Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval Unicode version

Theorem cvrval 28709
Description: Binary relation expressing  B covers  A, which means that  B is larger than  A and there is nothing in between. Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68. (cvbr 22823 analog.) (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrfval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrfval.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    z, K    z, X    z, Y
Allowed substitution hints:    A( z)    C( z)   
.< ( z)

Proof of Theorem cvrval
StepHypRef Expression
1 cvrfval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrfval.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
3 cvrfval.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrfval 28708 . . . . 5  |-  ( K  e.  A  ->  C  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) } )
5 3anass 943 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .< 
y ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) )
65opabbii 4057 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) }
74, 6syl6eq 2306 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  C  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) } )
87breqd 4008 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X C Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y ) )
983ad2ant1 981 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y ) )
10 df-br 3998 . . . 4  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) } Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } )
11 breq1 4000 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<  y  <->  X  .<  y ) )
12 breq1 4000 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<  z  <->  X  .<  z ) )
1312anbi1d 688 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <-> 
( X  .<  z  /\  z  .<  y ) ) )
1413rexbidv 2539 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) )
1514notbid 287 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) )
1611, 15anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) )  <->  ( X  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) )
17 breq2 4001 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .<  y  <->  X  .<  Y ) )
18 breq2 4001 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
z  .<  y  <->  z  .<  Y ) )
1918anbi2d 687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <-> 
( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2019rexbidv 2539 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2120notbid 287 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2217, 21anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y
) )  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
2316, 22opelopab2 4257 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) }  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
2410, 23syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
25243adant1 978 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
269, 25bitrd 246 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2519   <.cop 3617   class class class wbr 3997   {copab 4050   ` cfv 4673   Basecbs 13111   ltcplt 14038    <o ccvr 28702
This theorem is referenced by:  cvrlt  28710  cvrnbtwn  28711  cvrval2  28714  cvrcon3b  28717  lautcvr  29531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fv 4689  df-covers 28706
  Copyright terms: Public domain W3C validator