Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvr1 Structured version   Unicode version

Theorem cvr1 30381
Description: A Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 23896 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvr1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvr1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvr1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvr1.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvr1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvr1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  P ) ) )

Proof of Theorem cvr1
StepHypRef Expression
1 hlomcmcv 30328 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
) )
2 cvr1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 cvr1.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 cvr1.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 cvr1.c . . 3  |-  C  =  (  <o  `  K )
6 cvr1.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
72, 3, 4, 5, 6cvlcvr1 30311 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  P
) ) )
81, 7syl3an1 1218 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   class class class wbr 4243   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   Basecbs 13507   lecple 13574   joincjn 14439   CLatccla 14574   OMLcoml 30147    <o ccvr 30234   Atomscatm 30235   CvLatclc 30237   HLchlt 30322
This theorem is referenced by:  cvr2N  30382  hlrelat3  30383  cvrval3  30384  cvrval4N  30385  cvrexchlem  30390  cvratlem  30392  cvrat3  30413  3dim0  30428  2dim  30441  1cvrjat  30446  llncvrlpln2  30528  lplnexllnN  30535  lplncvrlvol2  30586  lhp2lt  30972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-undef 6579  df-riota 6585  df-poset 14441  df-plt 14453  df-lub 14469  df-glb 14470  df-join 14471  df-meet 14472  df-p0 14506  df-lat 14513  df-clat 14575  df-oposet 30148  df-ol 30150  df-oml 30151  df-covers 30238  df-ats 30239  df-atl 30270  df-cvlat 30294  df-hlat 30323
  Copyright terms: Public domain W3C validator