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Theorem cvgrat 12660
Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio  A of the absolute values of successive terms in an infinite sequence  F is less than 1 for all terms beyond some index  B, then the infinite sum of the terms of 
F converges to a complex number. Equivalent to first part of Exercise 4 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgrat.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
cvgrat.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgrat.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgrat.5  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgrat.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
cvgrat.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgrat  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    k, N    ph, k    k, W   
k, Z

Proof of Theorem cvgrat
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2 cvgrat.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
3 cvgrat.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
42, 3syl6eleq 2526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 eluzelz 10496 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7 uzid 10500 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
98, 1syl6eleqr 2527 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  W )
10 oveq1 6088 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  N )  =  ( k  -  N ) )
1110oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
12 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )
13 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5806 . . . . 5  |-  ( k  e.  W  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) ) )
1514adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) ) )
16 0re 9091 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
17 cvgrat.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
18 ifcl 3775 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
1916, 17, 18sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
2019adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
21 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  W )
2221, 1syl6eleq 2526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
23 uznn0sub 10517 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( k  -  N )  e.  NN0 )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  -  N )  e.  NN0 )
2520, 24reexpcld 11540 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  RR )
2615, 25eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  e.  RR )
27 uzss 10506 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
284, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
2928, 1, 33sstr4g 3389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
3029sselda 3348 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  Z )
31 cvgrat.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3230, 31syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3323adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  -  N )  e.  NN0 )
34 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  -  N )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
35 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )
3634, 35, 13fvmpt 5806 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  ( k  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
3733, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  ( k  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
386zcnd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
39 eluzelz 10496 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  ZZ )
4039zcnd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  CC )
41 nn0ex 10227 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  _V
4241mptex 5966 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  e.  _V
4342shftval 11889 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N ) `  k )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) `  (
k  -  N ) ) )
4438, 40, 43syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) `
 k )  =  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) `
 ( k  -  N ) ) )
45 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4645, 1syl6eleqr 2527 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  W )
4746, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
)  =  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )
4837, 44, 473eqtr4rd 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
)  =  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) `
 k ) )
496, 48seqfeq 11348 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  =  seq  N
(  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) ) )
5042seqshft 11900 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  N (  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N )
)  =  (  seq  ( N  -  N
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
516, 6, 50syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N )
)  =  (  seq  ( N  -  N
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
5238subidd 9399 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
5352seqeq1d 11329 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  ( N  -  N ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  =  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) ) )
5453oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  ( N  -  N ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  =  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N ) )
5549, 51, 543eqtrd 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  =  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
5619recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  CC )
57 max2 10775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
5817, 16, 57sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
5919, 58absidd 12225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )  =  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) )
60 0lt1 9550 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
61 cvgrat.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
62 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  -> 
( 0  <  1  <->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  <  1 ) )
63 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  -> 
( A  <  1  <->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  <  1 ) )
6462, 63ifboth 3770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <  1  /\  A  <  1 )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  <  1 )
6560, 61, 64sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  <  1
)
6659, 65eqbrtrd 4232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )  <  1 )
67 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
68 ovex 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ k )  e.  _V
6967, 35, 68fvmpt 5806 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
7069adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
7156, 66, 70geolim 12647 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) ) )
72 seqex 11325 . . . . . . 7  |-  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  e.  _V
73 climshft 12370 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  e. 
_V )  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  <->  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) ) ) )
746, 72, 73sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  <->  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) ) ) )
7571, 74mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) ) )
76 ovex 6106 . . . . . 6  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N )  e.  _V
77 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) )  e.  _V
7876, 77breldm 5074 . . . . 5  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N )  e.  dom  ~~>  )
7975, 78syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  e.  dom  ~~>  )
8055, 79eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
8131ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )
82 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
8382eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  N )  e.  CC ) )
8483rspcv 3048 . . . . 5  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( F `  N )  e.  CC ) )
852, 81, 84sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  CC )
8685abscld 12238 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  e.  RR )
87 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( F `  n )  =  ( F `  N ) )
8887fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
89 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  N )  =  ( N  -  N ) )
9089oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( N  -  N ) ) )
9190oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( N  -  N ) ) ) )
9288, 91breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  N
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) ) ) )
9392imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) ) ) )
94 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
9594fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
9611oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )
9795, 96breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
9897imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) ) ) )
99 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
10099fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
101 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  -  N )  =  ( ( k  +  1 )  -  N ) )
102101oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )
103102oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
104100, 103breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
105104imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) ) )
10686leidd 9593 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( abs `  ( F `  N
) ) )
10752oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ 0 ) )
10856exp0d 11517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
0 )  =  1 )
109107, 108eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) )  =  1 )
110109oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  1 ) )
11186recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  e.  CC )
112111mulid1d 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
113110, 112eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) )  =  ( abs `  ( F `  N
) ) )
114106, 113breqtrrd 4238 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) )
115114a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) ) )
11632abscld 12238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
11786adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  N ) )  e.  RR )
118117, 25remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR )
11958adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  0  <_  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) )
120 lemul2a 9865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR  /\  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
121120ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR  /\  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) ) )
122116, 118, 20, 119, 121syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) ) )
12356adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  e.  CC )
124111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  N ) )  e.  CC )
12525recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  CC )
126123, 124, 125mul12d 9275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
127123, 24expp1d 11524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  -  N )  +  1 ) )  =  ( ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  x.  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )
12840, 1eleq2s 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  W  ->  k  e.  CC )
129 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
130 addsub 9316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
131129, 130mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  N
)  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
132128, 38, 131syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
133132oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  -  N )  +  1 ) ) )
134123, 125mulcomd 9109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  =  ( ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) )  x.  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )
135127, 133, 1343eqtr4rd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  =  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )
136135oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
137126, 136eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
138137breq2d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  <->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
139122, 138sylibd 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
1401peano2uzs 10531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  W  ->  (
k  +  1 )  e.  W )
14129sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
142140, 141sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
143 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
144143eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  n )  e.  CC ) )
145144cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
14681, 145sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
147146adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
14899eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  CC  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
149148rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
150142, 147, 149sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
151150abscld 12238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
15217adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A  e.  RR )
153152, 116remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
15420, 116remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
155 cvgrat.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
15632absge0d 12246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  k )
) )
157 max1 10773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
15817, 16, 157sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A  <_  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) )
160152, 20, 116, 156, 159lemul1ad 9950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
161151, 153, 154, 155, 160letrd 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
162 peano2uz 10530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
16322, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
164 uznn0sub 10517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  N )  e. 
NN0 )
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  e.  NN0 )
16620, 165reexpcld 11540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) )  e.  RR )
167117, 166remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  e.  RR )
168 letr 9167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
169151, 154, 167, 168syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
170161, 169mpand 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
171139, 170syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) )
17246, 171syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
173172expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) ) )
174173a2d 24 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N
) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) ) )
17593, 98, 105, 98, 115, 174uzind4 10534 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) ) )
176175impcom 420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )
17747oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) `
 k ) )  =  ( ( abs `  ( F `  N
) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )
178176, 177breqtrrd 4238 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
) ) )
1791, 9, 26, 32, 80, 86, 178cvgcmpce 12597 . 2  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
1803, 2, 31iserex 12450 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
181179, 180mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488    seq cseq 11323   ^cexp 11382    shift cshi 11881   abscabs 12039    ~~> cli 12278
This theorem is referenced by:  efcllem  12680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480
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