Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval Unicode version

Theorem cvrval 29518
Description: Binary relation expressing  B covers  A, which means that  B is larger than  A and there is nothing in between. Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68. (cvbr 23296 analog.) (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrfval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrfval.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    z, K    z, X    z, Y
Allowed substitution hints:    A( z)    C( z)   
.< ( z)

Proof of Theorem cvrval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrfval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrfval.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
3 cvrfval.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrfval 29517 . . . . 5  |-  ( K  e.  A  ->  C  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) } )
5 3anass 939 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .< 
y ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) )
65opabbii 4185 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) }
74, 6syl6eq 2414 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  C  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) } )
87breqd 4136 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X C Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y ) )
983ad2ant1 977 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y ) )
10 df-br 4126 . . . 4  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) } Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } )
11 breq1 4128 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<  y  <->  X  .<  y ) )
12 breq1 4128 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<  z  <->  X  .<  z ) )
1312anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <-> 
( X  .<  z  /\  z  .<  y ) ) )
1413rexbidv 2649 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) )
1514notbid 285 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) )
1611, 15anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) )  <->  ( X  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) )
17 breq2 4129 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .<  y  <->  X  .<  Y ) )
18 breq2 4129 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
z  .<  y  <->  z  .<  Y ) )
1918anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <-> 
( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2019rexbidv 2649 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2120notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2217, 21anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y
) )  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
2316, 22opelopab2 4388 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) }  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
2410, 23syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
25243adant1 974 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
269, 25bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   E.wrex 2629   <.cop 3732   class class class wbr 4125   {copab 4178   ` cfv 5358   Basecbs 13356   ltcplt 14285    <o ccvr 29511
This theorem is referenced by:  cvrlt  29519  cvrnbtwn  29520  cvrval2  29523  cvrcon3b  29526  lautcvr  30340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fv 5366  df-covers 29515
  Copyright terms: Public domain W3C validator