Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval Unicode version

Theorem cvrval 29752
Description: Binary relation expressing  B covers  A, which means that  B is larger than  A and there is nothing in between. Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68. (cvbr 23738 analog.) (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrfval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrfval.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    z, K    z, X    z, Y
Allowed substitution hints:    A( z)    C( z)   
.< ( z)

Proof of Theorem cvrval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrfval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrfval.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
3 cvrfval.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrfval 29751 . . . . 5  |-  ( K  e.  A  ->  C  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) } )
5 3anass 940 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .< 
y ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) )
65opabbii 4232 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) }
74, 6syl6eq 2452 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  C  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) } )
87breqd 4183 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X C Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y ) )
983ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y ) )
10 df-br 4173 . . . 4  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) } Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } )
11 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<  y  <->  X  .<  y ) )
12 breq1 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<  z  <->  X  .<  z ) )
1312anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <-> 
( X  .<  z  /\  z  .<  y ) ) )
1413rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) )
1514notbid 286 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) )
1611, 15anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) )  <->  ( X  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) )
17 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .<  y  <->  X  .<  Y ) )
18 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
z  .<  y  <->  z  .<  Y ) )
1918anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <-> 
( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2019rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2120notbid 286 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2217, 21anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y
) )  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
2316, 22opelopab2 4435 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) }  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
2410, 23syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
25243adant1 975 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
269, 25bitrd 245 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   <.cop 3777   class class class wbr 4172   {copab 4225   ` cfv 5413   Basecbs 13424   ltcplt 14353    <o ccvr 29745
This theorem is referenced by:  cvrlt  29753  cvrnbtwn  29754  cvrval2  29757  cvrcon3b  29760  lautcvr  30574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-covers 29749
  Copyright terms: Public domain W3C validator