x))) -> 0 <_ (C x. (F` x)))
16	7, 15	mpanl1 705	. . . 4 |- (((F` x) e. RR /\ (0 <_ C /\ 0 <_ (F` x))) -> 0 <_ (C x. (F` x)))
17		cvgcmp2.4	. . . . 5 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
18		cvgcmp2c.10	. . . . 5 |- 0 <_ C
19	17, 18	jctil 292	. . . 4 |- (x e. NN -> (0 <_ C /\ 0 <_ (F` x)))
20	16, 6, 19	sylanc 471	. . 3 |- (x e. NN -> 0 <_ (C x. (F` x)))
21	20, 4	breqtrrd 2636	. 2 |- (x e. NN -> 0 <_ (S` x))
22		cvgcmp2.5	. 2 |- (x e. NN -> 0 <_ (G` x))
23	7	recn 5294	. . 3 |- C e. CC
24		cvgcmp2.1	. . 3 |- A e. V
25		cvgcmp2.6	. . 3 |- ( + seq1 F) ~~> A
26		addex 5297	. . . 4 |- + e. V
27		nnex 5889	. . . . 5 |- NN e. V
28		fnex 3599	. . . . 5 |- ((S Fn NN /\ NN e. V) -> S e. V)
29	3, 27, 28	mp2an 696	. . . 4 |- S e. V
30	26, 29	seq1fn 6265	. . 3 |- ( + seq1 S) Fn NN
31		axresscn 5248	. . . . . 6 |- RR (_ CC
32		fss 3626	. . . . . 6 |- ((F:NN-->RR /\ RR (_ CC) -> F:NN-->CC)
33	5, 31, 32	mp2an 696	. . . . 5 |- F:NN-->CC
34	33	ser1cl1 6275	. . . 4 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) e. CC)
35	23, 33, 29, 4	ser1mulc 7006	. . . 4 |- (x e. NN -> (( + seq1 S)` x) = (C x. (( + seq1 F)` x)))
36	34, 35	jca 288	. . 3 |- (x e. NN -> ((( + seq1 F)` x) e. CC /\ (( + seq1 S)` x) = (C x. (( + seq1 F)` x))))
37	23, 24, 25, 30, 36	climmulc 7077	. 2 |- ( + seq1 S) ~~> (C x. A)
38		cvgcmp2.7	. 2 |- B e. NN
39		cvgcmp2c.11	. . 3 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (C x. (F` x)))
40	4	adantr 389	. . 3 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (S` x) = (C x. (F` x)))
41	39, 40	breqtrrd 2636	. 2 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (S` x))
42	1, 13, 14, 21, 22, 37, 38, 41	cvgcmp2 7125	1 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  Vcvv 1807   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  ran crn 3166   Fn wfn 3172  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  supcsup 4553  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214   + caddc 5217   x. cmul 5219   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466   seq1 cseq1 6252   ~~> cli 6920

This theorem is referenced by:  cvgcmp2c 7127

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926

Copyright terms: Public domain