Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvgrat Structured version   Unicode version

Theorem cvgrat 12660
 Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio of the absolute values of successive terms in an infinite sequence is less than 1 for all terms beyond some index , then the infinite sum of the terms of converges to a complex number. Equivalent to first part of Exercise 4 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1
cvgrat.2
cvgrat.3
cvgrat.4
cvgrat.5
cvgrat.6
cvgrat.7
Assertion
Ref Expression
cvgrat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cvgrat
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3
2 cvgrat.5 . . . . . . 7
3 cvgrat.1 . . . . . . 7
42, 3syl6eleq 2526 . . . . . 6
5 eluzelz 10496 . . . . . 6
64, 5syl 16 . . . . 5
7 uzid 10500 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
98, 1syl6eleqr 2527 . . 3
10 oveq1 6088 . . . . . . 7
1110oveq2d 6097 . . . . . 6
12 eqid 2436 . . . . . 6
13 ovex 6106 . . . . . 6
1411, 12, 13fvmpt 5806 . . . . 5
1514adantl 453 . . . 4
16 0re 9091 . . . . . . 7
17 cvgrat.3 . . . . . . 7
18 ifcl 3775 . . . . . . 7
1916, 17, 18sylancr 645 . . . . . 6
2019adantr 452 . . . . 5
21 simpr 448 . . . . . . 7
2221, 1syl6eleq 2526 . . . . . 6
23 uznn0sub 10517 . . . . . 6
2422, 23syl 16 . . . . 5
2520, 24reexpcld 11540 . . . 4
2615, 25eqeltrd 2510 . . 3
27 uzss 10506 . . . . . . 7
284, 27syl 16 . . . . . 6
2928, 1, 33sstr4g 3389 . . . . 5
3029sselda 3348 . . . 4
31 cvgrat.6 . . . 4
3230, 31syldan 457 . . 3
3323adantl 453 . . . . . . . 8
34 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
35 eqid 2436 . . . . . . . . 9
3634, 35, 13fvmpt 5806 . . . . . . . 8
3733, 36syl 16 . . . . . . 7
386zcnd 10376 . . . . . . . 8
39 eluzelz 10496 . . . . . . . . 9
4039zcnd 10376 . . . . . . . 8
41 nn0ex 10227 . . . . . . . . . 10
4241mptex 5966 . . . . . . . . 9
4342shftval 11889 . . . . . . . 8
4438, 40, 43syl2an 464 . . . . . . 7
45 simpr 448 . . . . . . . . 9
4645, 1syl6eleqr 2527 . . . . . . . 8
4746, 14syl 16 . . . . . . 7
4837, 44, 473eqtr4rd 2479 . . . . . 6
496, 48seqfeq 11348 . . . . 5
5042seqshft 11900 . . . . . 6
516, 6, 50syl2anc 643 . . . . 5
5238subidd 9399 . . . . . . 7
5352seqeq1d 11329 . . . . . 6
5453oveq1d 6096 . . . . 5
5549, 51, 543eqtrd 2472 . . . 4
5619recnd 9114 . . . . . . 7
57 max2 10775 . . . . . . . . . 10
5817, 16, 57sylancl 644 . . . . . . . . 9
5919, 58absidd 12225 . . . . . . . 8
60 0lt1 9550 . . . . . . . . 9
61 cvgrat.4 . . . . . . . . 9
62 breq1 4215 . . . . . . . . . 10
63 breq1 4215 . . . . . . . . . 10
6462, 63ifboth 3770 . . . . . . . . 9
6560, 61, 64sylancr 645 . . . . . . . 8
6659, 65eqbrtrd 4232 . . . . . . 7
67 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
68 ovex 6106 . . . . . . . . 9
6967, 35, 68fvmpt 5806 . . . . . . . 8
7069adantl 453 . . . . . . 7
7156, 66, 70geolim 12647 . . . . . 6
72 seqex 11325 . . . . . . 7
73 climshft 12370 . . . . . . 7
746, 72, 73sylancl 644 . . . . . 6
7571, 74mpbird 224 . . . . 5
76 ovex 6106 . . . . . 6
77 ovex 6106 . . . . . 6
7876, 77breldm 5074 . . . . 5
7975, 78syl 16 . . . 4
8055, 79eqeltrd 2510 . . 3
8131ralrimiva 2789 . . . . 5
82 fveq2 5728 . . . . . . 7
8382eleq1d 2502 . . . . . 6
8483rspcv 3048 . . . . 5
852, 81, 84sylc 58 . . . 4
8685abscld 12238 . . 3
87 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
8887fveq2d 5732 . . . . . . . 8
89 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10
9089oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
9190oveq2d 6097 . . . . . . . 8
9288, 91breq12d 4225 . . . . . . 7
9392imbi2d 308 . . . . . 6
94 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
9594fveq2d 5732 . . . . . . . 8
9611oveq2d 6097 . . . . . . . 8
9795, 96breq12d 4225 . . . . . . 7
9897imbi2d 308 . . . . . 6
99 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
10099fveq2d 5732 . . . . . . . 8
101 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10
102101oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
103102oveq2d 6097 . . . . . . . 8
104100, 103breq12d 4225 . . . . . . 7
105104imbi2d 308 . . . . . 6
10686leidd 9593 . . . . . . . 8
10752oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
10856exp0d 11517 . . . . . . . . . . 11
109107, 108eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10
110109oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
11186recnd 9114 . . . . . . . . . 10
112111mulid1d 9105 . . . . . . . . 9
113110, 112eqtrd 2468 . . . . . . . 8
114106, 113breqtrrd 4238 . . . . . . 7
115114a1i 11 . . . . . 6
11632abscld 12238 . . . . . . . . . . . 12
11786adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
118117, 25remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12
11958adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
120 lemul2a 9865 . . . . . . . . . . . . 13
121120ex 424 . . . . . . . . . . . 12
122116, 118, 20, 119, 121syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11
12356adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
124111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
12525recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14
126123, 124, 125mul12d 9275 . . . . . . . . . . . . 13
127123, 24expp1d 11524 . . . . . . . . . . . . . . 15
12840, 1eleq2s 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130 addsub 9316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131129, 130mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132128, 38, 131syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133132oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15
134123, 125mulcomd 9109 . . . . . . . . . . . . . . 15
135127, 133, 1343eqtr4rd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14
136135oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13
137126, 136eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12
138137breq2d 4224 . . . . . . . . . . 11
139122, 138sylibd 206 . . . . . . . . . 10
1401peano2uzs 10531 . . . . . . . . . . . . . . 15
14129sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15
142140, 141sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14
143 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144143eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145144cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14681, 145sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15
147146adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
14899eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15
149148rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . 14
150142, 147, 149sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13
151150abscld 12238 . . . . . . . . . . . 12
15217adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
153152, 116remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12
15420, 116remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12
155 cvgrat.7 . . . . . . . . . . . 12
15632absge0d 12246 . . . . . . . . . . . . 13
157 max1 10773 . . . . . . . . . . . . . . 15
15817, 16, 157sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
160152, 20, 116, 156, 159lemul1ad 9950 . . . . . . . . . . . 12
161151, 153, 154, 155, 160letrd 9227 . . . . . . . . . . 11
162 peano2uz 10530 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16322, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
164 uznn0sub 10517 . . . . . . . . . . . . . . 15
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
16620, 165reexpcld 11540 . . . . . . . . . . . . 13
167117, 166remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12
168 letr 9167 . . . . . . . . . . . 12
169151, 154, 167, 168syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
170161, 169mpand 657 . . . . . . . . . 10
171139, 170syld 42 . . . . . . . . 9
17246, 171syldan 457 . . . . . . . 8
173172expcom 425 . . . . . . 7
174173a2d 24 . . . . . 6
17593, 98, 105, 98, 115, 174uzind4 10534 . . . . 5
176175impcom 420 . . . 4
17747oveq2d 6097 . . . 4
178176, 177breqtrrd 4238 . . 3
1791, 9, 26, 32, 80, 86, 178cvgcmpce 12597 . 2
1803, 2, 31iserex 12450 . 2
181179, 180mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   wss 3320  cif 3739   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cdm 4878  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291   cdiv 9677  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488   cseq 11323  cexp 11382   cshi 11881  cabs 12039   cli 12278 This theorem is referenced by:  efcllem  12680 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480
 Copyright terms: Public domain W3C validator