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Theorem cvrat4 28900
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 in [PtakPulmannova] p. 68. Also Lemma 9.2(delta) in [MaedaMaeda] p. 41. (atcvat4i 22970 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrat4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrat4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrat4.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
cvrat4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrat4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    .\/ , r    K, r    .<_ , r    P, r    Q, r    X, r
Allowed substitution hint:    .0. ( r)

Proof of Theorem cvrat4
StepHypRef Expression
1 hlatl 28818 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
21adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  AtLat )
3 simpr1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  X  e.  B )
4 cvrat4.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cvrat4.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cvrat4.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
7 cvrat4.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
84, 5, 6, 7atlex 28774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X )
983exp 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  AtLat  ->  ( X  e.  B  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) ) )
102, 3, 9sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) )
1110adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) )
12 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  HL )
13 simplr3 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  Q  e.  A )
14 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  A )
15 cvrat4.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .\/  =  ( join `  K )
165, 15, 7hlatlej1 28832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  r ) )
1712, 13, 14, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  r
) )
18 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  Q  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
1917, 18syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  =  Q  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  r  e.  A )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
2019exp3a 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  Q  ->  (
( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
r  e.  A  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2120impcom 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
r  e.  A  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
2221anim2d 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
( r  .<_  X  /\  r  e.  A )  ->  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2322exp3acom23 1364 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r  .<_  X  -> 
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
2423reximdvai 2655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( E. r  e.  A  r  .<_  X  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2511, 24syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2625ex 425 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
2726a1i 12 . . . 4  |-  ( P 
.<_  ( X  .\/  Q
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) ) )
2827com4l 80 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) ) )
2928imp4a 574 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
30 hllat 28821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3130adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  Lat )
32 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  A )
334, 7atbase 28747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  B )
354, 5, 15latleeqj2 14165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  .\/  Q )  =  X ) )
3631, 34, 3, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  .\/  Q )  =  X ) )
3736biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( X  .\/  Q )  =  X )
3837breq2d 4037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  <->  P  .<_  X ) )
3938biimpa 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  X )
4039expl 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  X ) )
41 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
42 simpr2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  A )
435, 15, 7hlatlej2 28833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  P ) )
4441, 32, 42, 43syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  P
) )
4540, 44jctird 530 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P
) ) ) )
4645, 42jctild 529 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) ) )
4746impl 605 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) )
48 breq1 4028 . . . . . . 7  |-  ( r  =  P  ->  (
r  .<_  X  <->  P  .<_  X ) )
49 oveq2 5828 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  P  ->  ( Q  .\/  r )  =  ( Q  .\/  P
) )
5049breq2d 4037 . . . . . . 7  |-  ( r  =  P  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) )
5148, 50anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( r  =  P  ->  (
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) )  <->  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) )
5251rspcev 2886 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5347, 52syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5453adantrl 698 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5554exp31 589 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q  .<_  X  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
56 simpr 449 . . 3  |-  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )
57 ioran 478 . . . . 5  |-  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  <-> 
( -.  P  =  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
58 df-ne 2450 . . . . . 6  |-  ( P  =/=  Q  <->  -.  P  =  Q )
5958anbi1i 678 . . . . 5  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  <-> 
( -.  P  =  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
6057, 59bitr4i 245 . . . 4  |-  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  <-> 
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
61 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
624, 5, 15, 61, 7cvrat3 28899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
63623expd 1170 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =/=  Q  ->  ( -.  Q  .<_  X  -> 
( P  .<_  ( X 
.\/  Q )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A ) ) ) )
6463imp4c 576 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
654, 7atbase 28747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
6642, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  B )
674, 15latjcl 14151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
6831, 66, 34, 67syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B )
694, 5, 61latmle1 14177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X )
7031, 3, 68, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X )
7170adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  X )
72 simpll 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
7363imp44 581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A
)
74 simplr2 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
7534adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  B )
7673, 74, 753jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )
7772, 76jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) ) )
784, 5, 61, 6, 7atnle 28775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  Q  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( Q
( meet `  K ) X )  =  .0.  ) )
792, 32, 3, 78syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( Q
( meet `  K ) X )  =  .0.  ) )
804, 61latmcom 14176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Q ( meet `  K ) X )  =  ( X (
meet `  K ) Q ) )
8131, 34, 3, 80syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) X )  =  ( X ( meet `  K ) Q ) )
8281eqeq1d 2293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) X )  =  .0.  <->  ( X
( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
8379, 82bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( X
( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
844, 61latmcl 14152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B )
8531, 3, 68, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
8685, 3, 343jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B ) )
8731, 86jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B ) ) )
884, 5, 61latmlem2 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  .<_  ( Q
( meet `  K ) X ) ) )
8987, 70, 88sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( Q ( meet `  K
) X ) )
9089, 81breqtrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( X ( meet `  K
) Q ) )
91 breq2 4029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X ( meet `  K
) Q )  =  .0.  ->  ( ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( X ( meet `  K
) Q )  <->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  .<_  .0.  )
)
9290, 91syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  .0.  ) )
93 hlop 28820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
9493adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  OP )
954, 61latmcl 14152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  e.  B )
9631, 34, 85, 95syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  e.  B )
974, 5, 6ople0 28645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  e.  B )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  .<_  .0. 
<->  ( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
9894, 96, 97syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  .<_  .0. 
<->  ( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
9992, 98sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  =  .0.  ) )
10083, 99sylbid 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  -> 
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
101100imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  -.  Q  .<_  X )  -> 
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  )
102101adantrl 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )  ->  ( Q (
meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  .0.  )
103102adantrr 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  .0.  )
1044, 5, 61latmle2 14178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) )
10531, 3, 68, 104syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
1064, 15latjcom 14160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
10731, 66, 34, 106syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
108105, 107breqtrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( Q 
.\/  P ) )
109108adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  ( Q 
.\/  P ) )
11030adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
111 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  Q  e.  B )
112 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
)
1134, 7atbase 28747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  ->  ( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B )
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
1154, 61latmcom 14176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q ) )
116110, 111, 114, 115syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  =  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) ( meet `  K ) Q ) )
117116eqeq1d 2293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  <->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
1184, 5, 15, 61, 6, 7hlexch3 28848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
)  /\  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  )  -> 
( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  ( Q 
.\/  P )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
1191183expia 1155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  ( Q  .\/  P
)  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
120117, 119sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( Q 
.\/  P )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
12177, 103, 109, 120syl3c 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) )
12271, 121jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
123122ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
12464, 123jcad 521 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) ) )
125 breq1 4028 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  (
r  .<_  X  <->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  X ) )
126 oveq2 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  r )  =  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) )
127126breq2d 4037 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
128125, 127anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  (
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) )  <->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
129128rspcev 2886 . . . . . 6  |-  ( ( ( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
130124, 129syl6 31 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
131130exp3a 427 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13260, 131syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13356, 132syl7 65 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  ->  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13429, 55, 133ecase3d 911 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   E.wrex 2546   class class class wbr 4025   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   Basecbs 13143   lecple 13210   joincjn 14073   meetcmee 14074   0.cp0 14138   Latclat 14146   OPcops 28630   Atomscatm 28721   AtLatcal 28722   HLchlt 28808
This theorem is referenced by:  cvrat42  28901  ps-2  28935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-poset 14075  df-plt 14087  df-lub 14103  df-glb 14104  df-join 14105  df-meet 14106  df-p0 14140  df-lat 14147  df-clat 14209  df-oposet 28634  df-ol 28636  df-oml 28637  df-covers 28724  df-ats 28725  df-atl 28756  df-cvlat 28780  df-hlat 28809
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