Theorem cvgcmpub 7121

Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp.1	|- A e. V
cvgcmp.2	|- F:NN-->RR
cvgcmp.3	|- G:NN-->RR
cvgcmp.4	|- (x e. NN -> (0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)))
cvgcmp.5	|- ( + seq1 F) ~~> A
cvgcmpub.6	|- B e. V
cvgcmpub.7	|- ( + seq1 G) ~~> B

Assertion

Ref	Expression
cvgcmpub	|- B <_ A

Distinct variable groups:   x,A   x,F   x,G

Proof of Theorem cvgcmpub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcmpub.6	. . 3 |- B e. V
2		cvgcmp.3	. . . . . . . 8 |- G:NN-->RR
3	2	ser1ref 6269	. . . . . . 7 |- ( + seq1 G):NN-->RR
4		frn 3618	. . . . . . 7 |- (( + seq1 G):NN-->RR -> ran ( + seq1 G) (_ RR)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ran ( + seq1 G) (_ RR
6		1nn 5882	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
7		ne0i 2276	. . . . . . . 8 |- (1 e. NN -> NN =/= (/))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- NN =/= (/)
9		fdm 3617	. . . . . . . . . . 11 |- (( + seq1 G):NN-->RR -> dom ( + seq1 G) = NN)
10	3, 9	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- dom ( + seq1 G) = NN
11	10	eqeq1i 1474	. . . . . . . . 9 |- (dom ( + seq1 G) = (/) <-> NN = (/))
12		dm0rn0 3319	. . . . . . . . 9 |- (dom ( + seq1 G) = (/) <-> ran ( + seq1 G) = (/))
13	11, 12	bitr3 175	. . . . . . . 8 |- (NN = (/) <-> ran ( + seq1 G) = (/))
14	13	necon3bii 1590	. . . . . . 7 |- (NN =/= (/) <-> ran ( + seq1 G) =/= (/))
15	8, 14	mpbi 189	. . . . . 6 |- ran ( + seq1 G) =/= (/)
16		cvgcmp.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
17		cvgcmp.2	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->RR
18	17	ser1ref 6269	. . . . . . . 8 |- ( + seq1 F):NN-->RR
19		cvgcmp.5	. . . . . . . 8 |- ( + seq1 F) ~~> A
20	16, 18, 19	climfnrcl 7048	. . . . . . 7 |- A e. RR
21		ffn 3613	. . . . . . . . . . 11 |- (( + seq1 G):NN-->RR -> ( + seq1 G) Fn NN)
22	3, 21	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( + seq1 G) Fn NN
23		fvelrnb 3745	. . . . . . . . . 10 |- (( + seq1 G) Fn NN -> (z e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = z))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (z e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = z)
25		breq1 2612	. . . . . . . . . . 11 |- ((( + seq1 G)` x) = z -> ((( + seq1 G)` x) <_ A <-> z <_ A))
26	2	ser1recl 6268	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) e. RR)
27	17	ser1recl 6268	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) e. RR)
28	20	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> A e. RR)
29		cvgcmp.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. NN -> (0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)))
30	29	pm3.27d 325	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> (G` x) <_ (F` x))
31	17, 2, 30	ser1cmp 7110	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) <_ (( + seq1 F)` x))
32		0re 5412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
33		letrt 5498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((0 e. RR /\ (G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR) -> ((0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)) -> 0 <_ (F` x)))
34	32, 33	mp3an1 900	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR) -> ((0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)) -> 0 <_ (F` x)))
35	2	ffvelrni 3800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. NN -> (G` x) e. RR)
36	17	ffvelrni 3800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. NN -> (F` x) e. RR)
37	35, 36	jca 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. NN -> ((G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR))
38	34, 37, 29	sylc 68	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
39	17, 38	ser1mono 6274	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) <_ (( + seq1 F)` (x + 1)))
40	16, 18, 39, 19	climub 7090	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) <_ A)
41	26, 27, 28, 31, 40	letrd 5499	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) <_ A)
42	25, 41	syl5cbi 209	. . . . . . . . . 10 |- (x e. NN -> ((( + seq1 G)` x) = z -> z <_ A))
43	42	r19.23aiv 1735	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = z -> z <_ A)
44	24, 43	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- (z e. ran ( + seq1 G) -> z <_ A)
45	44	rgen 1690	. . . . . . 7 |- A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ A
46		breq2 2613	. . . . . . . . 9 |- (y = A -> (z <_ y <-> z <_ A))
47	46	ralbidv 1655	. . . . . . . 8 |- (y = A -> (A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y <-> A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ A))
48	47	rcla4ev 1868	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ A) -> E.y e. RR A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y)
49	20, 45, 48	mp2an 695	. . . . . 6 |- E.y e. RR A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y
50	5, 15, 49	3pm3.2i 816	. . . . 5 |- (ran ( + seq1 G) (_ RR /\ ran ( + seq1 G) =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y)
51	50	suprcli 6008	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. RR
52	51	elisseti 1809	. . 3 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. V
53		cvgcmpub.7	. . . 4 |- ( + seq1 G) ~~> B
54	16, 17, 2, 29, 19	cvgcmp 7120	. . . 4 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
55	53, 54	pm3.2i 285	. . 3 |- (( + seq1 G) ~~> B /\ ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
56	1, 52, 55	climunii 7035	. 2 |- B = sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
57		fvelrnb 3745	. . . . . 6 |- (( + seq1 G) Fn NN -> (w e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = w))
58	22, 57	ax-mp 7	. . . . 5 |- (w e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = w)
59		breq1 2612	. . . . . . 7 |- ((( + seq1 G)` x) = w -> ((( + seq1 G)` x) <_ A <-> w <_ A))
60	59, 41	syl5cbi 209	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ((( + seq1 G)` x) = w -> w <_ A))
61	60	r19.23aiv 1735	. . . . 5 |- (E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = w -> w <_ A)
62	58, 61	sylbi 199	. . . 4 |- (w e. ran ( + seq1 G) -> w <_ A)
63	62	rgen 1690	. . 3 |- A.w e. ran ( + seq1 G)w <_ A
64	50	suprleubi 6012	. . 3 |- ((A e. RR /\ A.w e. ran ( + seq1 G)w <_ A) -> sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ A)
65	20, 63, 64	mp2an 695	. 2 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ A
66	56, 65	eqbrtr 2624	1 |- B <_ A

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   (_ wss 2037  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  dom cdm 3160  ran crn 3161   Fn wfn 3167  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   <_ cle 5267  NNcn 5268   < clt 5458   seq1 cseq1 6244   ~~> cli 6912

This theorem is referenced by:  ele3lem 7268  ege2le3lem2 7271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-uz 6350  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913

Copyright terms: Public domain