Theorem cvgratlem3ALT 7192

Description: Lemma for cvgrat 7198. Restate cvgratlem2ALT 7191 (which was for a real function) in terms of the absolute values of the terms of a complex function F, with the help of an auxiliary function G.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratlem3ALT.1	|- F:NN-->CC
cvgratlem3ALT.2	|- G = {<.y, z>. | (y e. NN /\ z = (abs` (F` y)))}
cvgratlem3ALT.3	|- A e. RR
cvgratlem3ALT.4	|- B e. NN
cvgratlem3ALT.5	|- C e. NN

Assertion

Ref	Expression
cvgratlem3ALT	|- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (abs` (F` (x + 1))) < (A x. (abs` (F` x))))) -> (B < C -> (abs` (F` C)) <_ (((abs` (F` B)) / (A^B)) x. (A^C))))

Distinct variable groups:   x,A   x,y,z,B   x,F,y,z   y,C,z   x,G

Proof of Theorem cvgratlem3ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratlem3ALT.2	. . . . . . 7 |- G = {<.y, z>. | (y e. NN /\ z = (abs` (F` y)))}
2		cvgratlem3ALT.1	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->CC
3	2	ffvelrni 3806	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> (F` y) e. CC)
4		absclt 6776	. . . . . . . 8 |- ((F` y) e. CC -> (abs` (F` y)) e. RR)
5	3, 4	syl 10	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (abs` (F` y)) e. RR)
6	1, 5	fopab 3818	. . . . . 6 |- G:NN-->RR
7		cvgratlem3ALT.3	. . . . . 6 |- A e. RR
8		cvgratlem3ALT.4	. . . . . 6 |- B e. NN
9		cvgratlem3ALT.5	. . . . . 6 |- C e. NN
10	6, 7, 8, 9	cvgratlem2ALT 7191	. . . . 5 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x)))) -> (B < C -> (G` C) <_ (((G` B) / (A^B)) x. (A^C))))
11	10	imp 350	. . . 4 |- (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x)))) /\ B < C) -> (G` C) <_ (((G` B) / (A^B)) x. (A^C)))
12		fveq2 3715	. . . . . . 7 |- (y = C -> (F` y) = (F` C))
13	12	fveq2d 3719	. . . . . 6 |- (y = C -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` C)))
14		fvex 3723	. . . . . 6 |- (abs` (F` C)) e. V
15	13, 1, 14	fvopab4 3771	. . . . 5 |- (C e. NN -> (G` C) = (abs` (F` C)))
16	9, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- (G` C) = (abs` (F` C))
17		fveq2 3715	. . . . . . . . 9 |- (y = B -> (F` y) = (F` B))
18	17	fveq2d 3719	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` B)))
19		fvex 3723	. . . . . . . 8 |- (abs` (F` B)) e. V
20	18, 1, 19	fvopab4 3771	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> (G` B) = (abs` (F` B)))
21	8, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (G` B) = (abs` (F` B))
22	21	opreq1i 3962	. . . . 5 |- ((G` B) / (A^B)) = ((abs` (F` B)) / (A^B))
23	22	opreq1i 3962	. . . 4 |- (((G` B) / (A^B)) x. (A^C)) = (((abs` (F` B)) / (A^B)) x. (A^C))
24	11, 16, 23	3brtr3g 2641	. . 3 |- (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x)))) /\ B < C) -> (abs` (F` C)) <_ (((abs` (F` B)) / (A^B)) x. (A^C)))
25	24	ex 373	. 2 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x)))) -> (B < C -> (abs` (F` C)) <_ (((abs` (F` B)) / (A^B)) x. (A^C))))
26		peano2nn 5891	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (x + 1) e. NN)
27		fveq2 3715	. . . . . . . 8 |- (y = (x + 1) -> (F` y) = (F` (x + 1)))
28	27	fveq2d 3719	. . . . . . 7 |- (y = (x + 1) -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` (x + 1))))
29		fvex 3723	. . . . . . 7 |- (abs` (F` (x + 1))) e. V
30	28, 1, 29	fvopab4 3771	. . . . . 6 |- ((x + 1) e. NN -> (G` (x + 1)) = (abs` (F` (x + 1))))
31	26, 30	syl 10	. . . . 5 |- (x e. NN -> (G` (x + 1)) = (abs` (F` (x + 1))))
32		fveq2 3715	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (F` y) = (F` x))
33	32	fveq2d 3719	. . . . . . 7 |- (y = x -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` x)))
34		fvex 3723	. . . . . . 7 |- (abs` (F` x)) e. V
35	33, 1, 34	fvopab4 3771	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (G` x) = (abs` (F` x)))
36	35	opreq2d 3967	. . . . 5 |- (x e. NN -> (A x. (G` x)) = (A x. (abs` (F` x))))
37	31, 36	breq12d 2626	. . . 4 |- (x e. NN -> ((G` (x + 1)) < (A x. (G` x)) <-> (abs` (F` (x + 1))) < (A x. (abs` (F` x)))))
38	37	imbi2d 611	. . 3 |- (x e. NN -> ((B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x))) <-> (B <_ x -> (abs` (F` (x + 1))) < (A x. (abs` (F` x))))))
39	38	ralbiia 1670	. 2 |- (A.x e. NN (B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x))) <-> A.x e. NN (B <_ x -> (abs` (F` (x + 1))) < (A x. (abs` (F` x)))))
40	25, 39	sylan2br 453	1 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (abs` (F` (x + 1))) < (A x. (abs` (F` x))))) -> (B < C -> (abs` (F` C)) <_ (((abs` (F` B)) / (A^B)) x. (A^C))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   class class class wbr 2614  {copab 2661  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466  ^cexp 6508  abscabs 6689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693

Copyright terms: Public domain