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Theorem cvgrat 12302
Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio  A of the absolute values of of successive terms in an infinite sequence  F is less than 1 for all terms beyond some index  B, then the infinite sum of the terms of  F converges to a complex number. Equivalent to first part of Exercise 4 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgrat.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
cvgrat.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgrat.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgrat.5  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgrat.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
cvgrat.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgrat  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    k, N    ph, k    k, W   
k, Z

Proof of Theorem cvgrat
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2 cvgrat.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
3 cvgrat.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
42, 3syl6eleq 2348 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 eluzelz 10206 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7 uzid 10210 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
86, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
98, 1syl6eleqr 2349 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  W )
10 oveq1 5799 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  N )  =  ( k  -  N ) )
1110oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
12 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )
13 ovex 5817 . . . . . 6  |-  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5536 . . . . 5  |-  ( k  e.  W  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) ) )
1514adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) ) )
16 0re 8806 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
17 cvgrat.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
18 ifcl 3575 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
1916, 17, 18sylancr 647 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
2019adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
21 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  W )
2221, 1syl6eleq 2348 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
23 uznn0sub 10227 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( k  -  N )  e.  NN0 )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  -  N )  e.  NN0 )
2520, 24reexpcld 11229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  RR )
2615, 25eqeltrd 2332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  e.  RR )
27 uzss 10216 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
284, 27syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
2928, 1, 33sstr4g 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
3029sselda 3155 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  Z )
31 cvgrat.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3230, 31syldan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3323adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  -  N )  e.  NN0 )
34 oveq2 5800 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  -  N )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
35 eqid 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )
3634, 35, 13fvmpt 5536 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  ( k  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
3733, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  ( k  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
386zcnd 10086 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
39 eluzelz 10206 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  ZZ )
4039zcnd 10086 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  CC )
41 nn0ex 9939 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  _V
4241mptex 5680 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  e.  _V
4342shftval 11535 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N ) `  k )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) `  (
k  -  N ) ) )
4438, 40, 43syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) `
 k )  =  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) `
 ( k  -  N ) ) )
45 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4645, 1syl6eleqr 2349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  W )
4746, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
)  =  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )
4837, 44, 473eqtr4rd 2301 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
)  =  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) `
 k ) )
496, 48seqfeq 11038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  =  seq  N
(  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) ) )
5042seqshft 11546 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  N (  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N )
)  =  (  seq  ( N  -  N
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
516, 6, 50syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N )
)  =  (  seq  ( N  -  N
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
5238subidd 9113 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
5352seqeq1d 11019 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  ( N  -  N ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  =  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) ) )
5453oveq1d 5807 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  ( N  -  N ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  =  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N ) )
5549, 51, 543eqtrd 2294 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  =  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
5619recnd 8829 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  CC )
57 max2 10483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
5817, 16, 57sylancl 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
5919, 58absidd 11871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )  =  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) )
60 0lt1 9264 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
61 cvgrat.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
62 breq1 4000 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  -> 
( 0  <  1  <->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  <  1 ) )
63 breq1 4000 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  -> 
( A  <  1  <->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  <  1 ) )
6462, 63ifboth 3570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <  1  /\  A  <  1 )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  <  1 )
6560, 61, 64sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  <  1
)
6659, 65eqbrtrd 4017 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )  <  1 )
67 oveq2 5800 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
68 ovex 5817 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ k )  e.  _V
6967, 35, 68fvmpt 5536 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
7069adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
7156, 66, 70geolim 12289 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) ) )
72 seqex 11015 . . . . . . 7  |-  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  e.  _V
73 climshft 12016 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  e. 
_V )  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  <->  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) ) ) )
746, 72, 73sylancl 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  <->  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) ) ) )
7571, 74mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) ) )
76 ovex 5817 . . . . . 6  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N )  e.  _V
77 ovex 5817 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) )  e.  _V
7876, 77breldm 4871 . . . . 5  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N )  e.  dom  ~~>  )
7975, 78syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  e.  dom  ~~>  )
8055, 79eqeltrd 2332 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
8131ralrimiva 2601 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )
82 fveq2 5458 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
8382eleq1d 2324 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  N )  e.  CC ) )
8483rcla4v 2855 . . . . 5  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( F `  N )  e.  CC ) )
852, 81, 84sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  CC )
8685abscld 11884 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  e.  RR )
87 fveq2 5458 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( F `  n )  =  ( F `  N ) )
8887fveq2d 5462 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
89 oveq1 5799 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  N )  =  ( N  -  N ) )
9089oveq2d 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( N  -  N ) ) )
9190oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( N  -  N ) ) ) )
9288, 91breq12d 4010 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  N
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) ) ) )
9392imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) ) ) )
94 fveq2 5458 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
9594fveq2d 5462 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
9611oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )
9795, 96breq12d 4010 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
9897imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) ) ) )
99 fveq2 5458 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
10099fveq2d 5462 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
101 oveq1 5799 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  -  N )  =  ( ( k  +  1 )  -  N ) )
102101oveq2d 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )
103102oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
104100, 103breq12d 4010 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
105104imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) ) )
10686leidd 9307 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( abs `  ( F `  N
) ) )
10752oveq2d 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ 0 ) )
10856exp0d 11206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
0 )  =  1 )
109107, 108eqtrd 2290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) )  =  1 )
110109oveq2d 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  1 ) )
11186recnd 8829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  e.  CC )
112111mulid1d 8820 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
113110, 112eqtrd 2290 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) )  =  ( abs `  ( F `  N
) ) )
114106, 113breqtrrd 4023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) )
115114a1i 12 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) ) )
11632abscld 11884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
11786adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  N ) )  e.  RR )
118117, 25remulcld 8831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR )
11958adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  0  <_  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) )
120 lemul2a 9579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR  /\  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
121120ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR  /\  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) ) )
122116, 118, 20, 119, 121syl112anc 1191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) ) )
12356adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  e.  CC )
124111adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  N ) )  e.  CC )
12525recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  CC )
126123, 124, 125mul12d 8989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
127123, 24expp1d 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  -  N )  +  1 ) )  =  ( ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  x.  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )
12840, 1eleq2s 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  W  ->  k  e.  CC )
129 ax-1cn 8763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
130 addsub 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
131129, 130mp3an2 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  N
)  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
132128, 38, 131syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
133132oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  -  N )  +  1 ) ) )
134123, 125mulcomd 8824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  =  ( ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) )  x.  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )
135127, 133, 1343eqtr4rd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  =  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )
136135oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
137126, 136eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
138137breq2d 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  <->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
139122, 138sylibd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
1401peano2uzs 10241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  W  ->  (
k  +  1 )  e.  W )
14129sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
142140, 141sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
143 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
144143eleq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  n )  e.  CC ) )
145144cbvralv 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
14681, 145sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
147146adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
14899eleq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  CC  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
149148rcla4v 2855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
150142, 147, 149sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
151150abscld 11884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
15217adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A  e.  RR )
153152, 116remulcld 8831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
15420, 116remulcld 8831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
155 cvgrat.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
15632absge0d 11892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  k )
) )
157 max1 10481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
15817, 16, 157sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
159158adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A  <_  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) )
160152, 20, 116, 156, 159lemul1ad 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
161151, 153, 154, 155, 160letrd 8941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
162 peano2uz 10240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
16322, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
164 uznn0sub 10227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  N )  e. 
NN0 )
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  e.  NN0 )
16620, 165reexpcld 11229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) )  e.  RR )
167117, 166remulcld 8831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  e.  RR )
168 letr 8882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
169151, 154, 167, 168syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
170161, 169mpand 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
171139, 170syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) )
17246, 171syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
173172expcom 426 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) ) )
174173a2d 25 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N
) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) ) )
17593, 98, 105, 98, 115, 174uzind4 10244 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) ) )
176175impcom 421 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )
17747oveq2d 5808 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) `
 k ) )  =  ( ( abs `  ( F `  N
) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )
178176, 177breqtrrd 4023 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
) ) )
1791, 9, 26, 32, 80, 86, 178cvgcmpce 12242 . 2  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
1803, 2, 31iserex 12096 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
181179, 180mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   ifcif 3539   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   dom cdm 4661   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005    / cdiv 9391   NN0cn0 9933   ZZcz 9992   ZZ>=cuz 10198    seq cseq 11013   ^cexp 11071    shift cshi 11527   abscabs 11685    ~~> cli 11924
This theorem is referenced by:  efcllem  12322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-rp 10323  df-ico 10629  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-seq 11014  df-exp 11072  df-hash 11305  df-shft 11528  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-limsup 11911  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-sum 12125
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