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Theorem cvrat4 28783
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 in [PtakPulmannova] p. 68. Also Lemma 9.2(delta) in [MaedaMaeda] p. 41. (atcvat4i 22923 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrat4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrat4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrat4.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
cvrat4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrat4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    .\/ , r    K, r    .<_ , r    P, r    Q, r    X, r
Allowed substitution hint:    .0. ( r)

Proof of Theorem cvrat4
StepHypRef Expression
1 hlatl 28701 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
21adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  AtLat )
3 simpr1 966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  X  e.  B )
4 cvrat4.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cvrat4.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cvrat4.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
7 cvrat4.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
84, 5, 6, 7atlex 28657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X )
983exp 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  AtLat  ->  ( X  e.  B  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) ) )
102, 3, 9sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) )
1110adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) )
12 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  HL )
13 simplr3 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  Q  e.  A )
14 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  A )
15 cvrat4.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .\/  =  ( join `  K )
165, 15, 7hlatlej1 28715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  r ) )
1712, 13, 14, 16syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  r
) )
18 breq1 3986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  Q  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
1917, 18syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  =  Q  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  r  e.  A )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
2019exp3a 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  Q  ->  (
( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
r  e.  A  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2120impcom 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
r  e.  A  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
2221anim2d 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
( r  .<_  X  /\  r  e.  A )  ->  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2322exp3acom23 1368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r  .<_  X  -> 
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
2423reximdvai 2626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( E. r  e.  A  r  .<_  X  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2511, 24syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2625ex 425 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
2726a1i 12 . . . 4  |-  ( P 
.<_  ( X  .\/  Q
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) ) )
2827com4l 80 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) ) )
2928imp4a 575 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
30 hllat 28704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3130adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  Lat )
32 simpr3 968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  A )
334, 7atbase 28630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  B )
354, 5, 15latleeqj2 14118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  .\/  Q )  =  X ) )
3631, 34, 3, 35syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  .\/  Q )  =  X ) )
3736biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( X  .\/  Q )  =  X )
3837breq2d 3995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  <->  P  .<_  X ) )
3938biimpa 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  X )
4039expl 604 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  X ) )
41 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
42 simpr2 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  A )
435, 15, 7hlatlej2 28716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  P ) )
4441, 32, 42, 43syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  P
) )
4540, 44jctird 530 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P
) ) ) )
4645, 42jctild 529 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) ) )
4746impl 606 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) )
48 breq1 3986 . . . . . . 7  |-  ( r  =  P  ->  (
r  .<_  X  <->  P  .<_  X ) )
49 oveq2 5786 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  P  ->  ( Q  .\/  r )  =  ( Q  .\/  P
) )
5049breq2d 3995 . . . . . . 7  |-  ( r  =  P  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) )
5148, 50anbi12d 694 . . . . . 6  |-  ( r  =  P  ->  (
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) )  <->  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) )
5251rcla4ev 2852 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5347, 52syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5453adantrl 699 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5554exp31 590 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q  .<_  X  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
56 simpr 449 . . 3  |-  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )
57 ioran 478 . . . . 5  |-  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  <-> 
( -.  P  =  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
58 df-ne 2421 . . . . . 6  |-  ( P  =/=  Q  <->  -.  P  =  Q )
5958anbi1i 679 . . . . 5  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  <-> 
( -.  P  =  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
6057, 59bitr4i 245 . . . 4  |-  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  <-> 
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
61 eqid 2256 . . . . . . . . . 10  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
624, 5, 15, 61, 7cvrat3 28782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
63623expd 1173 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =/=  Q  ->  ( -.  Q  .<_  X  -> 
( P  .<_  ( X 
.\/  Q )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A ) ) ) )
6463imp4c 577 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
654, 7atbase 28630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
6642, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  B )
674, 15latjcl 14104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
6831, 66, 34, 67syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B )
694, 5, 61latmle1 14130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X )
7031, 3, 68, 69syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X )
7170adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  X )
72 simpll 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
7363imp44 582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A
)
74 simplr2 1003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
7534adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  B )
7673, 74, 753jca 1137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )
7772, 76jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) ) )
784, 5, 61, 6, 7atnle 28658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  Q  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( Q
( meet `  K ) X )  =  .0.  ) )
792, 32, 3, 78syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( Q
( meet `  K ) X )  =  .0.  ) )
804, 61latmcom 14129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Q ( meet `  K ) X )  =  ( X (
meet `  K ) Q ) )
8131, 34, 3, 80syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) X )  =  ( X ( meet `  K ) Q ) )
8281eqeq1d 2264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) X )  =  .0.  <->  ( X
( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
8379, 82bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( X
( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
844, 61latmcl 14105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B )
8531, 3, 68, 84syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
8685, 3, 343jca 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B ) )
8731, 86jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B ) ) )
884, 5, 61latmlem2 14136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  .<_  ( Q
( meet `  K ) X ) ) )
8987, 70, 88sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( Q ( meet `  K
) X ) )
9089, 81breqtrd 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( X ( meet `  K
) Q ) )
91 breq2 3987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X ( meet `  K
) Q )  =  .0.  ->  ( ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( X ( meet `  K
) Q )  <->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  .<_  .0.  )
)
9290, 91syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  .0.  ) )
93 hlop 28703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
9493adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  OP )
954, 61latmcl 14105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  e.  B )
9631, 34, 85, 95syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  e.  B )
974, 5, 6ople0 28528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  e.  B )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  .<_  .0. 
<->  ( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
9894, 96, 97syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  .<_  .0. 
<->  ( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
9992, 98sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  =  .0.  ) )
10083, 99sylbid 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  -> 
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
101100imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  -.  Q  .<_  X )  -> 
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  )
102101adantrl 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )  ->  ( Q (
meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  .0.  )
103102adantrr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  .0.  )
1044, 5, 61latmle2 14131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) )
10531, 3, 68, 104syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
1064, 15latjcom 14113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
10731, 66, 34, 106syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
108105, 107breqtrd 4007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( Q 
.\/  P ) )
109108adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  ( Q 
.\/  P ) )
11030adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
111 simpr3 968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  Q  e.  B )
112 simpr1 966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
)
1134, 7atbase 28630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  ->  ( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B )
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
1154, 61latmcom 14129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q ) )
116110, 111, 114, 115syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  =  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) ( meet `  K ) Q ) )
117116eqeq1d 2264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  <->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
1184, 5, 15, 61, 6, 7hlexch3 28731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
)  /\  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  )  -> 
( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  ( Q 
.\/  P )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
1191183expia 1158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  ( Q  .\/  P
)  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
120117, 119sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( Q 
.\/  P )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
12177, 103, 109, 120syl3c 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) )
12271, 121jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
123122ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
12464, 123jcad 521 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) ) )
125 breq1 3986 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  (
r  .<_  X  <->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  X ) )
126 oveq2 5786 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  r )  =  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) )
127126breq2d 3995 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
128125, 127anbi12d 694 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  (
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) )  <->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
129128rcla4ev 2852 . . . . . 6  |-  ( ( ( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
130124, 129syl6 31 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
131130exp3a 427 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13260, 131syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13356, 132syl7 65 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  ->  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13429, 55, 133ecase3d 914 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   E.wrex 2517   class class class wbr 3983   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   Basecbs 13096   lecple 13163   joincjn 14026   meetcmee 14027   0.cp0 14091   Latclat 14099   OPcops 28513   Atomscatm 28604   AtLatcal 28605   HLchlt 28691
This theorem is referenced by:  cvrat42  28784  ps-2  28818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-undef 6250  df-riota 6258  df-poset 14028  df-plt 14040  df-lub 14056  df-glb 14057  df-join 14058  df-meet 14059  df-p0 14093  df-lat 14100  df-clat 14162  df-oposet 28517  df-ol 28519  df-oml 28520  df-covers 28607  df-ats 28608  df-atl 28639  df-cvlat 28663  df-hlat 28692
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