Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexch Unicode version

Theorem cvrexch 28739
 Description: A Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (cvexchi 22874 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b
cvrexch.j
cvrexch.m
cvrexch.c
Assertion
Ref Expression
cvrexch

Proof of Theorem cvrexch
StepHypRef Expression
1 cvrexch.b . . 3
2 cvrexch.j . . 3
3 cvrexch.m . . 3
4 cvrexch.c . . 3
51, 2, 3, 4cvrexchlem 28738 . 2
6 simp1 960 . . . . 5
7 hlop 28682 . . . . . . 7
873ad2ant1 981 . . . . . 6
9 simp3 962 . . . . . 6
10 eqid 2256 . . . . . . 7
111, 10opoccl 28514 . . . . . 6
128, 9, 11syl2anc 645 . . . . 5
13 simp2 961 . . . . . 6
141, 10opoccl 28514 . . . . . 6
158, 13, 14syl2anc 645 . . . . 5
161, 2, 3, 4cvrexchlem 28738 . . . . 5
176, 12, 15, 16syl3anc 1187 . . . 4
18 hlol 28681 . . . . . . 7
191, 2, 3, 10oldmj1 28541 . . . . . . 7
2018, 19syl3an1 1220 . . . . . 6
21 hllat 28683 . . . . . . . 8
22213ad2ant1 981 . . . . . . 7
231, 3latmcom 14108 . . . . . . 7
2422, 15, 12, 23syl3anc 1187 . . . . . 6
2520, 24eqtrd 2288 . . . . 5
2625breq1d 3973 . . . 4
271, 2, 3, 10oldmm1 28537 . . . . . . 7
2818, 27syl3an1 1220 . . . . . 6
291, 2latjcom 14092 . . . . . . 7
3022, 15, 12, 29syl3anc 1187 . . . . . 6
3128, 30eqtrd 2288 . . . . 5
3231breq2d 3975 . . . 4
3317, 26, 323imtr4d 261 . . 3
341, 2latjcl 14083 . . . . 5
3521, 34syl3an1 1220 . . . 4
361, 10, 4cvrcon3b 28597 . . . 4
378, 13, 35, 36syl3anc 1187 . . 3
381, 3latmcl 14084 . . . . 5
3921, 38syl3an1 1220 . . . 4
401, 10, 4cvrcon3b 28597 . . . 4
418, 39, 9, 40syl3anc 1187 . . 3
4233, 37, 413imtr4d 261 . 2
435, 42impbid 185 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   class class class wbr 3963  cfv 4638  (class class class)co 5757  cbs 13075  coc 13143  cjn 14005  cmee 14006  clat 14078  cops 28492  col 28494   ccvr 28582  chlt 28670 This theorem is referenced by:  cvrat3  28761  2lplnmN  28878  2llnmj  28879  2llnm2N  28887  2lplnm2N  28940  2lplnmj  28941  lhpmcvr  29342 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671
 Copyright terms: Public domain W3C validator