Theorem cvmd 10242

Description: The covering property implies the modular pair property. Lemma 7.5.1 of [MaedaMaeda] p. 31.

Hypotheses

Ref	Expression
mdsl.1	|- A e. CH
mdsl.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
cvmd	|- ((A i^i B) <o B -> A MH B)

Proof of Theorem cvmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsl.1	. . . . . . . . 9 |- A e. CH
2		mdsl.2	. . . . . . . . 9 |- B e. CH
3	1, 2	chincl 9371	. . . . . . . 8 |- (A i^i B) e. CH
4		cvnbtwn4t 10207	. . . . . . . 8 |- (((A i^i B) e. CH /\ B e. CH /\ x e. CH) -> ((A i^i B) <o B -> (((A i^i B) (_ x /\ x (_ B) -> (x = (A i^i B) \/ x = B))))
5	3, 2, 4	mp3an12 905	. . . . . . 7 |- (x e. CH -> ((A i^i B) <o B -> (((A i^i B) (_ x /\ x (_ B) -> (x = (A i^i B) \/ x = B))))
6	5	impcom 351	. . . . . 6 |- (((A i^i B) <o B /\ x e. CH) -> (((A i^i B) (_ x /\ x (_ B) -> (x = (A i^i B) \/ x = B)))
7	3, 1	chjcom 9379	. . . . . . . . . . 11 |- ((A i^i B) vH A) = (A vH (A i^i B))
8	1, 2	chabs1 9429	. . . . . . . . . . 11 |- (A vH (A i^i B)) = A
9	7, 8	eqtr 1494	. . . . . . . . . 10 |- ((A i^i B) vH A) = A
10	9	ineq1i 2211	. . . . . . . . 9 |- (((A i^i B) vH A) i^i B) = (A i^i B)
11	3	chjidm 9432	. . . . . . . . 9 |- ((A i^i B) vH (A i^i B)) = (A i^i B)
12	10, 11	eqtr4 1497	. . . . . . . 8 |- (((A i^i B) vH A) i^i B) = ((A i^i B) vH (A i^i B))
13		opreq1 3965	. . . . . . . . 9 |- (x = (A i^i B) -> (x vH A) = ((A i^i B) vH A))
14	13	ineq1d 2214	. . . . . . . 8 |- (x = (A i^i B) -> ((x vH A) i^i B) = (((A i^i B) vH A) i^i B))
15		opreq1 3965	. . . . . . . 8 |- (x = (A i^i B) -> (x vH (A i^i B)) = ((A i^i B) vH (A i^i B)))
16	12, 14, 15	3eqtr4a 1531	. . . . . . 7 |- (x = (A i^i B) -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))
17		incom 2206	. . . . . . . . 9 |- ((B vH A) i^i B) = (B i^i (B vH A))
18	2, 1	chabs2 9430	. . . . . . . . 9 |- (B i^i (B vH A)) = B
19	2, 1	chabs1 9429	. . . . . . . . . 10 |- (B vH (B i^i A)) = B
20		incom 2206	. . . . . . . . . . 11 |- (B i^i A) = (A i^i B)
21	20	opreq2i 3969	. . . . . . . . . 10 |- (B vH (B i^i A)) = (B vH (A i^i B))
22	19, 21	eqtr3 1496	. . . . . . . . 9 |- B = (B vH (A i^i B))
23	17, 18, 22	3eqtr 1498	. . . . . . . 8 |- ((B vH A) i^i B) = (B vH (A i^i B))
24		opreq1 3965	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> (x vH A) = (B vH A))
25	24	ineq1d 2214	. . . . . . . 8 |- (x = B -> ((x vH A) i^i B) = ((B vH A) i^i B))
26		opreq1 3965	. . . . . . . 8 |- (x = B -> (x vH (A i^i B)) = (B vH (A i^i B)))
27	23, 25, 26	3eqtr4a 1531	. . . . . . 7 |- (x = B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))
28	16, 27	jaoi 341	. . . . . 6 |- ((x = (A i^i B) \/ x = B) -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))
29	6, 28	syl6 22	. . . . 5 |- (((A i^i B) <o B /\ x e. CH) -> (((A i^i B) (_ x /\ x (_ B) -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B))))
30		anass 439	. . . . . 6 |- ((((A i^i B) (_ x /\ x (_ (A vH B)) /\ x (_ B) <-> ((A i^i B) (_ x /\ (x (_ (A vH B) /\ x (_ B)))
31	2, 1	chub2 9381	. . . . . . . . 9 |- B (_ (A vH B)
32		sstr 2070	. . . . . . . . 9 |- ((x (_ B /\ B (_ (A vH B)) -> x (_ (A vH B))
33	31, 32	mpan2 695	. . . . . . . 8 |- (x (_ B -> x (_ (A vH B))
34	33	pm4.71ri 637	. . . . . . 7 |- (x (_ B <-> (x (_ (A vH B) /\ x (_ B))
35	34	anbi2i 480	. . . . . 6 |- (((A i^i B) (_ x /\ x (_ B) <-> ((A i^i B) (_ x /\ (x (_ (A vH B) /\ x (_ B)))
36	30, 35	bitr4 176	. . . . 5 |- ((((A i^i B) (_ x /\ x (_ (A vH B)) /\ x (_ B) <-> ((A i^i B) (_ x /\ x (_ B))
37	29, 36	syl5ib 206	. . . 4 |- (((A i^i B) <o B /\ x e. CH) -> ((((A i^i B) (_ x /\ x (_ (A vH B)) /\ x (_ B) -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B))))
38	37	exp4b 379	. . 3 |- ((A i^i B) <o B -> (x e. CH -> (((A i^i B) (_ x /\ x (_ (A vH B)) -> (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B))))))
39	38	r19.21aiv 1712	. 2 |- ((A i^i B) <o B -> A.x e. CH (((A i^i B) (_ x /\ x (_ (A vH B)) -> (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))))
40	1, 2	mdsl1 10239	. 2 |- (A.x e. CH (((A i^i B) (_ x /\ x (_ (A vH B)) -> (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))) <-> A MH B)
41	39, 40	sylib 198	1 |- ((A i^i B) <o B -> A MH B)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644   i^i cin 2044   (_ wss 2045   class class class wbr 2616  (class class class)co 3960  CHcch 8782   vH chj 8786   <o ccv 8818   MH cmd 8819

This theorem is referenced by:  cvmdt 10254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612  ax-ac 4731  ax-hilex 8853  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hvaddid 8858  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvmulass 8861  ax-hvdistr1 8862  ax-hvdistr2 8863  ax-hvmul0 8864  ax-hfi 8930  ax-his1 8933  ax-his2 8934  ax-his3 8935  ax-his4 8936  ax-hcompl 9059

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-iin 2566  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-map 4321  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-r1 4630  df-rank 4631  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-q 6211  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-ioo 6316  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-clim 6943  df-sum 6948  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574  df-cld 7642  df-ntr 7643  df-cls 7644  df-cn 7733  df-cnp 7734  df-haus 7761  df-met 7772  df-bl 7774  df-opn 7775  df-lm 7905  df-grp 8020  df-gid 8021  df-ginv 8022  df-gdiv 8023  df-abl 8084  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-vs 8203  df-nm 8204  df-ims 8205  df-ip 8336  df-ph 8456  df-hnorm 8821  df-hvsub 8824  df-hlim 8825  df-hcau 8826  df-sh 9064  df-ch 9080  df-oc 9112  df-ch0 9113  df-shsum 9261  df-chj 9263  df-cv 10197  df-md 10198

Copyright terms: Public domain