Theorem cvgratlem1ALT 7452

Description: Lemma for cvgrati 7460. Establish, by induction, an exponential upper bound for the terms of a real series, given that the ratio of successive terms is less than some positive constant A beyond a starting index B.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratlem1ALT.1	|- F:NN-->RR
cvgratlem1ALT.2	|- A e. RR
cvgratlem1ALT.3	|- B e. NN
cvgratlem1ALT.4	|- C e. NN

Assertion

Ref	Expression
cvgratlem1ALT	|- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + C)) <_ ((A^C) x. (F` B)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem cvgratlem1ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratlem1ALT.4	. . 3 |- C e. NN
2		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> (B + y) = (B + 1))
3	2	fveq2d 3839	. . . . . 6 |- (y = 1 -> (F` (B + y)) = (F` (B + 1)))
4		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> (A^y) = (A^1))
5	4	opreq1d 4033	. . . . . 6 |- (y = 1 -> ((A^y) x. (F` B)) = ((A^1) x. (F` B)))
6	3, 5	breq12d 2704	. . . . 5 |- (y = 1 -> ((F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B)) <-> (F` (B + 1)) < ((A^1) x. (F` B))))
7	6	imbi2d 615	. . . 4 |- (y = 1 -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B))) <-> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + 1)) < ((A^1) x. (F` B)))))
8		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (y = z -> (B + y) = (B + z))
9	8	fveq2d 3839	. . . . . 6 |- (y = z -> (F` (B + y)) = (F` (B + z)))
10		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (y = z -> (A^y) = (A^z))
11	10	opreq1d 4033	. . . . . 6 |- (y = z -> ((A^y) x. (F` B)) = ((A^z) x. (F` B)))
12	9, 11	breq12d 2704	. . . . 5 |- (y = z -> ((F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B)) <-> (F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B))))
13	12	imbi2d 615	. . . 4 |- (y = z -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B))) <-> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)))))
14		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (y = (z + 1) -> (B + y) = (B + (z + 1)))
15	14	fveq2d 3839	. . . . . 6 |- (y = (z + 1) -> (F` (B + y)) = (F` (B + (z + 1))))
16		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (y = (z + 1) -> (A^y) = (A^(z + 1)))
17	16	opreq1d 4033	. . . . . 6 |- (y = (z + 1) -> ((A^y) x. (F` B)) = ((A^(z + 1)) x. (F` B)))
18	15, 17	breq12d 2704	. . . . 5 |- (y = (z + 1) -> ((F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B)) <-> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B))))
19	18	imbi2d 615	. . . 4 |- (y = (z + 1) -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B))) <-> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B)))))
20		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (y = C -> (B + y) = (B + C))
21	20	fveq2d 3839	. . . . . 6 |- (y = C -> (F` (B + y)) = (F` (B + C)))
22		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (y = C -> (A^y) = (A^C))
23	22	opreq1d 4033	. . . . . 6 |- (y = C -> ((A^y) x. (F` B)) = ((A^C) x. (F` B)))
24	21, 23	breq12d 2704	. . . . 5 |- (y = C -> ((F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B)) <-> (F` (B + C)) < ((A^C) x. (F` B))))
25	24	imbi2d 615	. . . 4 |- (y = C -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B))) <-> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + C)) < ((A^C) x. (F` B)))))
26		cvgratlem1ALT.3	. . . . . . . . 9 |- B e. NN
27	26	nnrei 6076	. . . . . . . 8 |- B e. RR
28	27	leidi 5764	. . . . . . 7 |- B <_ B
29		breq2 2696	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> (B <_ x <-> B <_ B))
30		opreq1 4026	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = B -> (x + 1) = (B + 1))
31	30	fveq2d 3839	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> (F` (x + 1)) = (F` (B + 1)))
32		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = B -> (F` x) = (F` B))
33	32	opreq2d 4034	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> (A x. (F` x)) = (A x. (F` B)))
34	31, 33	breq12d 2704	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> ((F` (x + 1)) < (A x. (F` x)) <-> (F` (B + 1)) < (A x. (F` B))))
35	29, 34	imbi12d 629	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> ((B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) <-> (B <_ B -> (F` (B + 1)) < (A x. (F` B)))))
36	35	rcla4v 1919	. . . . . . . 8 |- (B e. NN -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (B <_ B -> (F` (B + 1)) < (A x. (F` B)))))
37	26, 36	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (B <_ B -> (F` (B + 1)) < (A x. (F` B))))
38	28, 37	mpi 44	. . . . . 6 |- (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (F` (B + 1)) < (A x. (F` B)))
39		cvgratlem1ALT.2	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
40	39	recni 5468	. . . . . . . 8 |- A e. CC
41		exp1 6768	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (A^1) = A)
42	40, 41	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A^1) = A
43	42	opreq1i 4029	. . . . . 6 |- ((A^1) x. (F` B)) = (A x. (F` B))
44	38, 43	syl6breqr 2728	. . . . 5 |- (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (F` (B + 1)) < ((A^1) x. (F` B)))
45	44	adantl 388	. . . 4 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + 1)) < ((A^1) x. (F` B)))
46		axlttrn 5658	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` ((B + z) + 1)) e. RR /\ (A x. (F` (B + z))) e. RR /\ (A x. ((A^z) x. (F` B))) e. RR) -> (((F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z))) /\ (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
47		nnaddcl 6085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. NN /\ z e. NN) -> (B + z) e. NN)
48	26, 47	mpan 699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (B + z) e. NN)
49		peano2nn 6080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B + z) e. NN -> ((B + z) + 1) e. NN)
50	48, 49	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> ((B + z) + 1) e. NN)
51		cvgratlem1ALT.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F:NN-->RR
52	51	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B + z) + 1) e. NN -> (F` ((B + z) + 1)) e. RR)
53	50, 52	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (F` ((B + z) + 1)) e. RR)
54	51	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B + z) e. NN -> (F` (B + z)) e. RR)
55	48, 54	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> (F` (B + z)) e. RR)
56		remulcl 5458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ (F` (B + z)) e. RR) -> (A x. (F` (B + z))) e. RR)
57	39, 56	mpan 699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` (B + z)) e. RR -> (A x. (F` (B + z))) e. RR)
58	55, 57	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (A x. (F` (B + z))) e. RR)
59		reexpcl 6775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. RR /\ z e. NN0) -> (A^z) e. RR)
60		nnnn0 6274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. NN -> z e. NN0)
61	59, 60	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ z e. NN) -> (A^z) e. RR)
62	39, 61	mpan 699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (A^z) e. RR)
63	51	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (B e. NN -> (F` B) e. RR)
64	26, 63	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (F` B) e. RR
65		remulcl 5458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A^z) e. RR /\ (F` B) e. RR) -> ((A^z) x. (F` B)) e. RR)
66	64, 65	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A^z) e. RR -> ((A^z) x. (F` B)) e. RR)
67	62, 66	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> ((A^z) x. (F` B)) e. RR)
68		remulcl 5458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ ((A^z) x. (F` B)) e. RR) -> (A x. ((A^z) x. (F` B))) e. RR)
69	39, 68	mpan 699	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A^z) x. (F` B)) e. RR -> (A x. ((A^z) x. (F` B))) e. RR)
70	67, 69	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (A x. ((A^z) x. (F` B))) e. RR)
71	46, 53, 58, 70	syl3anc 864	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (((F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z))) /\ (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
72		nn0addge1 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ z e. NN0) -> B <_ (B + z))
73	27, 72	mpan 699	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN0 -> B <_ (B + z))
74	60, 73	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> B <_ (B + z))
75		breq2 2696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (B + z) -> (B <_ x <-> B <_ (B + z)))
76		opreq1 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = (B + z) -> (x + 1) = ((B + z) + 1))
77	76	fveq2d 3839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = (B + z) -> (F` (x + 1)) = (F` ((B + z) + 1)))
78		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = (B + z) -> (F` x) = (F` (B + z)))
79	78	opreq2d 4034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = (B + z) -> (A x. (F` x)) = (A x. (F` (B + z))))
80	77, 79	breq12d 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (B + z) -> ((F` (x + 1)) < (A x. (F` x)) <-> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z)))))
81	75, 80	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (B + z) -> ((B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) <-> (B <_ (B + z) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z))))))
82	81	rcla4v 1919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B + z) e. NN -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (B <_ (B + z) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z))))))
83	48, 82	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (B <_ (B + z) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z))))))
84	74, 83	mpid 47	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z)))))
85		ltmul2OLD 5972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((F` (B + z)) e. RR /\ ((A^z) x. (F` B)) e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < A) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) <-> (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
86	85	biimpd 151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((F` (B + z)) e. RR /\ ((A^z) x. (F` B)) e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < A) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
87	86	ex 371	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` (B + z)) e. RR /\ ((A^z) x. (F` B)) e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B))))))
88	39	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> A e. RR)
89	87, 55, 67, 88	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (0 < A -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B))))))
90	89	imp3a 359	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> ((0 < A /\ (F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B))) -> (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
91	71, 84, 90	syl2and 461	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> ((A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) /\ (0 < A /\ (F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)))) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
92	91	exp4d 381	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (0 < A -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))))
93	92	com23 32	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> (0 < A -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))))
94	93	imp32 361	. . . . . . 7 |- ((z e. NN /\ (0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))))) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
95		nncn 6075	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> z e. CC)
96	26	nncni 6077	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. CC
97		ax1cn 5423	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
98		addass 5461	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. CC /\ z e. CC /\ 1 e. CC) -> ((B + z) + 1) = (B + (z + 1)))
99	96, 97, 98	mp3an13 913	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. CC -> ((B + z) + 1) = (B + (z + 1)))
100	95, 99	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> ((B + z) + 1) = (B + (z + 1)))
101	100	fveq2d 3839	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> (F` ((B + z) + 1)) = (F` (B + (z + 1))))
102		expp1 6769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ z e. NN0) -> (A^(z + 1)) = ((A^z) x. A))
103	102, 60	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ z e. NN) -> (A^(z + 1)) = ((A^z) x. A))
104	40, 103	mpan 699	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (A^(z + 1)) = ((A^z) x. A))
105		expcl 6776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ z e. NN0) -> (A^z) e. CC)
106	105, 60	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ z e. NN) -> (A^z) e. CC)
107	40, 106	mpan 699	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> (A^z) e. CC)
108		mulcom 5460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A^z) e. CC /\ A e. CC) -> ((A^z) x. A) = (A x. (A^z)))
109	40, 108	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A^z) e. CC -> ((A^z) x. A) = (A x. (A^z)))
110	107, 109	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> ((A^z) x. A) = (A x. (A^z)))
111	104, 110	eqtrd 1550	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (A^(z + 1)) = (A x. (A^z)))
112	111	opreq1d 4033	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> ((A^(z + 1)) x. (F` B)) = ((A x. (A^z)) x. (F` B)))
113	64	recni 5468	. . . . . . . . . . . 12 |- (F` B) e. CC
114		mulass 5462	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ (A^z) e. CC /\ (F` B) e. CC) -> ((A x. (A^z)) x. (F` B)) = (A x. ((A^z) x. (F` B))))
115	40, 113, 114	mp3an13 913	. . . . . . . . . . 11 |- ((A^z) e. CC -> ((A x. (A^z)) x. (F` B)) = (A x. ((A^z) x. (F` B))))
116	107, 115	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> ((A x. (A^z)) x. (F` B)) = (A x. ((A^z) x. (F` B))))
117	112, 116	eqtr2d 1551	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> (A x. ((A^z) x. (F` B))) = ((A^(z + 1)) x. (F` B)))
118	101, 117	breq12d 2704	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> ((F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B))) <-> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B))))
119	118	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((z e. NN /\ (0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))))) -> ((F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B))) <-> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B))))
120	94, 119	sylibd 200	. . . . . 6 |- ((z e. NN /\ (0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))))) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B))))
121	120	ex 371	. . . . 5 |- (z e. NN -> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B)))))
122	121	a2d 13	. . . 4 |- (z e. NN -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B))) -> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B)))))
123	7, 13, 19, 25, 45, 122	nnind 6082	. . 3 |- (C e. NN -> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + C)) < ((A^C) x. (F` B))))
124	1, 123	ax-mp 7	. 2 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + C)) < ((A^C) x. (F` B)))
125		nnaddcl 6085	. . . . 5 |- ((B e. NN /\ C e. NN) -> (B + C) e. NN)
126	26, 1, 125	mp2an 701	. . . 4 |- (B + C) e. NN
127	51	ffvelrni 3929	. . . 4 |- ((B + C) e. NN -> (F` (B + C)) e. RR)
128	126, 127	ax-mp 7	. . 3 |- (F` (B + C)) e. RR
129		reexpcl 6775	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ C e. NN0) -> (A^C) e. RR)
130		nnnn0 6274	. . . . . 6 |- (C e. NN -> C e. NN0)
131	129, 130	sylan2 453	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ C e. NN) -> (A^C) e. RR)
132	39, 1, 131	mp2an 701	. . . 4 |- (A^C) e. RR
133	132, 64	remulcli 5489	. . 3 |- ((A^C) x. (F` B)) e. RR
134	128, 133	ltlei 5734	. 2 |- ((F` (B + C)) < ((A^C) x. (F` B)) -> (F` (B + C)) <_ ((A^C) x. (F` B)))
135	124, 134	syl 10	1 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + C)) <_ ((A^C) x. (F` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691   class class class wbr 2692  -->wf 3259  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   x. cmul 5393   <_ cle 5449  NNcn 5450  NN0cn0 5451   < clt 5640  ^cexp 6763

This theorem is referenced by:  cvgratlem2ALT 7453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673  df-exp 6764

Copyright terms: Public domain