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Theorem cvlcvr1 28659
Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 22860 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvr1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvlcvr1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvlcvr1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvlcvr1.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvlcvr1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvlcvr1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  P
) ) )

Proof of Theorem cvlcvr1
StepHypRef Expression
1 simp13 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  K  e.  CvLat )
2 cvllat 28646 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  CvLat  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
4 simp2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  X  e.  B )
5 cvlcvr1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 cvlcvr1.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 28609 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
873ad2ant3 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  B )
9 cvlcvr1.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
11 cvlcvr1.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
125, 9, 10, 11latnle 14118 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  P  e.  B )  ->  ( -.  P  .<_  X  <-> 
X ( lt `  K ) ( X 
.\/  P ) ) )
133, 4, 8, 12syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X ( lt `  K ) ( X  .\/  P ) ) )
1413biimpd 200 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  X ( lt `  K ) ( X 
.\/  P ) ) )
15 simpl13 1037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  CvLat )
1615, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
17 simprll 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  z  e.  B
)
18 simpl2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  X  e.  B
)
19 simpl3 965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  P  e.  A
)
2019, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  P  e.  B
)
215, 11latjcl 14083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  P  e.  B )  ->  ( X  .\/  P
)  e.  B )
2216, 18, 20, 21syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
23 simprrr 744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  z  .<_  ( X 
.\/  P ) )
24 simprrl 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  X ( lt
`  K ) z )
25 simpl11 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  OML )
26 simpl12 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  CLat )
27 cvlatl 28645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CvLat  ->  K  e.  AtLat
)
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  AtLat )
295, 9, 10, 6atlrelat1 28641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( X ( lt `  K ) z  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )
3025, 26, 28, 18, 17, 29syl311anc 1201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X ( lt `  K ) z  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )
3124, 30mpd 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) )
3216adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  K  e.  Lat )
335, 6atbase 28609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  B )
3433ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  e.  B )
3517adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  z  e.  B )
3622adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
37 simprrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  .<_  z )
3823adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  z  .<_  ( X  .\/  P
) )
395, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38lattrd 14091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  .<_  ( X  .\/  P
) )
4015adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  K  e.  CvLat )
41 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  e.  A )
42 simpll3 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  P  e.  A )
43 simpll2 1000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  X  e.  B )
44 simprrl 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  -.  q  .<_  X )
455, 9, 11, 6cvlexch1 28648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  (
q  e.  A  /\  P  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  ( q  .<_  ( X  .\/  P )  ->  P  .<_  ( X 
.\/  q ) ) )
4640, 41, 42, 43, 44, 45syl131anc 1200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  (
q  .<_  ( X  .\/  P )  ->  P  .<_  ( X  .\/  q ) ) )
4739, 46mpd 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  P  .<_  ( X  .\/  q
) )
48 simprlr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  -.  P  .<_  X )
4948adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  -.  P  .<_  X )
505, 9, 11, 6cvlexchb1 28650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  q  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  -.  P  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  q )  <-> 
( X  .\/  P
)  =  ( X 
.\/  q ) ) )
5140, 42, 41, 43, 49, 50syl131anc 1200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  q )  <->  ( X  .\/  P )  =  ( X  .\/  q ) ) )
5247, 51mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  =  ( X  .\/  q
) )
539, 10pltle 14022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( X ( lt
`  K ) z  ->  X  .<_  z ) )
5425, 18, 17, 53syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X ( lt `  K ) z  ->  X  .<_  z ) )
5524, 54mpd 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  X  .<_  z )
5655adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  X  .<_  z )
575, 9, 11latjle12 14095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  q  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  z  /\  q  .<_  z )  <->  ( X  .\/  q )  .<_  z ) )
5832, 43, 34, 35, 57syl13anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  (
( X  .<_  z  /\  q  .<_  z )  <->  ( X  .\/  q )  .<_  z ) )
5956, 37, 58mpbi2and 892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  q )  .<_  z )
6052, 59eqbrtrd 3983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  .<_  z )
6160exp32 591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z )  -> 
( X  .\/  P
)  .<_  z ) ) )
6261rexlimdv 2637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z )  ->  ( X  .\/  P )  .<_  z ) )
6331, 62mpd 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  .<_  z )
645, 9, 16, 17, 22, 23, 63latasymd 14090 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) )
6564exp44 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  (
z  e.  B  -> 
( -.  P  .<_  X  ->  ( ( X ( lt `  K
) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P
) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
6665imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  (
( X ( lt
`  K ) z  /\  z  .<_  ( X 
.\/  P ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) )
6766ralrimdva 2604 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) )
6814, 67jcad 521 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  -> 
( X ( lt
`  K ) ( X  .\/  P )  /\  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K
) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P
) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
693, 4, 8, 21syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
70 cvlcvr1.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
715, 9, 10, 70cvrval2 28594 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  P )  e.  B )  -> 
( X C ( X  .\/  P )  <-> 
( X ( lt
`  K ) ( X  .\/  P )  /\  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K
) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P
) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
723, 4, 69, 71syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X C ( X  .\/  P )  <->  ( X ( lt `  K ) ( X  .\/  P
)  /\  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
7368, 72sylibrd 227 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  X C ( X  .\/  P ) ) )
743adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  K  e.  Lat )
75 simpl2 964 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  X  e.  B
)
7669adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
77 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  X C ( X  .\/  P ) )
785, 10, 70cvrlt 28590 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  P )  e.  B )  /\  X C ( X  .\/  P ) )  ->  X
( lt `  K
) ( X  .\/  P ) )
7974, 75, 76, 77, 78syl31anc 1190 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  X ( lt
`  K ) ( X  .\/  P ) )
8079ex 425 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X C ( X  .\/  P )  ->  X ( lt `  K ) ( X  .\/  P ) ) )
8180, 13sylibrd 227 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X C ( X  .\/  P )  ->  -.  P  .<_  X ) )
8273, 81impbid 185 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  P
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075   lecple 13142   ltcplt 14002   joincjn 14005   Latclat 14078   CLatccla 14140   OMLcoml 28495    <o ccvr 28582   Atomscatm 28583   AtLatcal 28584   CvLatclc 28585
This theorem is referenced by:  cvlcvrp  28660  cvr1  28729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642
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