Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexch Unicode version

Theorem cvrexch 29906
 Description: A Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (cvexchi 23829 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b
cvrexch.j
cvrexch.m
cvrexch.c
Assertion
Ref Expression
cvrexch

Proof of Theorem cvrexch
StepHypRef Expression
1 cvrexch.b . . 3
2 cvrexch.j . . 3
3 cvrexch.m . . 3
4 cvrexch.c . . 3
51, 2, 3, 4cvrexchlem 29905 . 2
6 simp1 957 . . . . 5
7 hlop 29849 . . . . . . 7
873ad2ant1 978 . . . . . 6
9 simp3 959 . . . . . 6
10 eqid 2408 . . . . . . 7
111, 10opoccl 29681 . . . . . 6
128, 9, 11syl2anc 643 . . . . 5
13 simp2 958 . . . . . 6
141, 10opoccl 29681 . . . . . 6
158, 13, 14syl2anc 643 . . . . 5
161, 2, 3, 4cvrexchlem 29905 . . . . 5
176, 12, 15, 16syl3anc 1184 . . . 4
18 hlol 29848 . . . . . . 7
191, 2, 3, 10oldmj1 29708 . . . . . . 7
2018, 19syl3an1 1217 . . . . . 6
21 hllat 29850 . . . . . . . 8
22213ad2ant1 978 . . . . . . 7
231, 3latmcom 14463 . . . . . . 7
2422, 15, 12, 23syl3anc 1184 . . . . . 6
2520, 24eqtrd 2440 . . . . 5
2625breq1d 4186 . . . 4
271, 2, 3, 10oldmm1 29704 . . . . . . 7
2818, 27syl3an1 1217 . . . . . 6
291, 2latjcom 14447 . . . . . . 7
3022, 15, 12, 29syl3anc 1184 . . . . . 6
3128, 30eqtrd 2440 . . . . 5
3231breq2d 4188 . . . 4
3317, 26, 323imtr4d 260 . . 3
341, 2latjcl 14438 . . . . 5
3521, 34syl3an1 1217 . . . 4
361, 10, 4cvrcon3b 29764 . . . 4
378, 13, 35, 36syl3anc 1184 . . 3
381, 3latmcl 14439 . . . . 5
3921, 38syl3an1 1217 . . . 4
401, 10, 4cvrcon3b 29764 . . . 4
418, 39, 9, 40syl3anc 1184 . . 3
4233, 37, 413imtr4d 260 . 2
435, 42impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   class class class wbr 4176  cfv 5417  (class class class)co 6044  cbs 13428  coc 13496  cjn 14360  cmee 14361  clat 14433  cops 29659  col 29661   ccvr 29749  chlt 29837 This theorem is referenced by:  cvrat3  29928  2lplnmN  30045  2llnmj  30046  2llnm2N  30054  2lplnm2N  30107  2lplnmj  30108  lhpmcvr  30509 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838
 Copyright terms: Public domain W3C validator