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Theorem cvmlift2lem10 24247
Description: Lemma for cvmlift2 24251. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
cvmlift2lem10.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift2lem10.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
cvmlift2lem10.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem10  |-  ( ph  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
Distinct variable groups:    c, d,
f, k, s, u, v, w, x, y, z, F    ph, f, u, v, w, x, y, z    S, f, u, v, w, x, y, z    J, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z    G, c, f, k, u, v, w, x, y, z    H, c, f, u, v, w, x, y, z    X, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z    C, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z    P, f, k, u, v, x, y, z    B, c, d, v, w, x, y, z    Y, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z    K, c, d, f, u, v, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( k, s, c, d)    B( u, f, k, s)    P( w, s, c, d)    S( k, s, c, d)    G( s, d)    H( k, s, d)    K( k, s)    X( s)    Y( s)

Proof of Theorem cvmlift2lem10
Dummy variables  b  m  a  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2 cvmlift2.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
3 iitop 18481 . . . . . . 7  |-  II  e.  Top
4 iiuni 18482 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
53, 3, 4, 4txunii 17388 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
6 eqid 2358 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
75, 6cnf 17076 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  J )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J
)
82, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J )
9 cvmlift2lem10.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
10 cvmlift2lem10.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
11 opelxpi 4800 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
13 ffvelrn 5743 . . . 4  |-  ( ( G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J  /\  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )
148, 12, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )
15 cvmlift2lem10.s . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
1615, 6cvmcov 24198 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )  ->  E. m  e.  J  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m
)  =/=  (/) ) )
171, 14, 16syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  J  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) ) )
18 n0 3540 . . . . 5  |-  ( ( S `  m )  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  ( S `  m
) )
1912adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
20 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m
)
218adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J
)
22 ffn 5469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
23 elpreima 5725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  <->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m ) ) )
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  <->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m ) ) )
2519, 20, 24mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( `' G " m ) )
262adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
2715cvmsrcl 24199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( S `  m )  ->  m  e.  J )
2827ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  m  e.  J )
29 cnima 17094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J )  /\  m  e.  J )  ->  ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II ) )
3026, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II ) )
31 eltx 17363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  -> 
( ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II )  <->  A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) ) )
323, 3, 31mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II )  <->  A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )
3330, 32sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  A. z  e.  ( `' G "
m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )
34 eleq1 2418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( z  e.  ( a  X.  b
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  ( a  X.  b ) ) )
35 opelxp 4798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( a  X.  b
)  <->  ( X  e.  a  /\  Y  e.  b ) )
3634, 35syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( z  e.  ( a  X.  b
)  <->  ( X  e.  a  /\  Y  e.  b ) ) )
3736anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  <->  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b
)  C_  ( `' G " m ) ) ) )
38372rexbidv 2662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) )  <->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) ) )
3938rspcv 2956 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  ->  ( A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) )  ->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) ) )
4025, 33, 39sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) )
41 iillyscon 24188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  II  e. Locally SCon
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  II  e. Locally SCon )
43 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  a  e.  II )
44 simprll 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  X  e.  a )
45 llyi 17300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( II  e. Locally SCon  /\  a  e.  II  /\  X  e.  a )  ->  E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )
)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )
)
47 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  b  e.  II )
48 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  Y  e.  b )
49 llyi 17300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( II  e. Locally SCon  /\  b  e.  II  /\  Y  e.  b )  ->  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon ) )
5042, 47, 48, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon ) )
51 reeanv 2783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  <->  ( E. u  e.  II  (
u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )
52 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  X  e.  u )
5352a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  X  e.  u ) )
54 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  Y  e.  v )
5554a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  Y  e.  v ) )
56 simprl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  ->  u  C_  a )
57 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
v  C_  b )
58 xpss12 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  C_  a  /\  v  C_  b )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( a  X.  b ) )
5956, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( a  X.  b ) )
60 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( `' G " m ) )
6159, 60sstrd 3265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )
6261ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) ) )
6353, 55, 623jcad 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) ) ) )
64 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  ->  ( IIt  u )  e. SCon )
65 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
)  ->  ( IIt  v
)  e. SCon )
6664, 65anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )
6766a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )
6863, 67jcad 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  (
IIt 
v )  e. SCon )
) ) )
6968reximdv 2730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  ( E. v  e.  II  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7069reximdv 2730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7151, 70syl5bir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7246, 50, 71mp2and 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)
7372ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  ->  (
( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) ) )
7473rexlimdvva 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) ) )
7540, 74mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)
76 simp3l1 1060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  X  e.  u )
77 simp3l2 1061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  Y  e.  v )
78 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  = 
U. C
79 simpl1l 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ph )
8079, 1syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
8179, 2syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
82 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
8379, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  P  e.  B
)
84 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
8579, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( 0 G 0 ) )
86 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
87 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
88 df-ov 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X G Y )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
89 simpl1r 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m ) ) )
9089simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )
9188, 90syl5eqel 2442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( X G Y )  e.  m
)
9289simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  t  e.  ( S `  m ) )
93 simpl2l 1008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  u  e.  II )
94 simpl2r 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  v  e.  II )
95 simp3rl 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( IIt  u
)  e. SCon )
9695adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  u )  e. SCon )
97 sconpcon 24162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( IIt  u )  e. SCon  ->  ( IIt  u )  e. PCon )
98 pconcon 24166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( IIt  u )  e. PCon  ->  ( IIt  u )  e.  Con )
9996, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  u )  e.  Con )
100 simp3rr 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( IIt  v
)  e. SCon )
101100adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  v )  e. SCon )
102 sconpcon 24162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( IIt  v )  e. SCon  ->  ( IIt  v )  e. PCon )
103 pconcon 24166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( IIt  v )  e. PCon  ->  ( IIt  v )  e.  Con )
104101, 102, 1033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  v )  e.  Con )
10576adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  X  e.  u
)
10677adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  Y  e.  v )
107 simp3l3 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )
109 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  w  e.  v )
110 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
) )
111 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( iota_ b  e.  t ( X K Y )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  t
( X K Y )  e.  b )
11278, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 15, 91, 92, 93, 94, 99, 104, 105, 106, 108, 109, 110, 111cvmlift2lem9 24246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) )
113112expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  w  e.  v )  ->  (
( K  |`  (
u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) )
114113rexlimdva 2743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) )
11576, 77, 1143jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
1161153expia 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II ) )  ->  (
( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  (
u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
117116anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  u  e.  II )  /\  v  e.  II )  ->  ( ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  (
IIt 
v )  e. SCon )
)  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
118117reximdva 2731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  u  e.  II )  ->  ( E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )  ->  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
119118reximdva 2731 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12075, 119mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
121120expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( t  e.  ( S `  m
)  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
122121exlimdv 1636 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( E. t 
t  e.  ( S `
 m )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12318, 122syl5bi 208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( ( S `
 m )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
124123expimpd 586 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
125124rexlimdvw 2746 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  J  ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12617, 125mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623    \ cdif 3225    i^i cin 3227    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ~Pcpw 3701   {csn 3716   <.cop 3719   U.cuni 3906    e. cmpt 4156    X. cxp 4766   `'ccnv 4767    |` cres 4770   "cima 4771    o. ccom 4772    Fn wfn 5329   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    e. cmpt2 5944   iota_crio 6381   0cc0 8824   1c1 8825   [,]cicc 10748   ↾t crest 13418   Topctop 16731    Cn ccn 17054   Conccon 17237  Locally clly 17290    tX ctx 17355    Homeo chmeo 17544   IIcii 18476  PConcpcon 24154  SConcscon 24155   CovMap ccvm 24190
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  24249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-ec 6746  df-map 6859  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-sum 12250  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-cmp 17214  df-con 17238  df-lly 17292  df-nlly 17293  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-ii 18478  df-htpy 18566  df-phtpy 18567  df-phtpc 18588  df-pcon 24156  df-scon 24157  df-cvm 24191
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